PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I - PHÂN ĐỀ (2)

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa phép chia hết Với , ( 0); ,a b Z b q r Z∈ ≠ ∈ sao cho (0 )a bp r r b= + ≤ < +) Nế[.]

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

- Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng bình phương của các biểu thức chứa ẩn,

vế còn lại là tổng bình phương của các số nguyên (số số hạng của hai vế là bằng nhau)

Bài 2: HSG Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2016 - 2017

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 8x223y216x 44y16xy1180 0

Bài 11: Chuyên Thái Bình, năm học 2016 - 2017

Bài 12: Chuyên Cà Mau, năm học 2015 - 2016

Tìm các số nguyên dương x y z, , thỏa mãn: 3x218y22z23y z2 218x27

Bài 13: Chuyên Cà Mau, năm học 2016 - 2017

Tìm các số nguyên dương x y z, , thỏa mãn: 3x26y22z2 3y z2 218x6

Bài 14: HSG Tỉnh Cà Mau, năm học 2016 - 2017

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:

Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x22y22z2 4xy 4xz2yz 6y10z34 0  1

Dạng 2: Đưa về phương trình ước số (phương trình tích)

*) Ta gọi phương trình ước số là phương trình có vế trái là một tích các biểu thức có giá trịnguyên, vế phải là một hằng số nguyên Bằng cách tìm ước số của hằng số nguyên đó, ta tìmđược nghiệm nguyên của phương trình đã cho

Cơ sở: Thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn phân tích được thànhnhân tử

- Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng một vế là tích của các đa thức chứa ẩn, vế cònlại là tích của các số nguyên (số nhân tử của hai vế bằng nhau)

Bài 1: Chuyên Thái Nguyên, năm học 2016 - 2017

Bài 2: Chuyên Quảng Ngãi, năm học 2015 - 2016

Bài 3 (khó): HSG TPHCM, năm học 2016 - 2017

Tìm x y, nguyên thỏa mãn: x2x y3  12y2 5 0

Bài 4: HSG Vũng Tàu, năm học 2015 - 2016

Bài 5: Chuyên Đồng Nai, năm học 2017 - 2018

Bài 6: HSG Thừa Thiên Huế, năm học 2016 - 2017

Bài 7: HSG Bình Phước, năm học 2016 - 2017

Bài 8: HSG Tây Ninh, năm học 2016 - 2017

Bài 9: HSG Tỉnh Lai Châu, năm học 2016 - 2017

Tìm các số nguyên x y;  thỏa mãn y2x2 y2 2y 1 0

Bài 10: HSG Lai Châu, năm học 2016 - 2017

Bài 11: Chuyên Hưng Yên, năm học 2016 - 2017

Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 4x 5y 6xy 7 0(1)

a) x3y3 1 6 (1)xy

b) x3 y39xy1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:

DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 9 Nội dung:

( , ) / ( , ) ( , )

Hoặc ta nhận xét như sau:

Bài 3: Chuyên KHTN vòng 1, năm 2015

Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:

Bài 5: Chuyên KHTN, năm học 2016 - 2017

Dạng 3: Phương pháp tách lấy phần nguyên (biểu diễn 1 ẩn theo ẩn còn lại)

A Lớp 8: Dựa vào phép chia đa thức

- Ta tách các biểu thức phân thức thành phần nguyên và phần phân, sau đó đánh giá phầnphân để tìm ra các nghiệm của phương trình

Bài 3: Chuyên Bình Định vòng 1, năm học 2015 - 2016

Bài 4: Chuyên Bình Dương vòng 1, năm học 2016 - 2017

Bài 5: Chuyên Phú Yên, năm học 2015 - 2016

Bài 6: HSG Quảng Nam, năm học 2016 - 2017

a  b  a  b  a b  a b 

Bài 7: HSG Bến Tre, năm học 2016 - 2017

Bài 8: HSG Quảng Bình, năm học 2015 - 2016

Bài 9: HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2015 - 2016

Bài 10: Chuyên Tin Phú Thọ, năm học 2016 - 2017

Bài 11: Chuyên Toán Hòa Bình, năm học 2016 - 2017

Bài 12: HSG Vũng Tàu, năm học 2016 - 2017

Bài 13: HSG Hà Giang, năm học 2015 - 2016

Bài 14: Chuyên Bình Định, năm học 2016 - 2017

Bài 15: Chuyên Toán Phú Thọ, năm học 2016 - 2017

Bài 16: Chuyên yên Bái, năm học 2016 - 2017

Bài 17: Chuyên yên Bái, năm học 2017 - 2018

Bài 18: HSG Thanh Hóa, năm học 2016 - 2017

Bài 19:

Giải phương trình nghiệm nguyên

(1) 1

x y x

Bài 2:

a) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: v u u2   3v

b) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x y x y2 2(  ) ( x y ) 3 xy

   

2

2 2

Bài 2: Chuyên KHTN vòng 1, năm học 2014

Giải phương trình nghiệm nguyên: 8y2 25 3 xy5x

Xét số dư của f x  và g x  cho cùng một số

+) Nếu hai số dư khác nhau thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu hai số dư bằng nhau thì làm tiếp

Bổ đề: Xét số dư của số chính phương cho 1 số

Xác định tất cả các cặp nguyên dương x n;  thỏa mãn phương trình sau: x 3 3367 2 n

Bài 11: Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa vòng 2, năm học 2017 - 2018

Bài này không xét mod 4 được, cũng không xét mod 5 được: Vì hai vế có cùng số dư

Bài 2: Phương trình z2 (x21)(y2 1)n có nghiệm nguyên không nếu: n = 2103

Lời giải

mà: 2013 5(mod8)  VP5,6, 2(mod 8),z2 0,1, 4(mod8) ptvn

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 15x2 7y2  9 mod 3

Nhận xét: a3 0,1, 1(mod 9)  ( )x3 5 ( )x5 30,1, 1(mod 9)  VT 3, 2, 1,0,1, 2,3(mod 9)(2)   ptvn

Bài 5: Giải các phương trình nghiệm nguyên

Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP XUỐNG THANG ( LÙI VÔ HẠN – CỰC HẠN )

Chú ý: Phương pháp này thường dùng cho các phương trình có bậc của các hạng tử là bằngnhau

- Nó xuất phát từ ông Phecsma: x4y4 z4

Cách giải:

Bước 1: Giả sử tồn tại nghiệm khác 0 mà đạt giá trị nhỏ nhất

Bước 2: Sử dụng giả thiết và các tính chất chỉ ra phương trình đó có 1 nghiệm khác nhỏ hơn

Bước 3: Kết luận phương trình có nghiệm là 0

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 2x4  4y48z4 z4(1)

Điều này chỉ xảy ra  ( , , , ) (0;0;0;0)x y z t0 0 0 0  Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm nguyên

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x33y39z39x y z2 2 2(1)

Thay vào (2) ta được: 3(x23 3y32  9 ) 3 3z23  5 6 2x y z2 2 22 2  x32  3y32  9z23  38x y z22 2 22 2

x  x y  y z  z hay x y z   n N

Điều này chỉ xảy ra  ( , , , ) (0;0;0;0)x y z t0 0 0 0  Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm nguyên

*) Chú ý: Ta có thể thay số nguyên tố 3 bằng số nguyên tố bất kỳ

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x35y3 25 (1)z3

cũng là nghiệm của (1) Điều này xảy ra khi x = y = z = 0

Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y2 7 (1)z2 ( Cách khác )

Lời giải

Ta thấy (x,y,z) = (0;0;0) là 1 nghiệm của phương trình (1)

Giả sử (1) có nghiệm khác (0;0;0) Gọi (x y z0 ; ; 0 0) là 1 nghiệm của pt mà: x0  y0  z0

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x32x23x 2 y3

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 y32y2 3y1 0(1)

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x2)4 x4 y3(1)

Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x42x33x2  x 2 y2(1)

Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: x4z4 y4 2z x2 23x24z2 1 0

Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: x4x3x2 x y23 (1)y

BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tìm tất cả x, y nguyên thỏa mãn: x4x2 1 y2

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x4 y4 3y21

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 y3 2y2 3y1 0

Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 1 x x  2x3 y3

Vậy theo nguyên lý kẹp  4x y2 2 7x7y(2 )xy 2  xy

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x42x32x22x 1 y2

Lời giải

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 3: Giải phương trình: x4 2y2 1( ,x y Z )

Lời giải

Ta có x, y có số mũ chẵn vậy x4, 2y 2 0

Đặt x2 2a1,a N do x ( : 4  le x); 2 1(mod 4) x4 1(mod 4) 2y2 0(mod 4) y0(mod 2) Đặt y2 (b b N ) (2a1)4 2(2 )b 2  1 (2a1)21 2.(2 ) b 2 (4a24 )(4a a24a2) 8 b2

Vậy phương trình có nghiệm ( x, y ) là ( 1, 0 ) ; ( - 1, 0 )

Bài 4: Giải phương trình: Không cùng bậc: 9x2 6x y 3(1)

- Hai số nguyên tố cùng nhau = cách gọi UCLN

- Chặn miền giá trị của biến y

- Sử dụng tính chất số chính phương

- Phương pháp kẹp

Dạng 7:PHƯƠNG PHÁP SẮP XẾP THỨ TỰ CÁC ẨN ( PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ )

- Dùng trong trường hợp các ẩn có vi trò như nhau ( bình đẳng )

bớt miền xác định của ẩn từ đó tìm được các nghiệm của phương trình và dùng hoán vị cácnghiệm đó

Bài 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: x y z  xyz

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x y 9

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Bài 5: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: xy yz zx xyz   2(1)

Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2y2z2xyz20(1)

Bài 7: 5(x y z t   2) 2 xyzt

6 Trong m số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội của m

Bài 1: Tìm x, y thuộc Z thỏa mãn: 3x17y159(1)

Tương tự: x chia 5 dư 2  x2: 5,du: 4

Tương tự: x chia 5 dư 3  x2: 5,du: 4

Tương tự: x chia 5 dư 4  x5k 4 x: 5,du:1

Vậy x2 chia 5 có số dư là: 0, 1, 4

Mà vế phải = 5 không chia hết cho 5 nên phương trình vô nghiệm