chương 5 Ước lượng thống kê

Lấy mẫu và phân phối mẫu, Ước lượng điểm là gì, Quá trình suy diễn thống kê, Phân phối mẫu của

Chương 5: Ước lượng thống kê

Phần nội dung cần tìm hiểu

A Lấy mẫu và phân phối mẫu

B Ước lượng khoảng

C Suy diễn Thống kê về Trung bình và Tỷ lệ của Hai Tổng Thể

D Suy diễn Thống kê về Trung bình và Tỷ lệ của Hai Tổng Thể

“

A Lấy mẫu và phân phối mẫu

 Chọn một mẫu

 Ước lượng điểm

 Giới thiệu phân phối mẫu

 Phân phối mẫu của

 Phân phối mẫu của 𝑃

 Các tính chất của ước lượng điểm

 Các phương pháp lấy mẫu khác

𝑥

Chọn mẫu

 Lấy mẫu từ một tổng thể hữu hạn

 Lấy mẫu từ một tổng thể vô hạn

Lấy mẫu từ một tổng thể hữu hạn

 Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản cỡ n từ một tổng thể hữu hạn

kích thước N là một mẫu được chọn sao cho

mỗi mẫu cỡ n như vậy có cùng khả năng được lựa chọn

Lấy mẫu từ một tổng thể hữu hạn

 Trả lại mỗi phần tử đã được lấy mẫu trước khi lựa chọn

các phần tử sau được gọi là lấy mẫu có hoàn lại

 Lấy mẫu không hoàn lại là thủ tục thường được sử dụng

 Trong các dự án lấy mẫu lớn, các số ngẫu nhiên do

máy tính tạo ra thường được sử dụng để tự động hóa

quá trình chọn mẫu

Lấy mẫu từ một tổng thể hữu hạn

Ví dụ : Đại học St Andrew’s

Đại học St Andrew’s đã nhận 900 đơn

xin vào học năm tới từ các sinh viên tương lai Các ứng viên đã được đánh số,

từ 1 đến 900, khi đơn của họ nộp vào

Trưởng ban tuyển sinh muốn chọn một mẫu ngẫu nhiên

đơn giản gồm 30 ứng viên

Lấy mẫu từ một tổng thể hữu hạn

Ví dụ : Đại học St Andrew’s

 Bước 1: Gắn một số ngẫu nhiên cho mỗi ứng viên

trong 900 ứng viên nói trên

Các số ngẫu nhiên được tạo bởi hàm ngẫu nhiên của Excel

heo phân phối xác suất đều giữa 0 and 1

 Bước 2: Chọn 30 ứng viên tương ứng với 30 số

ngẫu nhiên nhỏ nhất

Lấy mẫu từ một tổng thể vô hạn

 Đôi khi chúng ta muốn chọn một mẫu, nhƣng nhận

thấy không thể có đƣợc một danh sách gồm tất cả các

Lấy mẫu từ một tổng thể vô hạn

 Tổng thể thường được tạo ra bằng một quá trình xảy ra hiện thời ở đó không

có giới hạn trên đối với số lượng đơn vị có thể được tạo ra

 Vài ví dụ về quá trình xảy ra hiện thời, với các tổng thể

vô hạn, là :

• Các bộ phận đang được sản xuất trên một dây chuyền

sản xuất

• Các giao dịch đang xảy ra tại một ngân hàng

• Các cuộc gọi điện thoại đang đến ở một tổ hỗ trợ

kỹ thuật

• Các khách hàng đang đi vào một cửa hang các khách hàng

đang đi vào một cửa hàng

Lấy mẫu từ một tổng thể vô hạn

 Trong trường hợp một tổng thể vô hạn, chúng ta phải chọn một mẫu ngẫu nhiên để thực hiện các suy diễn thống kê có căn cứ về tổng thể từ mẫu được lấy

 Một mẫu ngẫu nhiên từ một tổng thể vô hạn là một mẫu được chọn sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn

• Mỗi phần tử được chọn đến từ tổng thể quan tâm

• Mỗi phần tử được chọn một cách độc lập

Ước lượng điểm

 Ước lượng điểm là một dạng của suy diễn thống kê

 Trong ước lượng điểm chúng ta sử dụng dữ liệu từ mẫu

để tính toán giá trị của một thống kê mẫu, rồi dùng nó như một ước lượng của tham số tổng thể

 Chúng ta xem 𝑥 như ước lượng điểm của trung bình tổng thể 𝜇

 s là ước lượng điểm của độ lệch chuẩn tổng thể 𝜎

 𝑝 là ước lượng điểm của tỷ lệ tổng thể p

Ước lượng điểm

Ví dụ : Đại học St Andrew’s

 Nhắc lại là Đại học St Andrew’s đã nhận 900 đơn

của các sinh viên tương lai Mẫu đơn chứa nhiều thông tin bao gồm điểm kiểm tra năng lực học tập (SAT)

và có hay không mong muốn ở ký túc xá

 Tại một cuộc họp trong vài giờ, Trưởng ban tuyển

sinh muốn công bố điểm SAT trung bình và tỷ lệ ứng viên muốn sống ở ký túc xá của trường, trong tổng thể

900 ứng viên

Ước lượng điểm

Ví dụ : Đại học St Andrew’s

 Tuy nhiên, dữ liệu cần thiết về các ứng viên chưa được đưa vào

trong cơ sở dữ liệu máy tính của trường

Vì vậy, Trưởng ban quyết định ước lượng giá trị của các tham số tổng thể quan tâm dựa vào thống kê mẫu

Mẫu gồm 30 ứng viên được chọn bằng cách sử dụng

các số ngẫu nhiên do máy tính tạo ra

Ước lượng điểm

 𝑥 là Ước Lượng Điểm của 𝜇

Ước lượng điểm

Khi tất cả dữ liệu của 900 ứng viên được đưa vào cơ sở dữ liệu của trường, giá trị các tham số tổng thể quan tâm được tính toán

 Trung bình tổng thể của điểm SAT

Tham số Tổng thể

Giá trị Tham số

Tham số Ước lượng điểm

Ước lượng Điểm

𝜇 = Điểm SAT trung bình

Bảng tóm tắc các Ước Lượng Điểm có được từ

một mẫu ngẫu nhiên đơn giản

Phân Phối Mẫu của 𝑥

Quá trình suy diễn thống kê

Dữ liệu mẫu cung cấp một giá trị cho trung bình mẫu 𝑥

Giá trị của 𝑥 được

sử dụng để suy diễn

về giá trị của 𝜇

Phân Phối Mẫu của 𝑥

Phân phối mẫu của 𝑥 là phân phối xác suất

của tất cả các giá trị có thể có của trung bình mẫu 𝑥

 Giá trị kỳ vọng của 𝑥

E(𝑥 ) = 𝜇

Ở đó : 𝜇 = trung bình tổng thể

Khi giá trị kỳ vọng của tham số ước lượng điểm bằng

tham số tổng thể, chúng ta nói tham số ước lượng

điểm là không chệch

Phân Phối Mẫu của 𝑥

 Độ lệch chuẩn của 𝑥

Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu sau đây để định nghĩa

độ lệch chuẩn của phân phối mẫu của 𝑥

𝜎𝑥 = độ lệch chuẩn của 𝑥

σ = độ lệch chuẩn của tổng thể

n = cỡ mẫu

N = kích thước tổng thể

Phân Phối Mẫu của 𝑥

Phân Phối Mẫu của 𝑥

Khi tổng thể có phân phối chuẩn, thì phân phối

mẫu của 𝑥 có phân phối chuẩn với mọi cỡ mẫu Trong đa số ứng dụng, phân phối mẫu của 𝑥 có thể được xấp xỉ bằng một phân phối chuẩn

bất cứ khi nào cỡ mẫu từ 30 trở lên

Trong các trường hợp mà tổng thể bị lệch nhiều hay các giá trị bất thường xuất hiện, các mẫu cỡ 50

có lẽ cần thiết

Phân phối mẫu của 𝑥 có thể được sử dụng để cung cấp thông tin xác suất về trung bình mẫu 𝑥 gần như thế nào với trung bình tổng thể 𝜇

Định Lý Giới Hạn Trung Tâm

Khi tổng thể mà từ đó chúng ta chọn ra một mẫu

ngẫu nhiên không có phân phối chuẩn, định lý giới hạn trung tâm là hữu ích trong việc nhận biết hình dạng của phân phối mẫu của 𝑥

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

Khi chọn các mẫu ngẫu nhiên cỡ n từ một

tổng thể, phân phối mẫu của trung bình mẫu 𝑥 có thể xấp xỉ một phân phối chuẩn khi cỡ mẫu đủ lớn lớn

Phân Phối Mẫu của 𝑥

Phân Phối Mẫu của 𝑥

Ví dụ : Đại học St Andrew’s

 Xác suất mà một mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 30 ứng viên sẽ cho một ước lượng của điểm SAT trung bình tổng thể ở trong vòng +/-10 so với trung bình tổng thể thực sự 𝜇 là bao nhiêu ?

Nói cách khác, xác suất 𝑥 nằm giữa 1080 và 1100

là bao nhiêu?

Phân Phối Mẫu của 𝑥

Ví dụ: Đại học St Andrew’s

Bước 1: Tính giá trị z tại điểm trên của khoảng

Z = (1100 – 1090) / 14.6 = 0.68 Bước 2: Tìm diện tích dưới đường cong về bên trái của điểm trên

P(z < 0.68) = 0.7517

Phân Phối Mẫu của 𝑥

Phân Phối Mẫu của 𝑥

Phân Phối Mẫu của 𝑥

Phân Phối Mẫu của 𝑥 đối với các điểm SAT

Phân Phối Mẫu của 𝑥 đối với các điểm SAT

Ví dụ: Đại học St Andrew’s

Bước 5: Tính diện tích dưới đường cong giữa các điểm

trên và dưới của khoảng

P(-0.68 < z < 0.68) = P(z < 0.68) - P(z < -0.68)

= 0.7517 - 0.2483

= 0.5034 Xác suất để trung bình mẫu của điểm SAT sẽ nằm giữa 1080 và 1100 là:

P(1080 < 𝑥 < 1100) = 0.5034

Phân Phối Mẫu của 𝑥 đối với các điểm SAT

Mối Quan Hệ Giữa Cỡ Mẫu

và Phân Phối Mẫu của 𝑥

• Bất cứ khi nào cỡ mẫu tăng lên, sai số chuẩn của

trung bình 𝜎 giảm xuống Với mẫu tăng lên thành

n = 100, sai số chuẩn của trung bình giảm xuống

từ 14.6 thành :

𝜎𝑥 = 𝜎

𝑛 = 80

100 = 8.0

Mối Quan Hệ Giữa Cỡ Mẫu

và Phân Phối Mẫu của 𝑥

Mối Quan Hệ Giữa Cỡ Mẫu

và Phân Phối Mẫu của 𝑥

Ví dụ: Đại học St Andrew’s

• Nhắc lại là khi n = 30, P(1080 < 𝑥 < 1100) = 0.5034

• Chúng ta theo các bước giống hệt khi n = 30

để giải tìm P(1080 < 𝑥 < 1100) khi n = 100

• Giờ đây, với n = 100, P(1080 < 𝑥 < 1100) = 0.7888

• Vì phân phối mẫu với n = 100 có sai số chuẩn nhỏ hơn nên các giá trị của 𝑥 có ít biến thiên hơn và có khuynh hướng gần với trung bình tổng thể hơn

các giá trị của 𝑥 với n = 30

Mối Quan Hệ Giữa Cỡ Mẫu

và Phân Phối Mẫu của 𝑥

Ví dụ : Đại học St Andrew’s

Phân phối

Mẫu của 𝑥 đối

với điểm SAT

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Thực hiện các suy diễn về Tỷ Lệ Tổng Thể

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Phân hối mẫu của 𝜌 là phân phối xác suất của tất cả các giá trị có thể có của tỷ lệ mẫu 𝜌

• Giá trị kỳ vọng của 𝜌

E(𝜌 ) = 𝜌

Trong đó:

𝜌 = tỷ lệ tổng thể

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Dạng Phân Phối Mẫu của 𝜌

Phân phối mẫu của 𝜌 có thể xấp xỉ một phân phối chuẩn bất cứ khi nào cỡ mẫu đủ lớn để thỏa mãn hai điều kiện:

n𝜌 ≥ 5

và n(1 – 𝜌) ≥ 5

Vì khi các điều kiện này thỏa mãn, phân phối

xác suất của x trong tỷ lệ mẫu, 𝜌 = x/n, có thể xấp xỉ phân phối chuẩn (và vì n là một hằng số)

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Ví dụ: Đại học St Andrew’s

Nhắc lại là 72% sinh viên tương lai nộp đơn vào đại Học St Andrew’s muốn ở ký túc xá

Xác suất để một mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm

30 ứng viên sẽ cho một ước lượng của tỷ lệ tổng thể ứng viên muốn ở ký túc xá nằm trong vòng cộng

trừ 0.05 so với tỷ lệ tổng thể thực sự là bao nhiêu?

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Ví dụ : Đại học St Andrew’s

Ví dụ của chúng ta, với n = 30 và p = 0.72, phân phối

chuẩn là một xấp xỉ có thể chấp nhận được vì:

n𝜌 = 30(0.72) = 21.6 ≥ 5 n(1 - 𝜌) = 30(0.28) = 8.4 ≥ 5

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Ví dụ : Đại học St Andrew’s

Phân phối

p 0,72 0,77

Diện tích

=0,7291

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Ví dụ : Đại học St Andrew’s

Phân phối

0,72 0,67

Diện tích

=0,2709

p

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Xác suất tỷ lệ mẫu của các ứng viên muốn ở ký túc xá sẽ nằm trong vòng +/- 0.05 so với tỷ lệ tổng thể thực sự :

P(0.67 ≤ 𝜌 ≤ 0.77) = 0.4582

Phân Phối Mẫu của 𝜌

Diện tích

=0,4582

Các Tính Chất của các Ước Lượng Điểm

Trước khi sử dụng một thống kê mẫu như một

tham số ước lượng điểm, các nhà thống kê cần

kiểm tra để biết thống kê mẫu có các tính chất

sau đây gắn liền với các tham số ước lượng

điểm tốt hay không

• Tính không chệch

• Tính hiệu quả

• Tính vững

Các Tính Chất của các Ước Lượng Điểm

Không chệch

 Nếu giá trị kỳ vọng của thống kê mẫu bằng với

tham số tổng thể đang được ước lượng, thống kê

mẫu được gọi là một tham số ước lượng không

chệch của tham số tổng thể

Các Tính Chất của các Ước Lượng Điểm

 Tham số ước lương điểm có độ lệch chuẩn nhỏ hơn được gọi là có tính hiệu quả tương đối lớn hơn tham số còn lại

Các Tính Chất của các Ước Lượng Điểm

Tính vững

 Một tham số ước lượng điểm là vững nếu các giá trị của ước lượng điểm có xu hướng trở nên gần hơn

tham số tổng thể khi cỡ mẫu trở nên lớn hơn

 Nói cách khác, cỡ mẫu lớn có xu hướng cho một ước lượng điểm tốt hơn một cỡ mẫu nhỏ

B Ước lượng khoảng

 Trung bình tổng thể: Biết 𝜎

 Trung bình tổng thể: Chưa biết 𝜎

 Xác định cỡ mẫu

 Tỷ lệ tổng thể

Sai số biên và Ước lượng khoảng

Ước lượng điểm không được kỳ vọng sẽ cung cấp giá trị chính xác của tham số tổng thể

Ước lượng khoảng có thể được tính bằng cách cộng và trừ 1 sai số biên vào ước lượng điểm

Ước lượng điểm +/- Sai số biên

Mục đích của ước lượng khoảng là cung cấp thông tin mức

độ ước lượng điểm, được cung cấp bởi mẫu, gần với giá trị của tham số tổng thể

Sai số biên và Ước lượng khoảng

Dạng tổng quát của ước lượng khoảng trung bình tổng thể là

𝑥 ± sai số biên

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

trường hợp biết 𝜎

Để xây dựng ước lượng khoảng của trung

bình tổng thể, sai số biên phải được tính,

dùng:

• Độ lệch chuẩn tổng thể 𝜎

• Độ lệch chuẩn mẫu s

𝜎 hiếm khi được biết một cách chính xác, nhưng

thường một ước lượng tốt của nó có thể thu được dựa

vào dữ liệu lịch sử hoặc các thông tin khác

Chúng ta đề cập đến trường hợp biết 𝜎

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

trường hợp biết 𝜎

Ước lượng khoảng của 𝜇

𝑥 ± 𝑧𝛼/2 𝜎

𝑛

Với: 𝑥 : là trung bình mẫu

1 - 𝛼: là hệ số tin cậy ( độ tin cậy)

𝑧𝛼/2: là giá trị z cung cấp một diện tích 𝛼/2 trong đuôi phải của phân phối

xác suất chuẩn hóa

𝜎: là độ lệch chuẩn tổng thể n: là cỡ mẫu

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

trường hợp biết 𝜎

Các giá trị 𝑧𝛼/2 của các độ tin cậy thông dụng

Độ Bảng tin cậy a a/2 diện tích za/2 90% 0,10 0,05 0,9500 1,645 95% 0,05 0,025 0,9750 1,960 99% 0,01 0,005 0,9950 2,576

Ý nghĩa của độ tin cậy

Bởi vì 90% của tất cả các khoảng được xây dựng sử dụng

𝑥 ± 1,645𝜎𝑥 sẽ chứa trung bình tổng thể, chúng ta nói có 90% tin rằng khoảng 𝑥 ± 1,645𝜎𝑥 chứa trung bình tổng thể 𝜇

Chúng ta nói rằng khoảng này được ước lượng

với độ tin cậy 90%

Giá trị 0,90 gọi là hệ số tin cậy

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

trường hợp biết 𝜎

Ví dụ: Discount Sounds

Discount Sounds có 260 cửa hàng bán lẻ khắp nước Mỹ

Công ty đang ước lượng 1 vị trí tiềm năng cho 1 cửa hàng

mới, ước lượng 1 phần dựa vào thu nhập trung bình hàng

năm của cư dân ở địa điểm tính mở cửa hàng mới

Một mẫu n = 36 được lấy; trung bình mẫu của thu nhập là

41.100 USD Tổng thể không bị lệch nhiều Độ lệch

chuẩn tổng thể được ước lượng là 4.500 USD, và hệ số tin

cậy được sử dụng trong ước lượng khoảng là 0,95

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

trường hợp biết 𝜎

Ví dụ: Discount Sounds

95% của trung bình mẫu quan sát được là nằm trong

khoảng ± 1,96 𝛼𝑥 của trung bình tổng thể 𝜇

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

tổng thể

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

trường hợp biết 𝜎

Ví dụ: Discount Sounds

Độ Sai số tin cậy biên Khoảng ước lượng 90% 3,29 78,71 tới 85,29 95% 3,92 78,08 tới 85,92 99% 5,15 76,85 tới 87,15

Với độ tin cậy lớn hơn thì sai số biên sẽ lớn hơn,

vì thế khoảng tin cậy sẽ rộng hơn

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

trường hợp biết 𝜎

Cỡ mẫu thích hợp

Trong hầu hết ứng dụng, cỡ mẫu n = 30 là thích hợp

Nếu phân phối tổng thể bị lệch nhiều hoặc chứa

giá trị bất thường, cỡ mẫu tối thiểu là 50 được

khuyên dùng

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

trường hợp biết 𝜎

Cỡ mẫu thích hợp (tiếp tục)

Nếu tổng thể không có phân phối chuẩn nhưng có

tính đối xứng cao, cở mẫu khoảng 15 là đủ

Nếu tin rằng tổng thể xấp xỉ phân phối chuẩn,

cỡ mẫu bé hơn 15 có thể dùng được

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

Chưa biết 𝜎

Nếu ước lượng của độ lệch chuẩn tổng thể 𝜎 không

thể được xây dựng trước khi lấy mẫu, chúng ta sử

dụng độ lệch chuẩn mẫu s để ước lượng 𝜎

Đây là trường hợp chưa biết 𝜎

Trong trường hợp này, ước lượng khoảng của 𝜇 dựa trên phân phối t Student

(Bây giờ chúng ta giả định tổng thể có phân phối chuẩn.)

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

Chưa biết 𝜎

Ước lượng khoảng

𝑥 ± 𝑡𝛼/2 𝑠

𝑛

Với: 1 - 𝛼 = hệ số tin cậy

𝑡𝛼/2 = giá trị t cung cấp 1 diện tích 𝛼/2

trong đuôi phải của phân phối t với

n - 1 bậc tự do

s = độ lệch chuẩn mẫu

Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể:

Chưa biết 𝜎

Ví dụ : Căn hộ cho thuê

Một phóng viên của một tờ báo sinh viên đang viết một bài báo về chi phí thuê phòng ở ngoài trường Một mẫu 16 căn hộ tiện dụng trong vòng nửa dặm xung quanh trường cho trung bình mẫu là 750 USD/tháng và độ lệch chuẩn mẫu là 55 USD

Hãy xây dựng một khoảng tin cậy ước lượng 95% của số tiền thuê trung bình mỗi tháng cho tổng thể các căn hộ tiện dụng trong vòng nửa dặm xung quanh trường Chúng ta sẽ giả định tổng thể này có phân phối chuẩn