DẠNG 6 tồn tại

TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ BIỂU THỨC THOẢ MÃN CÓ NGHIỆM I.. PHƯƠNG PHÁP + Tìm điều kiện xác định nếu cần + Rút gọn biểu thức + Biến đổi yêu cầu bài toán về 1 phương trình + Tìm điều kiện để

DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ BIỂU THỨC THOẢ MÃN CÓ NGHIỆM

I PHƯƠNG PHÁP

+ Tìm điều kiện xác định nếu cần

+ Rút gọn biểu thức

+ Biến đổi yêu cầu bài toán về 1 phương trình

+ Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

+ Đối chiếu + Kết luận

II VÍ DỤ

Ví dụ 1 cho hai biểu thức

x 3 x 3 x



x 2 B

x





a) Tính giá trị biểu thức B tại x 9 .

b) Chứng minh

2

x 2 A

x x 3





 c) Tìm giá trị của tham số m để phương trình A : B m có nghiệm duy nhất.

Lời giải

a) ĐKXĐ: x 0

Thay x 9 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức B , ta được:

x 2 B

x



3



3

 Vậy tại x 9 thì

1 B 3



b)

x 3 x 3 x



  2 x 1x 3 x 4x 3 1



2x x 4 x 3 x

x x 3



 x 4 x 4x x 3





2

x 2

x x 3





 (đpcm)

c) ĐKXĐ: x 0 ; x 4

Ta có:

A : B

2

: x

x x 3





2

x 2

x x 3





  x 2x 3

 Xét phương trình:

x 2

m

x 3 

 m x 3m  x 2 m 1  x  3m 2 (*)

Với m 1 ta có

3m 2 x

1 m





 .

Theo đkxđ ta có

x 0

x 4





 



Để pt (*) có nghiệm duy nhất cần

m 1 3m 2

0

1 m 3m 2

2

1 m



 

 





 



+)

3m 2

2

1 m 



3m 2

2 0

1 m





3m 2 2 2m

0

1 m

  



5m 0

m 1





  



m 0

m 1





  

  1 +)

3m 2

0

1 m 



Trường hợp 1:

3m 2 0

1 m 0

 



  



3m 2

m 1

 



  



2 m 3

m 1



 



 

 



2

m 1 3



Trường hợp 2:

3m 2 0

1 m 0

 



  



3m 2

m 1

 



  



2 m 3

m 1



 



 

 

2

m 1 3



để

3m 2

0

1 m 

  2 KL: Từ  1 và  2 ta có

2

m 1 3

  

, m 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2 Cho

x 3 A

x





;

B

x 9





  , x 0 ; x 9 .

a) Tính giá trị của A khi

25 x 9

 b) Rút gọn biểu thức B

c) Cho P A.B Tìm x để P.x 3 x 5   x 2 x 7 có nghiệm.

Lời giải

Điều kiện: x 0 ; x 9 .

a) Tính giá trị của A khi

25 x 9



Thay

25 x 9

 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào

x 3 A

x





, ta được:

25 3 5

3 14 9 42

b) Rút gọn biểu thức B.

B

x 9





B



 3 x 9   3 x 3 

B





3 B

x 3



 . c) Cho P A.B Tìm x để P.x 3 x 5   x 2 x 7 có nghiệm.

Ta có:



 (với x 0 ; x 9 ).

P.x 3 x 5   x 2 x 7 (ĐK: x 5 ; x 9 ).

3 x 3 x 5 x 2 x 7 x

3 3 x 5 x 2 x 7

x 2 x 3 x 5 4 0

2x 4 x 6 x 5 8 0

x 5 6 x 5 9 x 4 x 4 0

Vì

2 2





x 5 3   x 2 0

Do đó:   2 2

x 5 3   x 2 0

chỉ xảy ra khi :

 

2 2







x 5 3 0

x 2 0

   



 

 



x 5 9

x 4

 



  



x 13

x 4





  

 (Điều này không xảy ra)

Vậy, không có giá trị nào của x để P.x 3 x 5   x 2 x 7 có nghiệm.

Ví dụ 3 Cho biểu thức

1

x A

x





 và

B

   với x ;0 1

x

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 16

2) Đặt P A B  Rút gọn biểu thức P

3) Tìm m để có x thoả mãn P x  3 m

Lời giải

1) Ta có x thoả mãn điều kiện 16 x ; 0 x 1

Khi đó, thay x vào 16

1

x A

x





 ta được

3 16 2 3 4 2 10 10

1 16

Vậy khi x thì 16

10 3

A  

2) Vì P A B  nên

P

    với x ; 0 x 1

Khi đó

P



 5 37 21



  

 1 53 12



3

x x



 .

3) Với x ; 0 x1.ta có    5  2 

3

x

x



2

2 5

5

m

Với x ; 0 x1 thì

3

m x



Vậy với

2 3

m m

 

  

 thì có x thoả mãn P x  3 m

III BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 Cho hai biểu thức

5 3

x A x





 và

9

B

x



  với x0;x9. 1) Tính giá trị biểu thức A khi x16.

2) Đặt

B P A

 Chứng minh

5 3

x P x





 . 3) Tìm tất cả cách giá trị của x thỏa mãn x 1  x3.P2 x3

Lời giải

1) Với x16( thỏa mãn điều kiện).Thay vào A ta có

16 5

9

16 3

2) Ta có

9



5

x



5

x





 325 3 35 53

(ĐPCM)

3) Ta có x 1  x3.P2 x3   5

3

x

x





1 1

3 2 0

x x

x



         

Thỏa mãn với điều kiện ban đầu

Vậy x thỏa mãn 1

Câu 2 ) Cho biểu thức

A

   ;  2   1 1

x B

x x





   x0

. a) Tính giá trị của biểu thức A với x 4

b) Tìm x để A 0

B  c) Tìm giá trị của m để có ít nhất 2 giá trị x ; 1 x3 thỏa mãn:

A

Lời giải

a) Tính giá trị của biểu thức A với x4

A

 12 1 2

x

 



1 2 x



 . Thay x (TMĐK) vào biểu thức A ta được:4

1

4 2

A 

 1

4



Vậy với x4 thì giá trị của biểu thức A bằng

1

4.

b) Tìm x để A 0

B 

Ta có:





1

x x

  .

Để A 0

B 

1 x

  ( Điều kiện x0)

0 x 1

   .

Vậy để A 0

B  thì 0 x 1. c) Tìm giá trị của m để có ít nhất 2 giá trị x ; 1 x3 thỏa mãn:

A

Ta có: mA m2 1x m x 1

m2 1x m 1 0

Thay x ; 1 x3 vào phương trình ta được

2 2

0





  



0 1 1 2 3

m m m m

 

 



  

 



  m 1. Vậy m 1

Câu 3 Cho hai biểu thức

3 x 2 A





 và

15 x 11 2 x 3 B

   với x 0 , x 1 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 16 .

b) Đặt P   Rút gọn biểu thức P A B

c) Tìm m để có x thỏa mãn P( x 3) m  .

Lời giải

a) x 16 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Thay x 16 vào biểu thức

3 x 2 A





3 16 2 3.4 2 12 2 10 A

1 16

Vậy khi x 16 thì

10 A

3

 

b) Với x 0 ; x 1 Ta có:

3

P A B 3 x 2 15 x 11 2 x 3





P



3 x 2x 1 x 3x 3  x 115 x 11 x 3  2 x 3x 1  x 3x 1 



 x 13x 7 x 6 x 3  x 115 x 11 x 3  x 12x x 3x 3



3x 7 x 6 15 x 11 2x x 3



5 x x 1 2 x 1







 x 1x 15 x 2x 3 5 x 2x 3



Vậy với x 0 ; x 1 thì P 3

5 x 2 x



 c) Với x 0 ; x 1 , ta có:   5 x 2  

x

3



 Với x 0  5 x   0 5 x 2 2   m 2  1

 Mặt khác: x 1  x 1  5 x    5 5 x 2     3 m 3

 2

Từ  1 và  2  m 2;m 3

Vậy với m 2 ; m 3 thìcó x thỏa mãn P( x 3) m  .

x A

x 2



 và



(với x 0 ;x 1 )

a) Tính giá trị của A khi

16 x 25

 b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm các giá trị nguyên của tham số m sao cho tồn tại x thỏa mãn: 1 5AB m  .

Lời giải

a)

16 x

25

 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Thay

16 x 25



vào biểu thức

x A

x 2



 ta được:

4 14 4 5 2

2 5 25





Vậy khi

16 x 25

 thì

2 A 7

 b) Với x 0 ; x 1 Ta có:



2

x 1

B

x x 1







Vậy với x 0 ; x 1 thì

x 1 B

x



  c) Với x 0 ; x 1

Ta có:

m 1 5AB 1 5



Vì

2

x 2



m 6

 1

Mặt khác:

5

x 2



5

x 2

Từ  1 và  2   72 m 6

, mà m  ¢ m 4 hoặc m 5 Thử lại:

Với

5

x 2



(thỏa mãn)

Với

5

x 2

 x 2 5   x   3 x 9 (thỏa mãn) Vậy với m 4;5 tồn tại x thỏa mãn: 1 5AB m  .

Câu 5 Cho biểu thức

1 1

x A

x





 ;

  với x0, 4

x

a) Tính giá trị biểu thức A khi x 3 2 2

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm m để phương trình B A  có nghiệm.m

Lời giải

a) Tính giá trị biểu thức A khi x 3 2 2

3 2 2

x  (thỏa mãnx0)

2 2 2 1

2 1

x

Thay x 2 1 vào A ta có:

2 1 2

x A

x

Vậy x 3 2 2 thì A  2 1

b) Rút gọn biểu thức B

B

1

x

B

x



6 22 24 21

B

x



B

x



1 1

B

x



 c)Tìm m để phương trình B A m  có nghiệm

1 1

x



Điều kiện x0, x4

1 1 1

x m x

 

 1

x



0

(*) Với m1, ta thay m vào (*) Khi đó phương trình vô nghiệm.

Với m ta có 1 1

m x

m









x



  (tử, mẫu cùng dấu).

Trường hợp 1:

0

m m

 

  



0 1

m m

 

  

   0 m 1

Trường hợp 2:

0

m m

 

  



0 1

m m

 

  

Suy ra 0 m 1

1

m

m





3m 2

   

2 3 m

Vậy 0 m 1 và

2 3

m

để phương trình B A m  có nghiệm

Câu 6 Cho biểu thức

1

a) Rút gọn P

b) Tìm m để có giá trị x thoả mãn P m

Bài giải

a) Với x thì 0

1

P :

1

:

  

1

x

x x



Vậy với x thì 0

1

P

x



x

(1)

Vì 1 0 nên (1) là phương trình bậc hai

Đặt t x t 0

(1) trở thành t2m1t 1 0(2)

Phương trình (1) có nghiệm  Phương trình (2) có nghiệm dương

TH1: Phương trình (2) có 2 nghiệm dương

1 0

1

1 0

1 0

1 0

m m

S m

P

 

  



  



TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

1 0

S

   ( vô lý) Loại

TH3: Phương trình (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0

Với t thay vào (2) ta được 0 02m1 0 1 0    1 0( vô lý ) Loại

Vậy m1 là giá trị cần tìm

Câu 7 Cho biểu thức

1

x

x

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của m để có giá trị x thoả mãn P x m  x

c) Tìm giá trị của m để có giá trị x thoả mãn P x m  x

Bài giải

a) Với x0;x thì 1

1

x

x

x



1

x

x





Vậy với x0;x thì 1

1 x P

x





b)

1 x

x



Đặt t x t0;t1

(1) trở thành t2    (2)t m 1 0

Vì 1 0       1 4 m 1 4m3

Phương trình (1) có nghiệm  Phương trình (2) có nghiệm không âm

TH1: Phương trình (2) có 2 nghiệm dương

1 0

1 0

m S

   



    

    

TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

TH3: Phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0

Thay 0 vào (2) ta được 02    0 m 1 0 m1

 

1

t

t

 

         

 ( loại)

TH4: Phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 1

Thay 1 vào (2) ta được 12    1 m 1 0 m3

   

1

t

t

  

 ( loại) Vậy m là giá trị cần tìm.1

c)

1 x

x



Đặt t x t0;t1

(2) trở thành t2    (2)t m 1 0

Vì 1 0       1 4 m 1 4m3

Để phương trình có nghiệm điều kiện là:

3

4

Khi đó theo hệ thức Vi ét ta có t t1   suy ra trong hai nghiệm tồn tại ít nhất một2 1 0 nghiệm dương

Vậy chỉ cần tìm m để t , tức là 1 12    1 m 1 0 m1

Kết hợp với điều kiện

3 4

m

Vậy

3 4 1

m m

 





 

 là giá trị cần tìm.

Câu 8 Cho biểu thức

1

P

x



  với x0;x1 a) Rút gọn P

b) Tìm m để phương trình m.P x có nghiệm duy nhất.2

Bài giải

a) Với x0;x thì 1

1

P

x













 1 21 11 2 11

x



Vậy với x0;x thì 1

1

x P

x







1

x

x





Đặt t x t 0;t1

Khi đó (2) trở thành t2 2m1t m  2 0(3)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

TH1: t1

2

Thay m  vào phương trình ta được:2

   

t         t t t t t t  t 

4

 



 



Suy ra với m 2 phương trình (1) có nghiệm duy nhất

TH2: t0 02 2m1 0    m 2 0 m2

Thay m2vào phương trình ta được:

 

5

t

t

 



0 25

x x

 

  

  Loại TH3: Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu khác 1

Vậy m2là giá trị cần tìm.

Câu 9. Cho biểu thức

1

x ;x ;x

1) Rút gọn P

2) Tìm m để có 1 giá trị x thoả mãn P( x 2) x( x m)2   x(1 2 x)  4 m

Bài giải

1) Với x0;x4;x thì 9

1

1

:

             

1

            

:

2

3

:





3





2

x x



2

x





Vậy với x0;x4;x thì 9

3 2

P x



 2) P( x 2) x( x m)2   x(1 2 x)  (1)4 m

3

x



3 2x x m x x 2x 4 m

2x x 2x x 1 m x m 0

x x

              

 

1 1 2 2

m

 



 



Phương trình (1) chỉ có 1 giá trị xthỏa mãn

 phương trình (2) có nghiệm bằng 1 hoặc có nghiệm không thỏa mãn x0;x4;x9 TH1: Phương trình (2) có nghiệm bằng 1

1

2

TH2: Phương trình (2) có nghiệm bằng 4

1

2

TH3: Phương trình (2) có nghiệm bằng 9

1

2

m



TH4: Phương trình (2) có nghiệm âm

1

2

m



Vậy

1 3 9 19

m

m

m

m

 

 



 





 là giá trị cần tìm.

Câu 10.

Câu 11

Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

Câu 1