Đa Thức Độc Lập Của Đồ Thị Đơn

Vì vậy, tôi chọn đề tài "Đa thức độc lập của đồ thị đơn" để tìm hiểu, nghiên cứu cách xác định cũng như tính chất của đa thức độc lập của một số lớp đỗ thị quan trọng.. - Tính toán được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NĂNG

600:

VÕ ĐỨC TRUNG

ĐA THỨC ĐỘC LẬP CỦA ĐỒ THỊ ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: DẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

Dà Nẵng, Tháng 9/2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NĂNG

o00

VÕ ĐỨC TRUNG

ĐA THỨC ĐỘC LẬP CỦA ĐỒ THỊ ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: DẠI SỐ VÀ LÝ THUYÊT SỐ

Mã 86: 60 46 01 04

Can bộ hướng dẫn khoa học

TS TRAN QUANG HOA

Đà Nẵng, Tháng 9/2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các dữ liệu và

kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho

phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác

Đà Nẵng, Tháng 9 năm 2021

"Tác giả luận văn

J

VO DUC TRUNG

LỜI CẢM ƠN

Để hoăn thănh luận văn tốt nghiệp năy, ngoăi sự nỗ lực của bản thđn, tôi còn nhận được sự giúp đỡ tận tình của câc thầy cô giâo trong Khoa Toân - Trường Đại học Su phạm, Đại học Đă Nẵng vă đặc biệt lă thầy hướng dẫn khoa

hoc, TS Trần Quang Hóa đê tận tình chỉ bảo trong suốt thời gian qua

Tôi xin chđn thănh cảm ơn!

Đă Nẵng, Thấng 9 năm 2021

Tâc giả luận văn

De

VÕ ĐỨC TRUNG

TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên luận văn: ĐA THỨC ĐỘC LAP CUA DO THI DON

Chuyên ngành: Đại Số Và Lý Thuyết Số

Họ và tên học viên: VÕ ĐỨC TRUNG

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS TRẢN QUANG HÓA

Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Da Nẵng

Tóm tắt:

Đề thị là một đối tượng cơ bản và quan trọng trong lý thuyết đỗ thị nói chung và trong lý thuyết đại số đỗ thị nói riêng Việc nghiên cứu các tính chât của đô thị có nhiêu ý nghĩa không chỉ trong toán học, mà còn trong nhiều lĩnh vực khác như tin học, vật lý, hóa học, kỷ thuật, mạng giao thông, mạng điện,

Một trong những khái niệm quan trọng và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đồ thị là tìm các tập độc lập của nó Cho

G=(V,E) 1a mét do thi don, V là tập các đỉnh và E là tập các cạnh Mét tap con S CV dugc goi la tap déc lập của

G néu bat kỳ hai đỉnh a,b 6S đều không là một cạnh của Œ Nếu Š là một tập độc lập với |S|= &, thì ta nói S 1a mot

k -độc lập Số độc lập cực đại của Œ, ký hiệu ø(G), được xác định bởi:

a(G)= max {|S| :9 là tập độc lập của G}

Đa thức độc lập của ỞŒ là đa thức

(0)

1(0;x)= 3` c(G)x'

k=0 trong dé c,(G) 1a luc luong cta tip hợp tắt cả các tập # -độc lập của G va đ(0) =1 Đa thức độc lập được giới thiệu bởi Gutman và Harary vào năm 1983

Đa thức độc lập có nhiều tích chất đẹp và lưu trữ các thông tin tổ hợp của đồ thị Nghiên cứu tính chất của đa thức độc

lập như tính đơn phương (unimodality); tính log-lồi (log-concave) của dãy các hệ số của đa thức độc lập hay tính chất

nghiệm của đa thức độc lập là một lĩnh vực nghiên cứu năng động và hấp dẫn các nhà toán học Ngoài ra, để xác định

công thức chính xác đa thức độc lập cho các đô thị là một bài toán khó Chỉ một số lớp rất nhỏ các đồ thị được xác định

công thức chính xác cho đa thức độc lập Vì vậy, tôi chọn đề tài "Đa thức độc lập của đồ thị đơn" để tìm hiểu, nghiên cứu

cách xác định cũng như tính chất của đa thức độc lập của một số lớp đỗ thị quan trọng

Đề tài “Đa thức độc lập của dé thị đơn” đã tiến hành nghiên cứu và đạt được một số kết quả cụ thể như sau:

~ Trình bày các khái niệm liên quan đến lý thuyết đỗ thị và các phép toán trên đô thị

- Định nghĩa và trình bày các tính chất của đa thức độc lập của đồ thị Xây dựng cách xác định đa thức độc lập của đồ thị

băng cây hình ảnh trực quan

- Tính toán được đa thức độc lập của một số họ đồ thị pho bién va công thức truy hồi của chúng

- Trinh bày về tính đơn phương (unimodality) và tính log-lồi (log-eoncave) của đa thức độc lập của đồ thị Chỉ ra đa thức

độc lập của hai họ do thị quan trọng là đô thị đường và đỗ thị vòng có tính chất đơn phương

Xác nhận của cán bộ hướng dẫn Người thực hiện đề tài

INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: INDEPENDENCE POLYNOMIALS OF SIMPLE GRAPH

Major: Algebra and Number Theory

Full name of Master student: VO DỤC TRUNG

Supervisors: Dr TRAN QUANG HOA

Training institution: University of Education - University of Danang

Summary:

Graph is a basic and important object in graph theory in general and in algebra theory in particular The study of the properties of graphs has many meanings not only in mathematics, but also in many other fields such as informatics, physics, chemistry, engineering, transport networks, electrical networks

One of the most important and widely used concepts in graph theory is finding its independent sets G=(V,E) isa

simple graph, V is vertice set and £ is edge set A subset SV called independence set of G if any two vertices a,b €S are not an edge of G.If S is an indepence set and [S| =k, then we say it is a k -independence The

independence number maximum of G , denote @(G), determined by:

a(G)= max {|S| : Sis independence set of G}

Independence polynomials of G is polynomials:

aG)

I(G:x)= ¥ ¢,(G)x!

£=0 where c,(G) is the force of the set of all k -independence sets of G and c,(G) =1 Independent polynomials were

introduced by Gutman and Harary in 1983

The independent polynomial has many nice products and stores the combinatorial information of the graph Research properties of independent polynomials such as unimodality, log-concave of the series of coefficients of independent polynomials or the property of root of independent polynomials is a dynamic and fascinating area of research for

mathematicians In addition, to determine the exact formula of independent polynomials for graphs is a difficult problem

Only a very small number of graphs have been precisely formulated for independent polynomials Therefore, I choose the topic "Independence polynomials of simple graphs" to learn and study the determination and properties of independent polynomials of some important graph classes

The topic “Independence polynamials of simple graph” has conducted research and achieved some speciffic results as follows:

- Presenting concepts related to graph theory and mathematical operations on graphs

- Define and describe properties of independent polynomials of graphs Build a way to determine the independent

polynomial of a graph using a visual tree

- Calculate independent polynomials of some popular families of graphs and their recurrence formulas

- Presentation on the unimodality and log-concave properties of independent polynomials of the graph Show that the independent polynomials of two important families of graphs, path graphs and cycle graphs are unimodality

Confirmation of instructor Who made the topic

Lời nói đầu

1 D6 thi và đa thức độc lập của đồ thi

1.1

1,2

1.3

Cac dinh nghia vé d6 thi 2

Céc phép'todn dé thi see eet a eee eee daw ee eas

1.2.3 Hop rdichacac dOthi 2 0 ee

Da thitc déc lap cha dé thi 2

1.3.1 Định nghĩa đa thức độc lập của đồ thị

1.3.2 Một số ví Ụ Quy v2

1.3.3 Một số tính chất và phương pháp xác định đa thức độc

ii

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2 Da thức độc lập của một số họ đồ thị quan trong

D6 thi hinh sao va dé thi day dd

2.1.1 Đồ thịhình sao va 21.2 Đồ thị đầy đủ Q2 D6 thi Barbell, dé thi Sach va đồ thị bữa tiệc Cocktail

2.2.1 Dé6thi Barbell 2 0.000000 ee 2.2.2 Đồ thị Sách (Bookgraphs)

2.2.3 Đồ thị bữa tiệc Cocktail (Cocktail Party graphs)

Đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị Sun, đồ thị Crown

2.3.1 Đồ thị hai phần đầy đủ

b2.) jn 8n

2.3.3 Dồ thị Crown cv va Đồ thị đường và đồ thị Caterpillar d-chính quy

24.1 Đồ thị đường co 2.4.2 D6 thi Caterpillar đchính quy

Đồ thị vòng và các đồ thị cảm sinh từ đồ thị vòng

PB Dothivone «saaceiesmmae ie eed eatt et emens 25.2 Đồ thị bánh xe 0.000000 ee 2.5.3 DéthiPan 0.00.00 000 2.5.4 Dé6thiSunlet 0.00000 000 95.6 DOthi Heli 2.5.65 ee eked we ee RETR Rw 3_ Tính đơn phương va log-lồi của đa thức độc lập 3.1 3.2 Tính đơn phương và log-lồi của đa thức độc lập của đồ thị đơn

Tính đơn phương của đa thức độc lập của một số họ đồ thị quan

19

19

19

21

23

23

25

29

31

31

33

35

37

37

38

40

41

42

44

45

47

47

51

3.2.2 Tính đơn phương của đồ thị vòng

“Tài liệu tham khảo

Đồ thi G véi tap dinh la V và tập cạnh là

Tap đỉnh của dé thi G

Tap canh cha dé thi G

D6 thi thu dude bang cach lay dé thi G bé di mot dinh v € V(G)

Đồ thị thu được bằng cách lẫy đồ thị G bỏ đi một cạnh e € E(G)

Đồ thị thu được bằng cách lây đồ thị Œ bỏ đi một tập X C V(G) Hợp rời của hai đồ thị Œ¡ và Œ»›

Dé thi Sach bac n

D6 thi 2-Star bac n

Đồ thị bữa tiệc Cocktail bac n

'Tổ hợp chập k cia n phan tit Phan nguyên trên của số thực # Phần nguyên dưới của số thực #

LỜI NÓI ĐẦU

Dồ thị là một đối tượng cơ bản và quan trọng trong lý thuyết đồ thị nói chung và trong lý thuyết đại số đồ thị nói riêng Việc nghiên cứu các tính chất của đồ thị có nhiều ý nghĩa không chỉ trong toán học, mà còn trong nhiều lĩnh vực khác như tin học, vật lý, hóa học, kỹ thuật, mạng giao thông, mạng điện,

Một trong những khái niệm quan trọng và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đồ thị là tìm các tập độc lập của nó Cho G = (V,#) là một đồ thị đơn,

V là tập các đỉnh và # là tập các cạnh Một tập con X C V được gọi là tập độc

lập của G nếu bất kỳ hai đỉnh z,y € X đều không là một cạnh của Œ Nếu X là

một tập độc lập với |X| = k, thì ta nói X là một tập k-độc lập Chỉ số độc lập của G, ký hiệu a(G), được xác định bởi

a(G) =max{|X| : X là tập độc lập của GŒ},

Da thức độc lập có nhiều tích chất đẹp và lưu trữ các thông tin tổ hợp của

đồ thị Nghiên cứu tính chất của đa thức độc lập như tính đơn phương (mni- modality); tính log-lồi (log-concave) của dãy các hệ số của đa thức độc lập hay

tính chất nghiệm của đa thức độc lập là một lĩnh vực nghiên cứu năng động và

hấp dẫn các nhà toán học Ngoài ra, để xác định công thức chính xác đa thức độc lập cho các đồ thị là một bài toán khó Chỉ một số lớp rất nhỏ các đồ thị

được xác định công thức chính xác cho đa thức độc lập Vì vậy, tôi chọn đề tài

"Da thức độc lập của đồ thị đơn" để tìm hiểu, nghiên cứu cách xác định cũng

như tính chất của đa thức độc lập của một số lớp đồ thị quan trọng.

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, mục lục, bảng các ký hiệu và tài liệu tham khảo, Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Đồ thị và đa thức độc lập của đồ thị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết

đồ thị Sau đó, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất quan trọng của đa thức độc lập của một đồ thị

Chương 2: Đa thức độc lập của một số họ đồ thị quan trọng

Trong chương này, chúng ta sẽ tính toán các đa thức độc lập của một số họ phổ biến của đồ thị Tùy thuộc vào độ phức tạp của đồ thị, đa thức độc lập của nó

có thể xây dựng từ một quan hệ lặp lại tầm thường đến một quan hệ phức tạp

hơn nhiều

Chương 3: Tính đơn phương và log-lồi của đa thức độc lập

Trong chương này, chúng tôi trình bày về tính đơn phương và log-lồi của đa thức độc lập Chúng tôi đã đưa ra nhiều ví dụ về các đồ thị đơn mà đa thức

độc lập có hoặc không có tính chất đơn phương và tính log-lồi Ngoài ra, chúng tối chứng mỉnh hai họ đồ thị cơ bản là đồ thị đường và đồ thị vòng có tính chất

đơn phương

Định nghĩa 1.1.2 Cho G = (V,), và u,ø € V Đỉnh u và ø gọi là liển kề nếu

a(G) = max{|X| : X là tập độc lập của G)}

Đồ thị Œ như trong Hình 1.1, ta dễ thấy a(G) = 3

Định nghĩa 1.1.6 Cho 0 là một đỉnh Một lân cạnh mở (hoặc gọi đơn giản là lan cận) của ø, được ký hiệu (0), là tập hợp gồm tất cả các đỉnh liền kề với ø, tức là

N(v) := {we V|(u, v) € E}

Một lên cận đóng của 0 được xác định là Nv] := N(v) U {v}

Đồ thị G như trong Hình 1.1, ta có W(1) = {2,3,5} và Ấ[I] = {1,2,3,5} Trong khi đó Ñ(4) = {5} và ND] = V = {1,2,3,4, 5}

Định nghĩa 1.1.7 Một tập các đỉnh được gọi là một cgue nếu mọi đỉnh trong

đó đều liền kề với mọi đỉnh khác

Trong ví dụ trên tập X = {1,2,5} là một clique

Định nghĩa 1.1.8 Dồ thị trống là một đồ thị đơn mà không có cạnh nào Trong họ này, lân cận của mọi đỉnh là rỗng Ta kí hiệu đồ thị trống nø đỉnh là E„ Trong trường hợp đặc biệt khi n = 0 ta gọi đồ thị này là đồ thị rỗng và kí

V của G và tất cả các cạnh liên thuộc đến đỉnh 5

Ví dụ 1.2.2 Trong hình bên dưới là đồ thị thu được bằng cách loại bỏ đi đỉnh

1 trong đồ thị ở Hình 1.1 Do đỉnh 1 liền kề với ba đỉnh là 2, 3 và 5 nên khi ta

3e á4

Hình 1.2: Đồ thị ban đầu khi loại bỏ đỉnh 1

loại bỏ đỉnh 1 trong đồ thị ban đầu ta cũng sẽ loại bỏ luôn cạnh (1,2), (1,3) và

(1,5)

1.2.2 Loại bỏ đi một cạnh

Định nghĩa 1.2.3 Cho G = (V,#) và e€ E, ta định nghĩa Œ\e := (V, - e) là

đồ thị thu được bằng cách bỏ một cạnh e khỏi tập các cạnh ⁄ của G

Ví dụ 1.2.4 Trong hình bên dưới là đồ thị thu được bằng cách loại bỏ đi cạnh

(1,2) trong đồ thị ở Hình 1.1

Hình 1.3: Đồ thị ban đầu khi loại bỏ cạnh (1,2)

1.2.3 Hợp rời của các đồ thị

Định nghĩa 1.2.5 Cho Gị = (Vị, E1) va Go = (Va, Hạ) là hai đồ thị rời rạc, tức

la Vin Vo = @ Hgp roi của hai đồ thị Gi và Gạ, ký hiệu G¡U G;, là một đồ thị

có tập đỉnh là WìU W2 và tập cạnh là #1 U 12

1.3 Đa thức độc lập của đồ thị

1.3.1 Định nghĩa đa thức độc lập của đồ thị

Đa thức độc lập của đồ thị là đa thức:

a(G

I(G;2) = b> cp(G)a*

k=0 trong đó e¿(G) là lực lượng của tập hợp tất cả các tập k-độc lập của G

1.3.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1.3.1 Da thức độc lập của đồ thị rỗng, /(O, 2)

Vì đồ thị rỗng không có đỉnh nào nên œ = 0 với mọi i > 1 Chúng ta nhận thấy rằng cọ = 1, vì mọi đồ thị đều có một tập con duy nhất có lực lượng là 0 (tập rỗng) Vì vậy, chúng ta có /(Ø;z) = 1

Ví dụ 1.3.2 Cho G là đồ thị chỉ có một đỉnh (singleton) Khi đó đa thức độc lập của G là 1+z

1(GI:z).1(Ga, +)

Chitng minh Cho Gy va Gp là hai đồi thị đơn rời rạc Một tập k-độc lập trong

Gị UG; có được bằng cách lấy một tập i-độc lập của G¡ và một tập 7-độc lập của G¿ sao cho ¡ + j = k Gọi a¿ là lực lượng của tập hợp tất các các tập k-độc

lập của Gi và b¿ là lực lượng của tập hợp tất các các tập k-độc lập sẵn Go Khi

đó hệ số cạ của ø# trong đa thức /(G¡U G¿;z) được cho bởi œ = > Am bp—m-

Định lý tiếp theo là một công cụ rất hữu ích để cho phép chúng ta có thể

tính đa thức độc lập của một đồ thị Œ bằng công thức truy hồi từ đa thức độc

lập của các đồ thị con của nó, với số đỉnh ít hơn

Định lý 1.3.5 [7] Cho G la mot do thi don va v € V(G) Khi dé I(G,x) =

I(G —v;x2)+21(G — N{v);2)

Chứng minh Cho Œ là một đồ thị đơn va v € V(G) Ching ta sé tach cdc tap

độc lập cha G thanh hai tap Trong tap đầu tiên, chúng gồm các tập độc lập không chứa đỉnh ơ Trong tập thứ hai, chúng gồm các tập độc lập có chứa đỉnh

0 Rõ ràng,hai tập này rời nhau và hợp của hai tập này chứa tất cả các tập độc

lập của Œ Da thức độc lập /(G — ø;z) đếm các tập độc lập không chứa v Da thức 1(G — N[v];x) dém các tập độc lập không bao gồm ø hoặc bất kỳ lân cận

nào của nó Dể khôi phục các tập độc lập chứa ø, chúng ta lấy các tập độc lập

trong G— N{v] va thém ø vào Khi chúng ta thêm ø vào, chúng ta nhận lại các

tập độc lập của Œ vì Œ— X[u] không bao gồm bất kỳ lân cận nào của o Khi đó,

chúng ta có z/(G — X{o];z) đếm các tập độc lập bao gồm ø Chúng ta nhân với + vì mỗi tập độc lập của Œ có thêm phần tử ø làm tăng số lượng của mỗi tập lên 1 Bây giờ chúng ta có biểu thức đếm các tập độc lập có ø và không có 0, ta

có thể kết luận rằng /(Œ;+) = I(G = 0;#) + œ1(G — N[u]; +) 1

Hệ quả 1.3.6 [7] Cho K là một chque của đồ thị GŒ Khi đó, ta có

T(G;#) = I(GŒ— K;#)+ }) zI(G— Nlb];z)

veK Chứng minh Chúng ta chứng mình điều này bằng quy nạp trên |X|, lực lượng của tập K Trong trường hợp |#| = 1, khẳng định đúng theo Định lý 1.3.5 Giả

sử kết quả trên đúng với || = ø Ta sẽ chứng mỉnh kết quả trên cũng đúng với

|X|=n +1 Thật vậy, do K 1a mét clique vdi |K| =n+1 nén K — v cing 1a mot clique vdi |K — v| =n Theo gia thiét quy nap ta cé:

T(G;#) =1(G—(K—0);#)+ YO axl (G—N [uj;2)

ueK—v Theo Dinh ly 1.3.5,

Khi đồng thời sử dụng Dịnh lý 1.3.4 và Định lý 1.3.5, chúng ta có thể tính

đa thức độc lập của một đồ thị Œ Vì khi bỏ đi một đỉnh của G, có thể tách G

thành hai thành phần liên thông Do đó, áp dụng Định lý 1.3.4, ta thu được đa

thức độc lập như là tích của các đa thức độc lập của các thành phần liên thông Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng thuận lợi khi bỏ đi một đỉnh Vì có những lớp đồ thị khi bỏ đi một cạnh thì thuận tiện hơn trong việc tính đa thức độc lập bằng công thức truy hồi

Định lý 1.3.7 [7] Cho G là mét do thi va e = (u,v) 6 E(G) Khi dó 1(G;+) = T(GNG;z) — z?1(G — (N|u]U NỊo|); #)

Chứng mình Cho G là một đồ thi va e = (u,v) € E(G) Đa thức /(G\e;z) đếm

mọi tập độc lập trong Œ và các tập độc lập mới bao gồm cả hai đỉnh u và 0

Vì mỗi tập độc lập của G không thể đồng thời chứa cả w và » (do œ và ø là

hai đỉnh liên kề) Vì vậy, chúng ta phải điều chỉnh /7(G\e;z) để xóa các tập độc lập mới chứa cả œ và ø Đa thức /(G — (N[u]U X|u|);+) đếm tất cả các tập độc lập không bao gồm đỉnh ø, » hoặc bất kỳ lân cận nào của chúng Sau đó, nếu

chúng ta thêm cả w và 0 vào tập độc lập của G — (N[u] U N|ø]), chúng ta nhận

được tất cả các tập độc lập chứa cả u và v Các tập này được tính bởi đa thức

#?I(GŒ—(N[u]UNIø)); z) Khi đó ta có 1(G; #) = I(GNe;:+)—z?1(Œ— (N[u]U NỊ]); )

Bằng cách áp dụng các Dịnh lý 1.3.4, 1.3.5 và 1.3.7, chúng ta có thể tìm đa thức độc lập của một đồ thị G bằng công thức truy hồi Dể quá trình này dừng lại, ta thường đưa đến một đồ thị có đa thức độc lập được tính dễ dàng hoặc

biết trước Sau đây là một họ đồ thị như thế

Bổ đề 1.3.8 Đa thức độc lập của một đồ thị trống l„ bậc n được cho bởi

T(En;z) = (6+ 1)”

Chúng mình Cho „ là một đồ thị trống bậc ø Khi đó #„ là hợp rời của n

đồ thị chỉ gồm một đỉnh Nên theo Định lý 1.3.4 và ví dụ 1.3.2 ta thu được

Đa thức độc lập /(G;z+) của một đồ thị là một đa thức theo biến z Do đó,

ta có thể lẫy đạo hàm theo biến z thì ta cũng thu được một đa thức mới có bậc

giảm đi 1 Liệu đa thức đạo hàm này có mối liên hệ gì với đa thức độc lập của nó? Chúng ta trả lời câu hỏi này trong định lý tiếp theo

Định lý 1.3.9 Đạo hàm của I(G:+) là được cho bởi

'(G;r)= YS I(G— Nữ|;z)

ueV(G) Chứng mình, Chúng ta sẽ chứng mình định lý này bằng quy nạp trên số đính

V của Œ Nếu |V| = 0 thì 7(G:z) = I(Ø;z) = 1 và 7{G;z) = 0 Nếu |V| = 1 thì T(G;z) = 1+z và Ứ(G:+) = 1= I(Ø;z) = 1(G—N{v]; x) Gia stt dinh ly trén ding với tất cả các đồ thị có số đỉnh nhỏ hơn ø Xét G là một đồ thị có ø đỉnh Chúng

ta sẽ sử dụng định lý 1.3.5 để thu được kết quả sau:

1(G;+) = I(G — 0;+) + zI(G — Nịu]; z)

Lấy đạo hàm theo biến z hai về và áp dụng giải thiết quy nạp, ta thu được

I(G:+) = Ứ(GŒ— 0;z) + 1(G — Nlu];z) + zỨ(G — Nịu]; z)

ueV(G- NỊu]) ueV(G—Nul)

=1(GŒ— N[u;z)+ 3} T(G—u— NỊu];+)

Biểu diễn bằng minh họa trực quan

Khi tính toán đa thức độc lập của một đồ thị bằng các phương pháp trên,

có thể rat dé bi lạc trong ký hiệu Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sử dụng một hỗ trợ trực quan dưới dạng một cây gốc của các đồ thị con Ở gốc của cây,

chúng ta có một nút là đồ thị ban đầu có đa thức độc lập mà chúng ta đang cố gắng tính toán Ở cấp độ tiếp theo của cây, chúng ta đưa ra hai nút Nút đầu tiên đại diện cho số hạng đầu tiên trong tổng từ Định lý 1.3.5, và nút thứ hai

đại diện cho số hạng thứ hai trong tổng đó Vì vậy, trong nút đầu tiên, chúng

ta đặt đồ thị con Œ — v, và trong nút thứ hai, chúng ta đặt đồ thị con Œ— Xu]

Vì số hạng thứ hai trong tổng đi kèm với một thừa số bổ sung là z nên chúng

ta phải cung cấp một ký hiệu cho điều này trong cây của chúng ta Dể thêm thừa số bổ sung z, chúng ta đặt một dấu z dọc theo cạnh nối của nút Œ và nút

G— Nv] Tiếp tục cho từng cấp, áp dụng quy trình cho từng đồ thị không trống

trong cùng một cấp cho đến khi mỗi lá của cây là một đồ thị trống Ví dụ, chúng

ta sử dụng phương pháp này để tính đa thức độc lập của đồ thị được thể hiện

lũy được bao nhiêu hệ số của z trên đường đi Sau đó, chúng ta nhân đa thức độc lập của đồ thị trống trong nút lá với lũy thừa thích hợp của z và cộng biểu thức kết quả thành một tổng Khi chúng ta đã xem mọi lá, tổng cuối cùng cho

chúng ta đa thức độc lập của đồ thị ban đầu Trong ví dụ trên, đa thức độc lập xác định bởi (1+ z)?-+z(1+z) +a= øz'+ 4#? +5z + 1

Chương 2

Đa thức độc lập của một số

họ đồ thị quan trọng

Trong chương này, chúng ta sẽ xác định một số họ phổ biến của đồ thị và tính

toán các đa thức độc lập của chúng Tùy thuộc vào độ phức tạp của đồ thị, đa

thức độc lập của nó có thể xây dựng từ một quan hệ lặp lại tầm thường đến

một quan hệ phức tạp hơn nhiều

2.1 Đồ thị hình sao và đồ thị đầy đủ

2.1.1 Đồ thị hình sao

Đồ thị hành sao bậc nø là đồ thị có ø +1 đỉnh Đồ thị này được hình thành bằng

cách bắt đầu với một đỉnh duy nhất làm đỉnh trung tâm và liền kề với n đỉnh

khác Chúng ta ký hiệu đồ thị này là %„ Dưới đây, chúng ta đưa ra một ví dụ

đại diện là đồ thị 5s, cùng với bảng gồm một số đồ thị hình sao đầu tiên

Dể tính đa thức độc lập cho đồ thị 8a, ta áp dung Dịnh lý 1.3.5, chọn đỉnh trung tâm là đỉnh cần loại bỏ Chúng ta có thể thấy điều này một cách trực quan bên dưới nơi chúng ta áp dụng nó cho s3

Trong lá bên trái, chúng ta có một đồ thị trống với 3 đỉnh, và ở bên phải

chúng ta có một đồ thị rỗng Vì vậy, đa thức độc lập cho 5 được cho bởi (1+z)Ẻ+z=z?+ 3z? + 4z 1 Tương tự như vậy, nếu chúng ta bắt đầu với ®„,

chúng ta sẽ nhận được một đồ thị trống với ø đỉnh ở lá bên trái và đồ thị rỗng ở

lá bên phải Do đó, đa thức độc lập cho %„ được cho bởi /(5;;#) = (1+z)" +

Mặc dù không cần thiết phải đưa ra một quan hệ lặp lại để tính /(5„:z) Tuy nhiên, chúng ta thử áp dụng Dịnh lý 1.3.7 để tìm một công thức truy hồi về

mối liên hệ giữa các đa thức độc lập của %„ Để làm điều này, chúng ta áp dụng

20

Định lý 1.3.7 cho %„ và loại bỏ bất kỳ cạnh nào của nó Để cho tường mình, ta

CL)

minh hoa cho cay $3 như sau

Hình 2.3: Cay ctia $3 khi loai bé cạnh

Từ hình trên, ta có thể thấy rằng trong lá bên trái là đồ thị hợp rời của hai

đồ thị: đồ thị chỉ có 1 đỉnh và đồ thị 5;, và ở bên phải là một đồ thị rỗng nên

T(Ss;z) = (1+ #)1(6; #) — ø? Tương tự, nếu áp dụng điều này cho S„, chúng ta

thu được công thức truy hồi sau:

I(Spjt) = (1+2)I(Sp—1;2) - 2;

I(So;x) =1+a

2.1.2 Đồ thị đầy đủ

Đồ thị đầu đủ có n đỉnh, ký hiệu là Ky, là đồ thị mà mọi đỉnh đều liền kề với

mọi đỉnh khác Dưới đây chúng ta dita ra mot bang cha Ky vdi n ttt 1 dén 5

Hình 2.4: Đồ thị đầy du, Ks

Ky Ky la

Bảng 2.2: Năm đồ thị đầy đú đầu tiên

Để tìm một quan hệ lặp lại đối với đa thức độc lập của đồ thị đầy đủ, chúng

ta sử dụng Dịnh lý 1.3.5 Vì trong X„ mọi đỉnh đều liền kề với mọi đỉnh khác

nên chúng ta chọn loại bỏ một dinh bất kì sẽ cho kết quả như nhau Đầu tiên, ching ta minh hoa với dé thi Ky trong hinh bên dưới

Hình 2.5: Cây cua K4

Trong hình trên, chúng ta tính đa thức độc lập của Xa là

I(Kj#) =z+1+z.1+z.1+z.1= 4z ~+ 1

Quan hệ lặp lại có thể được nhìn thấy ở mức đầu tiên của cây, trong đó nút bên

trái là Xạ và nút bên phải là đồ thị rỗng Vì vậy !(Ka;#) = I(Ka; +) +-ø Bây giờ,

ta xét đồ thị K„ Với ø € V(K„) bất kỳ, áp dụng Định lý 1.3.5, ta có

T(En;#) = I(Kn — 0¡#) + #1(Kn — NỊu|; #)

=I(En-1¡=) + œ:

32

Như vậy, sau mỗi bước truy hồi, ta chỉ thêm một số hạng z duy nhất Diều này

suy ra rằng rằng /(„;ø#) = nz + 1

tiéc Cocktail

2.2.1 D6 thi Barbell

Da thi Barbell bac n là một đồ thị có 2n đỉnh được hình thành bằng cách ghép

hai bản sao của „ bởi một cạnh duy nhất, được gọi là một cầu nối Chúng ta kí hiệu đồ thị này là Bar„, trong bảng dưới đây, chúng ta cho ar› với n € {3,4,5}

„ Tuy nhiên, xây dựng có thể mở rộng với ø = 1,2 và chúng ta tìm đa thức độc

lập I(Bary; x) vdi moi n > 1

Hinh 2.6: Dé thi barbell bac 3, Bar3

pT Bars Bar, = a Bars

Bảng 2.3: Ba đồ thị Barbell đầu tiên

Chúng ta bắt đầu bằng cách tính trực tiếp đa thức độc lập bằng cách sử

dung Dinh lý 1.3.7 Chúng ta áp dụng định lý cho cầu nối e = (u,v) Khi d6 ta

T(Baru;a) = I(Bara — 6:2) — x I( Bary — (N{u] U N{[v]); 2)

đa thức độc lập của Bars Lá bên trái là Bara với cầu bị loại bỏ là đồ thị gồm

hai đồ thị Xs rời nhau, và trong lá bên phải là Pazs với các vùng lân cận của

các đỉnh của cầu nối bị loại bỏ Vì các vùng lân cận của mỗi đỉnh trong 7% là

tất cả các đỉnh còn lại của Kz nên lá bên phải của cây ở trên chứa đồ thị rỗng

Do đó I(Bars;z) = (L+ 3#)? — z?.1 = (1+ 3z)? — #Ẻ,

Bây giờ, để xem mối quan hệ truy hồi, chúng ta áp dụng Dịnh lý 1.3.5, loại

bỏ một đỉnh từ mỗi bên của Barbell Chúng ta minh họa điều này bằng cách sử dụng Øara dưới đây

Trong Hình 2.8, lá của cây chứa Barz, K3 va Ky Duta vao cay minh hoa

trực quan, ta thu được đa thức độc lập của Bary la

I(Barg;x) = I(Barg; x) + z(T(1ãa; +) + 1(Tếạ; 3)

Nếu chúng ta làm như vậy với Øaz„, chúng ta sẽ nhận được một công thức truy

Hình 2.8: Cây của Paza

hồi như sau:

1(Bera;#) = IT(Barn_1;#) + #(T(Kn;#) + 1(En—1;#))

chung (bản tâm như là gáy sách và các bản còn lại như các trang sách) Chúng

ta ký hiệu đồ thị Sách này là Bạ Dưới đây chúng ta biểu diễn đồ thị Sách cho

Hình 2.9: Đồ thị Sách bac 3 B3

Chúng ta muốn tìm một sự biểu diễn quan hệ giữa !(„;z) với các đa thức độc lập của Öy,(k < n) với các hệ số không phụ thuộc vào ø Tuy nhiên, sự lặp lại như vậy là không rõ ràng nếu chỉ sử dụng các Định lý 1.3.5 và 1.3.7 Vì vậy,

chúng ta bắt đầu bằng cách tính trực tiếp đa thức độc lập của ö„ Để tính trực

tiếp đa thức độc lập của đồ thị Sách, chúng ta sử dụng một đồ thị phụ gọi là

đồ thị 2-9tar Chúng ta định nghĩa đồ thị 2-5far bậc ø là một đồ thị có 2a + 1 đỉnh, đồ thị này được hình thành bằng cách bắt đầu với đồ thị hình sao %„ và

với mỗi đỉnh lá của đồ thị hình sao ta thêm một đỉnh khác sao cho đỉnh thêm

vào chỉ liền kề duy nhất với đỉnh lá đó Chúng ta kí hiện đồ thị này là 52 Dưới

day là một đồ thị 2-5/ar bậc 3

Hinh 2.10: Dé thi 2-Star bac 3, 5Ÿ

Để xem mối lién hé gitta da thite déc lap ctia dé thi Book va dé thi 2-Star,

này có thể được nhìn thấy trong hình minh họa của B; bên dưới

Trong hình trên, nút bên trái chứa 3 bản sao rời rạc của Z¿ và nút bên phải

chứa đồ thị trồng bậc 3 Điều này cho chúng ta rằng /(5;z) = (1+-2#)2-++-z(1+z)3

Làm tương tự với %2 ta sẽ tạo ra một cây với w bản sao rời rạc của Ky 6 nit

bên trái và đồ thị trống của bậc ø ở nút bên phải Do đó,

1(S2;a) = (14+ 2a)” + e(1 +2)" nw

Bây giờ chúng ta đã có thể tính được đa thức độc lập của Hạ:

I(Bn; x) = I(Sh;2) + x(1+ 2)"

=(1+2z)" +z(1+z)°+z(1+z)*

=(1+2z)"+2z(1+z)”

Để tìm một công thức truy hồi đối với 1(B„: +), chúng ta sử dụng Định lý 1.3.5

hai lần, mỗi lần loại bỏ một đỉnh của cùng một bản sao Ko không phải là bản

trung tâm Điều này sẽ chia /(B„;z) thành ba phần Trong đó, phần đầu tiên

liên quan đến Ö„_¡ và hai phần còn lại liên quan đến $?_, Chúng ta minh họa điều này bằng cây trực quan của ña

Hình 2.13: Cây thể hiện sự lặp lại của [(B3;2)

Trong hình trên, chúng ta dễ dàng dọc được đa thức độc lập của By 1A 1(Bạ:+) = I( Bo; x) + 2x1(S3;x) va cfing nhan thấy rằng tất cả các nút bên phải

đều giống nhau Việc này là như nhau cho dù đồ thị chúng ta xét là Ö„ Vì vậy, chúng ta có công thức truy hồi như sau:

1(Bạ;ø) = I(Bn_ 1;#) + 901(52_1;8) = (Bạt; #) + 221 + 22)?” + (1+ 2)""4),

Kết hợp với /(B„;z) = (1+ 2z)" + 2z(1 + ø)" đã tính phía trên, chúng ta có thể

thực hiện thao tác như sau để tìm một quan hệ truy hồi cho /(P„;z) có hệ số không phụ thuộc vào n

= (3a + 2)I(Bn-1;e) — (1 +.a)(1 + 2e)I(Bn_2;2)

(3a + 1)[2e(1 + xy"! + (1+ 22)?"

Vì vậy, chúng ta tìm được một công thức truy hồi của 7(B„;z) như sau:

I(Bn; x) = (3+ + 2)1(B„—t:#) — (1+ z)(1 + 2z)1(Bạ—a; 3),

v6i I(Bo;z) = I+2z và I(B\;z) = (1+ 2z) + 2z(1 + z)

2.2.3 Đồ thị bữa tiệc Cocktail (Cocktail Party graphs)

Đồ thị bữa tiệc Ởocktail bậc n là đồ thị có 2n đỉnh Đồ thị được hình thành bằng cách lấy ø cặp đỉnh sao cho các đỉnh trong một cặp bất kỳ đều liền kề với cả hai đỉnh của ø — 1 cặp khác và không có cạnh nào giữa hai đỉnh trong bất kỳ

cặp đã cho Chúng ta kí hiệu đồ thị này là CPp

LCP | CPs

Bang 2.5: Bốn đồ thị bữa tiệc Cocktial đầu tiên

Chúng ta tìm một quan hệ truy hồi đối với /(CP„:#) bằng cách có định một

29

Hình 2.14: Dé thi bita tiée Cocktail bac 3, CP3

cặp dinh (u,v) của CP, va 4p dung Dinh ly 1.3.5 loai bo u va v Ching ta minh họa điều này véi CP; trong hinh bên dưới

Hình 2.15: Cây của CD

Trong hình trên chúng ta dễ dàng tìm được đa thức độc lập của C7 là

I(CPs;+) = I(CP; z) + # + z( + 3)

Tương tự đối với Œ?„ sau khi loại bỏ đỉnh đầu tiên trong cặp mà ta đã cố định

như trên, ví dụ ¡, chúng ta nhận dude CP, —u ở nút bên trái và đồ thị chỉ một

đỉnh ở nút bên phải ỞỎ cấp độ tiếp theo, chúng ta áp dụng Dinh ly 1.3.5 cho

ŒỚP; — u loại bỏ ø Sau khi loại bỏ », chúng ta nhận được CPj„ — {u,0} =CP„_ì

ở nút bên trái và đồ thị rỗng ở nút bên phải Điều này cho ta công thức truy

hồi như sau:

30

I(CPn;z) = I(CPn_-1;2) + e+ a¢(14+ 2) =1(CPh_1;2) + 2(2 +2)

Chi ¥ rang CFo = 0 va Ap dụng công thức truy hồi này, ta thu được

I(CPn;z) =1(CPp-1;2) + 2(2 +2)

= 1(CPy9;) + 2x(2 + 2)

= 1(CPp_i; 2) + ix(2 + 2)

="1(O;2) + na(2+ 2)

Vậy, đa thức độc lập của đồ thị bữa tiệc Cocktial là I(CP,;2) = 1+ na(2+2)

2.3 D6 thi hai phan day đủ, đồ thị Sun, đồ thị

Crown

2.3.1 Đồ thị hai phần đầy đủ

D6 thi hai phan dầu đủ, ký hiệu là Kin, la đồ thị có m + n đỉnh Các đỉnh của

Km dude chia thành hai tập độc lập A va 5, trong đó |A| = m va |B] = nl

Ngoài ra, mọi đỉnh trong 4 đều liền kề với mọi đỉnh trong và chúng ta sẽ giả

Bang 2.6: Một số ví dụ của đồ thị hai phần đầy đủ

Chúng ta sẽ tìm một quan hệ truy hồi cho /(Xz„;#+) Để tìm công thức truy

hồi, chúng ta áp dung Dinh ly 1.3.5 hai lần, loại bó đỉnh ø € 4 đầu tiên và sau

31

đó đến đỉnh ø c 8 Dể cho thuận tiện, chúng ta sử dụng cây minh họa trực quan cho /‹ 3

Hình 2.16: Cây cia K3.3

Trong hình trên ta dễ đàng đọc được đa thức độc lập của Ka¿ là:

1(Kaa:#) = I(Ko9;) + 2a(1 + 2)?

Tương tự đối với Kn», dau tién ching ta 4p dung Dinh ly 1.3.5 cho Kym loai

bé u, ta duge Kn» — u 6 nat bén trái và đồ thị trống ø — 1 đỉnh ở nút bên phải

Ở cấp độ tiếp theo, chúng ta áp dụng Dịnh lý 1.3.5 lần nữa cho K„„ — u bằng

cách loại bỏ ø, cho ta Ky-in-1 6 nit bén trai va dé thi trống trên ø - 1 đỉnh ở

nút bên phải Diều này cho chúng ta công thức truy hồi sau:

(Keen; +) = T(Ky-in-1; x) + 2z( oF gr!

32

Chúng ta chú ¥ rang /(Koo;) = 1 và sự từ công thức truy hồi trên, ta có:

T(Knn;a) = T(En-inSi;#) +92(1+e)—1

= I(Ky-2n-2; 2) + 2a(1 + ta)? 422(142)")

Đồ thị Øưn, còn được gọi là đồ thị 7ampoline, bậc n là một đồ thị có 2n đỉnh

Đồ thị này được hình thành bằng cach bat đầu với một bản sao của /Z„ Sau

đó, ta liệt kê tất cả các đỉnh của X„ là ø\,ò›, ,u„ Đối với mỗi cặp đỉnh liên

tiếp ơ¡ và ø¡¿¡ trong bản sao K„, với 1 < ¡ < n, ta thêm một đỉnh mới u¿ liền

kề với œ và 0¡¿¡, với quy ước 0a := ø¡ Do đó đỉnh z„ liền kề ø„ và ø¡ Ta ký

hiệu đồ thị Øưn bậc n là 7„ Ta tính /(7„;+) bằng cách áp dụng Dinh ly 1.3.5 n

lần, mà ở bước thứ ¿ ta loại bỏ đỉnh œ¡ (như mô tả trong định nghĩa) Chúng ta

minh hoa cay trực quan với 7s như hình bên dưới Khi chúng ta loại bó đỉnh +;

33

Hình 2.17: Cay cua T3

trong quá trình áp dụng Dịnh lý 1.3.5, chúng ta sẽ thu được đồ thị trống n — 2 đỉnh ở nút bên phải vì lân cận của v; bao gồm tẤt cả 0Ị, ,0;_1,¿‡1, ,Đạ VÀ hai đỉnh _¡,u;¿¡ mà chúng ta đã bổ sung vào như trong định nghĩa Sau lần thứ ø áp dụng Định lý 1.3.5, chúng ta nhận được đồ thị trống ø đỉnh ở nút bên

trái và tất cả các nút bên phải đều là đồ thị trống ø — 2 đỉnh Do đó chúng ta

có thể tìm được đa thức độc lập của 7„ như sau:

I(Tn;v) = (14+ 2)" +na(l +a)? = (1+2)P2((1 +2)? + ne)

Để tìm một công thức truy hồi cho /(7„;z), chúng ta quan sát rằng: