Trong Chương 2, chúng ta đã xác định được công thức biểu diễn của đa thức độc lập của các họ đồ thị phổ biến. Tuy nhiên, khi nghiên cứu tính chất tổ hợp của đồ thị, chúng ta quan tâm nghiên cứu các tính chất liên quan của đa thức độc lập như tính đơn phương, tính log-lồi, tính chất nghiệm của đa thức độc lập,.... Chúng ta bắt đầu bằng định nghĩa sau.
Định nghĩa 3.1.1. Cho đa thức
p(t) = ane” + Ana") +++ằ + aga? + aya + ag
với hệ số thực không âm. Khi đó,
(i) Da thite p(x) được gọi là có tính chất đơn phương nếu tồn tai k € {0,1,...,n}
sao cho
ag Se) S Opis S Og > Ogg 20 2 An.
Khi đó, số nguyên k như trên được gọi là mối. Hơn nữa, mốt là duy nhất
nếu đ—1 € đy > Ak4+1-
(ủ) Đa thức p(z) được gọi là cú tớnh chất log-lồi nếu ad; > ag_idg.i VỚI mọi
NV ey ad,
Ví dụ 3.1.2. Khai triễn của đa thức (+ 1)" = yyy C&c* 1a đơn phương. Nếu n chan thi k = ÿ là mốt của (z+ 1)”, nếu œ lẻ thì k = |Z| và k= [3| là mốt của
(z + 1)". Hơn nữa, đa thức ( + 1)* cũng có tính chất log-lồi.
Một chứng minh đơn giản, ta có thể chỉ ra mối liên hệ giữa hai tính chất đơn phương và log-lồi như sau:
Nhận xột 3.1.3. Cho đa thức p(#) = ana" + An_10" 1! +++ằ+a,x + ao với cỏc hệ số a; là các số thực dương. Khi đó, nếu p(z) có tính log-lồi thì nó có tính chất đơn phương.
Nghiên cứu các đa thức có tính chất đơn phương và tính chất log-lồi là một lĩnh vực nghiên cứu năng động, có nhiều ứng dụng trong đại số, hình học, tổ hợp. Đặc biệt, tính chất đơn phương và log-lồi của đa thức độc lập cho chúng ta biết nhiều thông tin về cấu trúc tổ hợp của đồ thị. Vì vậy, tính chất này đã có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực vật lý, hóa học, kỹ thuật,.... Tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ ra một số ví dụ đơn giản về đồ thị mà đa thức độc lập của nó có tính chất đơn phương, log-lồi.
Ví dụ 3.1.4. Từ công thức xác định một số họ đồ thị trong Chương 2.
(i) Dé thị đầy đủ X„ có đa thức độc lập là I(X„:z) = 1+ nz. Do đó, đa thức này có tính log-lồi và tính đơn phương.
(ii) Dộ thi Barbell ỉar„ cú đa thức độc lập là /(ar,;z) = (1+ nz)?— +” = 1+ 2nz + (n — 1)z?. Do đó, đa thức này có tính log:lồi và tính đơn phương.
(iii) Đa thức độc lập của đồ thị bữa tiệc Cocktial là 7(CP;;z) = 1+ nz(2+#) =
1+2nz + nz? có tính log-lồi và tính đơn phương.
(iv) Da thức độc lập của đồ thị hỡnh sao ứ + 1 đỉnh $%„ là:
I(Sn;z) =(1+z)”+z.
Từ Ví dụ 3.1.2, ta suy ra rằng /(5„;z) có tính chất log-lồi và tính chất đơn phương.
(v) Đa thức độc lập của đồ thị hai phần đầy đủ Knằ là
n
T(Knnit)=214+2)"-1=14+2) , Che". n
k=l
Vì vậy, áp dụng Ví dụ 3.1.2, [(Kn.n; x) có tinh log-lồi, va do đó có tính chất đơn phương.
Tuy nhiên, không phải mọi đồ thị đều có đa thức độc lập đơn phương và log-lồi. Các ví dụ tiếp theo chỉ ra một họ đồ thị như thế.
Vi du 3.1.5. [8] Cho G = „ +U¿#; là một đồ thị gồm ứ +21 dinh va B = E, UE) U £3, trong dé Fy la tap hợp các cạnh của Ky, 1; là tập hợp các cạnh cla Ugk7 va £3 = {(u,v) | uw € Kn,v € Ugk7}. Khi do, da thite déc lap cua G la
1(G:+) = T(Nn;#) + T(U3y;#) = 1= 1+(n+ 21)£ + 1472? + 343z.
Khi đó ta có
e I(G; x) có tính log-lồi khi va chi khi 147? > (n + 21)343 1 <n < 42.
e 1(G;x) c6 tinh chat đơn phương, nhưng không có tính log-lồi khi và chỉ khi 1472 < (n+21)343
& 43 <n < 126.
n+21< 147
e /(G;z) không có tính chất đơn phương khi va chi khi n+ 21 > 1474 n > 126.
Ví dụ 3.1.6. [3| Cho m và n là hai số nguyên dudng sao cho n > m. Xét V4, Vo, V3 1A ba tap rdi nhau doi mot véi |Vi| = n — m va |Vo| = |V¥3| = m. Gia stt Vo = {u1,...,Um} va V3 = {u1,..., Um}. Xét dé thi don G = (V, EZ), trong dé V=MUW›UVWs và E = FE, U Fạ, ở đây FE 1a tap hop tat ca cdc canh cia đồ thị hai phần đầy đủ /qw|iy„j với hai tap doc lap Vi, Vo va Bo = {ưu | ¡ = 1,...,m}.
Khi đó G là một đồ thị hai phần. Ngoài ra, với mỗi k > 0, lực lượng của tập hợp các tập k-độc lập là
ex(G) = (28 — 108, + C8.
Thật vậy, mỗi tập độc lập của Œ là tập con của VỊ U W2 hoặc V2 U V2. Lực lượng của tập hợp các tập k-độc lập là tập con của VỊ U W2 là C‡ và lực lượng của tap hợp các tập k-độc lập là tập con của VU V2 là kk . Trong cả hai loại tập k-độc lập trên, có phần chung gồm những tập k-độc lập là tập con của V2, lực lượng của tập hợp chung này là Œ*. Vì vậy, lực lượng của tập hợp các tập k-độc lập của G là
c(G) = (2# - 0k +8.
Bõy giờ, nếu ta chọn n > 9ð và ứ = |im loga(3)J là phần nguyờn nền của zn loga(3).
Khi đó /(G; z) không có tính đơn phương. Thật vậy, lấy mm = 9ð và n = 151, chứng ta tính được
c70(G) = 189874416016052359845764115146202643360315069;
c¡i (Œ) = 187958904435447560369145399619337946363249075;
€72(G) = 18829958050116148879120880327809 1384597416875.
Vì vậy, œo(G) > œi(G) < œ¿(G), nên T(G;z) không có tính chất đơn phương.
Chúng ta cũng chú ý rằng, 95 là giá trị nhỏ nhất để tìm được ví dụ đồ thị hai phần đầy đủ mà đa thức độc lập không có tính đơn phương.
Tuy nhiên, một giả thuyết nỗi tiếng về tính đơn phương của đa thức độc lập của cây được đưa ra năm 1987 như sau. Nhắc lại rằng cấy là một đồ thị liên thông không chứa chu trình nào, rờng là hợp rời của các cây.
Giả thuyết 3.1.7. [2] Nếu Œ là một cây hoặc một rừng, thì đa thức độc lập của G có tính chất đơn phương.
Giả thuyết này thu hút sự nghiên cứu của các nhà lý thuyết đồ thị, tổ hợp và các nhà đại số. Tuy nhiên, hiện nay giả thuyết này vẫn còn rất mở. Chỉ một số rất ít họ các cây được chỉ ra và khẳng định giả thuyết đúng cho các trường hợp này. Mục tiếp theo, chúng tôi trình bày một vài lớp đồ thị mà đa thức độc lập có tính chất đơn phương.