XSTK_Mai Tú_TKT_2022

Bài giảng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Mai Cẩm Tú 2022 Bài giảng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Giới thiệu Thông tin học phần ▪ Tiếng Anh Probability and Mathematical Statistics ▪ Số tín c[.]

Mai Cẩm Tú - 2022

Bài giảng

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ

THỐNG KÊ TOÁN

Giới thiệu

Thông tin học phần

▪ Tiếng Anh: Probability and Mathematical Statistics

▪ Số tín chỉ: 3 Thời lượng: 45 tiết × 50 phút

▪ Thông tin chi tiết: www.mfe.neu.edu.vn → Thông tin → Hướng dẫn học tập → Hướng dẫn giảng dạy – học tập Lý thuyết xác suất và thống kê toán

• Đề cương chi tiết học phần

• Tài liệu bổ trợ

• Bảng số và công thức cơ bản

• Một số câu hỏi, bài tập

Tài liệu

▪ [1] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn

Thứ (2015), Giáo trình Lý thuyết xác suất và

Thống kê toán, NXB ĐHKTQD

▪ [2] Bùi Dương Hải (2016), Tài liệu Hướng dẫn

thực hành Excel, Lưu hành nội bộ.

▪ [3] Paul Newbold, William L Carlson, Betty M

Thorne (2010), Statistics for Business and

Economics, 7th editor, Pearson

▪ Các tài liệu tham khảo khác

Giới thiệu

Đánh giá

▪ Giảng viên đánh giá: điểm (1), (2), (3)

• (1) Chuyên cần: 10%, do giảng viên quy định

• (2) Bài kiểm tra 1: 20%, 45 phút, bài 1 đến bài 4

• (3) Bài kiểm tra 2: 20%, 45 phút, bài 5 đến bài 7

▪ (4) Thi cuối kì: 50%, thi trên máy tính, 40 câu, 60 phút

▪ Được dự thi cuối kì khi thỏa mãn đồng thời:

• Tham gia từ 80% số giờ giảng trở lên

• Điểm chuyên cần (10%) từ 5 trở lên

Lịch sử

▪ Phương pháp thống kê có từ trước công nguyên

▪ LTXS xuất phát từ việc nghiên cứu các trò chơi may rủi, thời trung cổ

▪ Thế kỉ 17: Blaise Pascal, Piere de Fermat (Pháp), Christian Huygens (Hà Lan), Jakob Bernoulli (Thụy Sĩ)

▪ Thế kỉ 18: Nicolaus Bernoulli (Thụy Sĩ), Thomas Bayes (Anh), Pierre Simon Laplace (Pháp)

▪ Thế kỉ 19: Carl Friedrich Gauss (Đức), Simeon Denis Poisson (Pháp), Pafuni Chebyshev (Nga), Francis Galton, Karl Pearson (Anh)

▪ Thế kỉ 20: Charles Spearman, Royal Aylmer Fisher (Anh), Andrei Kolmogorov (Nga)

▪ Ngày nay thống kê được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học tự

Giới thiệu

Nội dung

▪ Bài 1 Thống kê mô tả

▪ Bài 2 Biến cố và Xác suất

▪ Bài 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất

▪ Bài 4 Biến ngẫu nhiên liên tục và phân phối xác suất

▪ Bài 5 Mẫu ngẫu nhiên và thống kê mẫu

▪ Bài 6 Ước lượng tham số

▪ Bài 7 Kiểm định tham số

▪ Bài 8 Kiểm định phi tham số

▪ 1.1 Các khái niệm cơ bản

[3] Chapter 1,2, pp 21 - 92

Dữ liệu (data) là các dữ kiện và số liệu được thu thập trên các phần

tử của tập hợp nghiên cứu

Thống kê (Statistics)

▪ Thu thập dữ liệu

▪ Xử lý dữ liệu

▪ Trình bày, biểu diễn dữ liệu

▪ Phân tích dữ liệu để có được thông tin ở mức cao hơn

▪ Suy diễn về thông tin

Thống kêThông tin

ban đầu Thông tin caocấp hơn

Bài 1 Mở đầu 1.1 Các khái niệm cơ bản

Hai nhánh của thống kê

▪ Thống kê mô tả (Descriptive Statistics): sắp xếp, tổng hợp, trình bày

dữ liệu theo những cách hợp lý, thuận tiện nhất

▪ Thống kê suy diễn (Inferential Statistics): dự đoán, kiểm chứng, phân

tích dữ liệu để có các kết luận tổng quát

▪ Kết nối là Lý thuyết xác suất (Probability Theory)

▪ Thống kê mô tả là thông tin cơ bản cho thống kê suy diễn

▪ Ví dụ 1.1.

• Điểm thi môn LTXS&TKT của 50 sinh viên NEU K62 trung bình là 6,2

• Nhìn chung, sinh viên NEU K62 có điểm thi môn LTXS&TKT cao hơn 6

Tổng thể và Mẫu

▪ Tổng thể (Population): tập hợp tất cả các phần tử cần quan tâm.

• Kích thước tổng thể (số phần tử của tổng thể): 𝑵, có thể vô hạn

• Giá trị tính từ tổng thể: Tham số (parameter).

▪ Mẫu (Sample): tập hợp các phần tử được rút ra từ tổng thể.

• Kích thước mẫu: 𝒏, hữu hạn

• Giá trị tính từ mẫu: Thống kê ( statistic).

▪ Ví dụ 1.2 Điều tra điểm thi môn LTXS&TKT của 50 sinh viên NEU K62, …

• Tổng thể: tập hợp tất cả sinh viên NEU K62, chưa biết kích thước.

• Mẫu: tập hợp 50 sinh viên được điều tra.

Bài 1 Mở đầu 1.1 Các khái niệm cơ bản

Biến và Quan sát

▪ Biến (Variable): là một đặc điểm hoặc thuộc tính của các phần tử thuộc

tập hợp đang nghiên cứu

▪ Quan sát (Observation): là tập hợp các kết quả của các phép đo được

áp dụng cho mỗi phần tử của tập hợp Số quan sát luôn bằng số phần tửcủa tập hợp

▪ Ví dụ 1.3 Một số sinh viên của 3 lớp tín chỉ, môn XSTK, TN 15 phút

STT Họ và tên Giới tính Ngành Khóa Số câu đúng / 10 câu Thời gian hoàn thành

Phân loại biến

▪ Định tính (Qualitative) và Định lượng (Quantitative)

▪ Biến định tính: Định danh và Thứ bậc, không có đơn vị đo lường

• Định danh (Nominal): VD: Tên, địa chỉ, ngành học, …

• Thứ bậc (Ordinal): VD: Thứ hạng, cỡ giày, size quần áo, …

• Riêng: Nhị phân (Binary): Đúng / Sai, Nam / Nữ, …

▪ Biến định lượng: Rời rạc và Liên tục, có đơn vị đo lường

• Rời rạc (Discrete): VD: tuổi, số buổi học,…

• Biên tục (Continuous): VD: thời gian, cân nặng, …

Bài 1 Mở đầu 1.1 Các khái niệm cơ bản

Phân loại biến

Ví dụ 1.3 (tiếp) phân loại các biến

Biến có đơn vị

đo lường không?

Các giá trị có thể

sắp xếp thứ tự không?

Các giá trị có lấp đầy một khoảng (a,b) không?

Định danh Thứ bậc Rời rạc Liên tục

Thang đo (đọc thêm)

▪ Để xác định lượng thông tin về biến thu thập được từ một phần tử

▪ Chỉ ra cách thích hợp nhất để trình bày dữ liệu cho một biến

▪ Gồm 4 loại

• Thang định danh (Nominal scale): đặt tên, gắn nhãn cho các phần tử

• Thang thứ bậc (Ordinal scale): là định danh và có thể sắp xếp thứ tự

• Thang đo khoảng (Interval scale): là thứ bậc và các bậc cách đều nhau

• Thang đo tỉ lệ (Ratio scale): là thang đo khoảng và tỉ lệ của 2 giá trị là

có ý nghĩa Giá trị 0 được đưa vào để chỉ ra không có gì tồn tại cho biến

▪ Ví dụ 1.3 Xác định thang đo của các biến?

Bài 1 Mở đầu 1.1 Các khái niệm cơ bản

Biến và thang đo

Thang đo Likert

▪ Là thang đo thứ bậc

▪ Thường dùng trong các bảng hỏi đánh giá, nhận xét

▪ Gồm Likert 5 bậc và Likert 7 bậc

Rất không đồng ý

đồng ý

Rất không đồng ý

Không đồng ý

Bình thường / Phân vân

Đồng ý Rất đồng

ý

Hoàn toàn đồng

ý

Bài 1 Mở đầu

▪ Bảng tần số (frequency table), bảng tần suất (relative frequency)

▪ Tần số tích lũy, tần suất tích lũy (tự đọc tài liệu [1])

▪ Bảng thống kê nhiều chiều (tự đọc tài liệu [2])

▪ Đồ thị tròn (pie chart)

▪ Đồ thị cột (column chart, bar chart)

▪ Đồ thị phân phối giá trị (histogram)

▪ Đồ thị đường (line chart) (tự đọc)

▪ Đồ thị rải điểm (scatter plot)

1.2 BẢNG BIỂU VÀ ĐỒ THỊ

Bài 1 Mở đầu 1.2 Bảng biểu và đồ thị

Bài 1 Mở đầu 1.2 Bảng biểu và đồ thị

Bảng tần số, bảng tần suất (tỉ lệ)

▪ Với biến định lượng liên tục: ghép nhóm

Thời gian hoàn thành 3 - 5 5 - 7 7 - 9 9 - 11 11 - 13 13 - 15

Thời gian hoàn thành 3 - 5 5 - 7 7 - 9 9 - 11 11 - 13 13 - 15

Nam Nữ

37.5%

32.5%

30.0%

KT NH QTKD

Bài 1 Mở đầu 1.2 Bảng biểu và đồ thị

Đồ thị cột (column chart, bar chart)

KT NH QTKD

120

0 50 100 150

Đồ thị phân phối giá trị (histogram)

Bài 1 Mở đầu 1.2 Bảng biểu và đồ thị

Đồ thị đường (line chart)

Đồ thị rải điểm (scatter plot)

0 2 4 6 8 10 12

Bài 1 Mở đầu 1.2 Bảng biểu và đồ thị

• Đồ thị cột xếp chồng (Stacked Bar Chart)

• Bảng tần số

• Bảng tỉ lệ (tần suất)

• Tần số tích lũy

• Tần suất tích lũy

• Đồ thị điểm (Dot Plot)

• Đồ thị cột

• Đồ thị phân phối giá trị

• Đồ thị đường

• Hai biến: đồ thị

▪ Nhóm xác định vị trí

• Nhóm xu thế trung tâm: Trung bình, Trung vị, Mốt

• Các phân vị

• Nhóm định vị: Min, các tứ phân vị, Max

▪ Nhóm đo độ phân tán: Khoảng biến thiên, Khoảng tứ phân vị, Phương

sai, Độ lệch chuẩn, Hệ số biến thiên

▪ Nhóm đặc trưng hình dáng phân phối: Hệ số bất đối xứng, Hệ số nhọn

▪ Nhóm đo mức độ liên hệ: Hiệp phương sai, Hệ số tương quan

▪ Khác: Tần suất (tỉ lệ), Giá trị chuẩn hóa 𝑧 − 𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒

1.3 THỐNG KÊ MÔ TẢ BẰNG SỐ

Bài 1 Mở đầu 1.3 Thống kê mô tả bằng số

Nhóm xu thế trung tâm

▪ Cung cấp thông tin về “vị trí trung tâm” của tập số liệu của 1 biến

▪ Sử dụng tương ứng với thang đo như sau:

• Khi số quan sát lẻ, trung vị nhận giá trị đứng giữa (vị trí 𝑛+1

2 )

• Khi số quan sát chẵn, trung vị nhận giá trị là trung bình cộng

của 2 giá trị đứng giữa.

Mốt Là giá trị xuất hiện ít nhất 2 lần và xuất hiện thường xuyên nhất

trong bộ dữ liệu

Bài 1 Mở đầu 1.3 Thống kê mô tả bằng số

Bài 1 Mở đầu 1.3 Thống kê mô tả bằng số

Nhóm định vị

▪ Gồm 5 giá trị để định vị tập dữ liệu

𝑀𝑖𝑛 < 𝑄1 < 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 = 𝑄2 < 𝑄3 < 𝑀𝑎𝑥

▪ Sử dụng để vẽ đồ thị Box-and-Whisker Plot, giúp

• Nhận xét hình dáng phân phối của dữ liệu

• So sánh dữ liệu của các biến

▪ Tìm tứ phân vị và vẽ đồ thị Box-and-Whisker Plot

cho ví dụ 1.5 (a)

Điểm 2 bài test

Bài 1 Mở đầu 1.3 Thống kê mô tả bằng số

Nhóm đo độ phân tán

▪ Khoảng biến thiên (Range): 𝑅 = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒 = 𝑀𝑎𝑥 − 𝑀𝑖𝑛

▪ Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range): 𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1

▪ Chú ý

• Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của biến

• Độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị có cùng đơn vị với biến

• Khi dùng phương sai, độ lệch chuẩn để so sánh độ phân tán của các biến cần chú đơn vị đo và ý nghĩa của biến

• Hệ số biến thiên có đơn vị là phần trăm (%), đo độ biến động tương đối, dùng

để so sánh độ phân tán của các biến có đơn vị đo khác nhau

• Giá trị nằm ngoài khoảng (𝑄1 − 1,5 × 𝐼𝑄𝑅; 𝑄3 + 1,5 × 𝐼𝑄𝑅) là giá trị ngoại lai

Bài 1 Mở đầu 1.3 Thống kê mô tả bằng số

Ví dụ 1.5 (tiếp): Tính phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên

Ví dụ 1.6: Tính phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên

So sánh độ phân tán của thời gian làm bài và số câu làm đúng (ví dụ 1.5)của sinh viên

Bài 1 Mở đầu 1.3 Thống kê mô tả bằng số

Nhóm đặc trưng hình dáng phân phối

▪ Chú ý: phần mềm Excel sẽ cho kết quả 𝐾𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 = 𝑎4 − 3

▪ Hệ số bất đối xứng cho biết dữ liệu lệch trái, đối xứng hay lệch phải

Skew < 0: lệch trái; Skew = 0: đối xứng; Skew > 0: lệch phải

Nhóm đặc trưng hình dáng phân phối

▪ Dự đoán dấu của hệ số bất đối xứng

• Dùng đồ thị (cột/phân phối giá trị)

• So sánh Mean và Median

Lệch trái (Negatively skewed)

Đuôi trái (Left skewed)

Đối xứng, dạng chuông (Symmertrical)

Lệch phải (Positively skewed) Đuôi phải (Right skewed)

Bài 1 Mở đầu 1.3 Thống kê mô tả bằng số

Ví dụ 1.7: Bảng tóm tắt một số thống kê mô tả từ Excel

Thống kê Số câu đúng Thời gian hoàn thành (phút)

Standard Deviation Độ lệch chuẩn (S.D) 2.197 2,699

Nhóm đo mức độ liên hệ

▪ Hiệp phương sai có đơn vị đo là tích đơn vị đo của hai biến

▪ Hệ số tương quan không có đơn vị đo và luôn nhận giá trị thuộc [-1; 1]

Bài 1 Mở đầu 1.3 Thống kê mô tả bằng số

Nhóm đo mức độ liên hệ

▪ Dấu của hệ số tương quan cho biết 2 biến tương quan âm hay dương

▪ Hệ số tương quan càng gần 0 thì nói mức độ liên hệ càng yếu, lỏng

▪ Hệ số tương quan càng gần ±1 thì nói mức độ liên hệ càng mạnh, chặt

▪ Có thể dùng đồ thị rải điểm để dự đoán dấu hệ số tương quan

Ví dụ 1.8: Tính hiệp phương sai và hệ số tương quan của mẫu

Thời gian hoàn thành (phút) = X 12 15 14 12 11

Số câu đúng = Điểm bài làm = Y 7 9 10 6 5

2

=

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

Bài 1 Mở đầu 1.3 Thống kê mô tả bằng số

Một số thống kê mô tả khác

▪ Tần suất (relative frequency) hay tỉ lệ (proportion) của dấu hiệu A

▪ Ví dụ 1.9.

a) Một công ty có 10000 lao động, trong đó có 5780 nam Tìm tỉ lệ lao

động nữ của công ty

Trong 𝑁 phần tử có 𝑀𝐴 phần tửmang dấu hiệu A

𝑝 = 𝑝𝐴 = 𝑀𝐴

𝑁

Trong 𝑛 phần tử có 𝑚𝐴 phần tửmang dấu hiệu A

Ƹ𝑝 = Ƹ𝑝𝐴 = 𝑚𝐴

𝑛

Một số thống kê mô tả khác

▪ Giá trị chuẩn hóa (𝑧 − 𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒) của giá trị 𝑥𝑖 trong tập hợp là

𝑧𝑖 = 𝑥𝑖 − Trung bình

Độ lệch chuẩnTập hợp 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑁 và 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛 có trung bình bằng 0 và phươngsai bằng 1

▪ Ví dụ 1.10. So sánh điểm số của 1 sinh viên với hai môn học qua giá trịchuẩn hóa

Toán cho các nhà KT Kinh tế vi mô

Bài 2 Biến cố và Xác suất

▪ 2.1 Phép thử và biến cố

▪ 2.2 Xác suất

▪ 2.3 Tính xác suất theo định nghĩa

▪ 2.4 Liên hệ giữa các biến cố

▪ 2.5 Tính xác suất theo công thức

▪ 2.6 Nguyên lý xác suất

Bài 2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

▪ Tham khảo

[1] Chương 1, trang 5-77[3] Chapter 3, pp 93 - 145

▪ Phép thử (experiment) là việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ

bản để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không

▪ Kết cục (outcome) là hiện tượng, sự kiện có thể xảy ra trong kết quả củaphép thử

▪ Kết cục sơ cấp (basic outcome) là kết cục không thể chia nhỏ thành hợpcủa các kết cục khác

▪ Không gian mẫu (sample space) là tập hợp tất cả các kết cục sơ cấp củaphép thử, kí hiệu là S

▪ Biến cố (event) là tập con bất kì của không gian mẫu.

▪ Tập rỗng (∅) là tập con của S nên nó là một biến cố, nhưng không phảikết cục

2.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

Bài 2 Biến cố và Xác suất 2.1 Phép thử và biến cố

𝐵 = “xuất hiện mặt ngửa”

𝐶 = “không xuất hiện mặt nào”

𝐷 = “xuất hiện ít nhất 1 mặt”Tung 1 đồng

Phân loại biến cố

▪ Biến cố không thể có (impossible), kí hiệu ∅, là biến cố không thể xảy ratrong kết quả của phép thử

▪ Biến cố chắc chắn (certain), kí hiệu Ω, là biến cố nhất định sẽ xảy ratrong kết quả của phép thử Có Ω = 𝑆

▪ Biến cố ngẫu nhiên (random), kí hiệu 𝐴, 𝐵, 𝐴1, … , là biến cố có thể xảy

ra hoặc không xảy ra trong kết quả của phép thử

▪ Ví dụ 2.2 Tung 1 con xúc xắc 6 mặt cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng

• Biến cố chắc chắn: Ω = “xuất hiện số chấm < 7”

• Biến cố không thể có: ∅ = “xuất hiện 7 chấm”

• Biến cố ngẫu nhiên: 𝐴1 = “xuất hiện mặt 1 chấm”; B = “xuất hiện lẻ chấm”

Bài 2 Biến cố và Xác suất

▪ Xác suất (probability) của một biến cố là một con số đặc trưng khả

năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện một phép thử

• Xác suất của biến cố 𝐴 kí hiệu là 𝑃(𝐴)

• Tính chất của xác suất:

o 0 ≤ 𝑃 Biến cố ≤ 1

o Ω là biến cố chắc chắn ⇒ 𝑃 Ω = 1

o ∅ là biến cố không thể ⇒ 𝑃 ∅ = 0

o 𝐴 là biến cố ngẫu nhiên, 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1

▪ Xác suất có điều kiện (condition probability) của biến cố 𝐴 với điều

2.2 XÁC SUẤT

▪ Nếu 𝐵 đã xảy ra thì có thể xuất hiện 1 chấm (là biến cố 𝐴1), 3 chấm hoặc

5 chấm với khả năng như nhau nên

⇒ 𝑃 𝐴1 𝐵 = 1

3

Bài 2 Biến cố và Xác suất

▪ Định nghĩa cổ điển về xác suất

• Định nghĩa cổ điển về xác suất

• Áp dụng

▪ Định nghĩa thống kê về xác suất

▪ Định nghĩa khác (tự đọc)

• Định nghĩa hình học

• Định nghĩa xác suất tiên đề

• Định nghĩa xác suất chủ quan

2.3 TÍNH XÁC SUẤT THEO ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa cổ điển về xác suất

▪ Định nghĩa

• Giả thiết: các kết cục sơ cấp có khả năng xảy ra bằng nhau

• Số kết cục sơ cấp của phép thử: 𝑁

• Số kết cục sơ cấp thuận lợi cho biến cố 𝐴: 𝑁𝐴

• Xác suất xảy ra biến cố 𝐴:

▪ Áp dụng

• Suy luận đơn giản

• Dùng sơ đồ: dạng bảng, sơ đồ Venn, sơ đồ cây

𝑷 𝑨 = 𝑵𝑨

𝑵

Áp dụng

▪ Ví dụ 2.3 (Suy luận đơn giản)

Lớp A có 50 sinh viên, trong đó có 35 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên Tìm xác suất chọn được sinh viên nam.

▪ Ví dụ 2.4 (Dùng sơ đồ Venn)

Lớp A có 50 học sinh, trong đó 28 em đăng kí học thêm nhạc, 25

em đăng kí học thêm vẽ, em đăng kí học thêm cả nhạc và vẽ Chọn 1 em Tìm xác suất:

a) Học sinh đó đăng kí học thêm ít nhất 1 trong 2 môn (đang xét)

Bài 2 Biến cố và Xác suất 2.3 Tính xác suất theo định nghĩa

𝑷 𝑨 = 𝑵𝑨

𝑵

b) Xuất hiện 2 mặt sấp biết rằng lần đầu được mặt sấp

c) Xuất hiện 2 mặt sấp biết rằng lần đầu được mặt ngửa

𝑷 𝑨 = 𝑵𝑨

𝑵

Áp dụng

▪ Ví dụ 2.7 (Dùng công thức giải tích tổ hợp)

Mỗi hộp bóng đèn do công ty A sản xuất có 24 bóng, trong đó có bóng

bị lỗi Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn từ hộp để kiểm tra Tìm xác suất:

a) Lấy được 3 bóng bị lỗi

b) Lấy được đúng 2 bóng bị lỗi

c) Lấy được đúng 1 bóng bị lỗi

Bài 2 Biến cố và Xác suất 2.3 Tính xác suất theo định nghĩa

𝑷 𝑨 = 𝑵𝑨

𝑵

Định nghĩa thống kê

▪ Thực hiện 𝑛 phép thử

▪ Số lần xuất hiện biến cố 𝐴: 𝑛𝐴

▪ Tần suất (tỉ lệ) xuất hiện biến cố 𝐴: 𝑛𝐴

Bài 2 Biến cố và Xác suất

▪ Biến cố thuận lợi

▪ Tính xung khắc (mutually exclusive)

▪ Nhóm đầy đủ các biến cố (universal set, partitions)2.4 LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ