BÁO cáo bài tập lớn PHƯƠNG PHÁP số 2

Code chương trình Runge – Kutta Matlab...11 II... TIn tại vô sL nghiMm thoả mNn phương tr8nh trên.. MOi nghiMm phP thuộc vàomột hay nhiQu hRng sL tuS T nào đ:.. Đ; xUc đVnh một nghiMm cP

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ

CÁN BỘ GIẢNG DẠY: PGS.TS Vũ Công Hòa

NHÓM: 03

LỚP: L07

Thành phố Hồ Chí Minh - 2021

DANH SÁCH NHÓM 03 ST

Khí

Khí

MC LC

I BI 1 1

1 Cơ s l thuy"t 1

1.1 Bi ton Cauchy 1

1.2 Phương php Runge – Kutta 2

1.2.1 Phương php Runge – Kutta bc 2 2

1.2.2 Phương php Runge – Kutta bc 4 5

2 $p d'ng 5

2.1 Bi ton 1 5

2.1.1 Giải tay 6

2.1.2 Kết quả chương trình matlab 7

2.2 Bi ton 2 8

2.2.1 Giải tay 8

2.2.2 Kết quả chương trình Matlab 10

2.3 Code chương trình Runge – Kutta Matlab 11

II BI 2 12

1 Cơ s l thuy"t 12

2 $p d'ng 12

2.1 Bi giải tay 13

2.2 Giải ton b)ng ph*n m+m ABAQUS 16

2.3 Code ch0y chương trình ph*n m+m ABAQUS 17

III TI LI(U THAM KH+O 22

I BI 1

1 Cơ s l thuy"t

1.1 Bi ton Cauchy

Một phương tr8nh vi phân cấp 1 c: th; vi<t dư>i dạng giải đư@c y

= f(x, y) mà ta c: th; t8m đư@c hàm y tG đạo hàm cHa n: TIn tại vô

sL nghiMm thoả mNn phương tr8nh trên MOi nghiMm phP thuộc vàomột hay nhiQu hRng sL tuS T nào đ: Đ; xUc đVnh một nghiMm cP th;cHa phương tr8nh ta phải c: giU trV ban đXu đư@c cho trư>c cHa y là

y0 tại giU trV đXu x Bài toUn Cauchy c: dạng như sau:0

Ngư\i ta đN ch]ng minh ra bài toUn trên c: 1 nghiMm duy nhấtn<u f thoả mNn điQu kiMn Lipschitz:

v>i L là một hRng sL dương

Ngư\i ta c`ng ch]ng minh rRng n<u f’y là liên tPc và bV chbn th8

f thoả mNn điQu kiMn Lipschitz

Một cUch tcng quUt hơn, ngư\i ta đVnh nghea hM phương tr8nhbậc 1:

Đối v=i phương tr4nh vi phân bâ 8c n, nghiê 8m sC phD thuô 8c vào n hGng số tuH I.

ĐJ t4m đưLc mô 8t nghiê 8m cD thJ, ta ph2i cM n điNu kiê 8n đPu BGng cQch đưa vN phươngtr4nh vi phân cRp 1 ta cM thJ gi2i đưLc phương tr4nh vi phân cRp n

1.2 Phương php Runge – Kutta

1.2.1 Phương php Runge – Kutta bc 2

Xgt bài toUn Cauchy:

v>i y = y(t) là hàm cXn t8m, khả vi trên đoạn [a, b], y là giU trV ban0

đXu cho trư>c cHa y(t) tại t = a

Đ; t8m nghiMm gXn đúng cHa bài toUn (1), ta chia đoạn [a, b]thành n đoạn bRng nhau:

Khi đ: cUc đi;m nút t = a; t = t + kh; k = 0, 1, 2,… n; t = b.0 k 0 n

Giả sn y(t) là nghiMm duy nhất cHa bài toUn (1) c: đạo hàm đ<ncấp 2 liên tPc trên đoạn [a, b]

Ta xgt khai tri;n Taylor cHa nghiMm đúng y(t):

Thay x = x = x +h, ta c::i+1 i

Trong đ::

Thay vào công th]c Euler cải ti<n ta c::

2

Đ; trUnh tính trqc ti<p f’t(t ,yk k) và f’y(t ,yk k), Runge – Kutta đN làmnhư sau:

Đbt:

Trong đ::

Và chọn r , r sao cho khai tri;n luỹ thGa cHa h cHa y1 2 k+1 xUc đVnh bti(4) trung nhau đ<n 3 sL hạng đXu cHa v< phải công th]c (3)

Dung công th]c Tylor cHa hàm hai bi<n, ta c::

TG đây suy ra:

= y + rk 1hy’k + r2hy’k + αr2h f’ (t2

t k, yk) + βr2h2y’kf’y(t , yk k) +O(h3) (6)

So sUnh cUc hM sL luỹ thGa cHa cHa h trong (3) và (6) ta c::

r1 + r = 12

Đây là một hM thLng 3 phương tr8nh 4 zn nên là một hM vô đVnh.

Ta xgt một vài họ nghiMm đơn giản:

Khi đ: (4) và (5) c: dạng:

đN bi<t:

Khi đ: (4) và (5) c: dạng:

đN bi<t:

Khi thành lập cUc công th]c (4) và (5) trên đây ta bỏ qua sL

sai sL tại đi;m t thỏa mNn: |y -y(t )| ≤ Mh , trong đ: M là hRng sLk k k 2

dương không phP thuộc h

1.2.2 Phương php Runge – Kutta bc 4

Hoàn toàn tương tq phương phUp Runge - Kutta, n<u trong khaitri;n Taylor cHa y(t ) tại xi ta bỏ qua sL hạng O(h ) th8 sẽ nhận đư@ck+1 4

công th]c Runge-Kutta c: độ chính xUc cấp ba, nghea là |y -y(t )| ≤k k

đN bi<t:

4

N<u bỏ qua sL hạng O(h ) th8 ta nhận đư@c công th]c Runge-5

2.1.1 Giải tay

Theo công th]c Runge – Kutta bậc 2 ta c::

V>i

k xk yk y(xk)

0

0.5000000

0.5000000

1.4256394

0.0193894

2.6408591

0.0432028

4.0091555

0.0692141

5.3054720

0.0905672

1.71

%

2.1.2 Kết quả chương trình matlab

6

2.2 Bi ton 2

Sn dPng phương phUp Runge – Kutta bậc 4 đ; xấp xỉ nghiMm cHabài toUn Cauchy ĐUnh giU sai sL.

V>i n=4 Tại những đi;m nút chia so sUnh giU trV gXn đung v>igiU trV chính xUc, bi<t nghiMm chính xUc cHa bài toUn là �(�) = (� +1)2 - 0,5� �

2.2.1 Giải tay

Theo công th]c Runge – Kutta bậc 4 :

V>i và Ta c::

2.2.2 Kết quả chương trình Matlab

00

0.5000000

2.6408591

4.0091555

2.3365×10

-3

0.058

%

2.3 Code chương trình Runge – Kutta Matlab

10

Bậc 2

clear; clc

%Nh p các giá tr ậ ị t0=input('Nhap gia tri dau x0 = ');

tn=input('Nhap gia tri cuoi xn = ');

y0=input('Nhap gia tri dau y0 = ');

h=input('Nhap buoc nhay h = ');

t0=input('Nhap gia tri dau x0 = ');

tn=input('Nhap gia tri cuoi xn = ');

y0=input('Nhap gia tri dau y0 = ');

h=input('Nhap buoc nhay h = ');

II BI 2

1 Cơ s l thuy"t

Sử dDng kiến thức đã đưLc học trong chương 10: PhPn tử dPm trong không gian

đJ gi2i quyết bài toQn

cắt tuy T (h8nh chữ nhật, h8nh vuông, W shape, S shape, C shape …)sao cho đảm bảo điQu kiMn bQn

Lấy ti<t diMn h8nh chữ nhật v>i a=500mm, b=300mm,

n: sL sinh viên cHa nh:m

2.1 Bi giải tay

Phần tử 1 và 2:

Phần tử 3: l=2L

Ma trận tổng độ cứng của phần tử:

4 2

3 3

4 4

2.54 10

1.009 10

5.045 10

rad rad rad

2.2 Giải ton b)ng ph*n m+m ABAQUS

a) Reaction force “RF” (Phản lực liên k"t):

14

b) Stress “S” (Ứng suất):

c) Ubiety “U” (Chuyển vị):

-*-# Do not delete the following import lines

from abaqus import *

from abaqusConstants import *

s.ParallelConstraint(entity1=g[3], entity2=g[4], addUndoState=False)

s.ObliqueDimension(vertex1=v[0], vertex2=v[1], textPoint=(-1638.67651367188, -108.192199707031), value=1000.0)

s.ObliqueDimension(vertex1=v[1], vertex2=v[2], textPoint=(-740.406066894531, -112.228088378906), value=1000.0)

s.ObliqueDimension(vertex1=v[2], vertex2=v[3], textPoint=(121.448303222656, -116.263732910156), value=2000.0)

p = mdb.models['Model-1'].Part(name='dam', dimensionality=TWO_D_PLANAR, type=DEFORMABLE_BODY)

mdb.models['Model-1'].Material(name='Material-1')

mdb.models['Model-1'].materials['Material-1'].Density(table=((7.8e-09, ), ))

mdb.models['Model-1'].materials['Material-1'].Elastic(table=((200000.0, 0.25), ))

mdb.models['Model-1'].RectangularProfile(name='Profile-1', a=500.0, b=300.0) mdb.models['Model-1'].BeamSection(name='Section-1',

integration=DURING_ANALYSIS, poissonRatio=0.0, profile='Profile-1',

18

region=region, cf2=-12528.3, distributionType=UNIFORM, field='',

mdb.Job(name='dam', model='Model-1', description='', type=ANALYSIS, atTime=None, waitMinutes=0, waitHours=0, queue=None, memory=90, memoryUnits=PERCENTAGE, getMemoryFromAnalysis=True,

explicitPrecision=SINGLE, nodalOutputPrecision=SINGLE, echoPrint=OFF, modelPrint=OFF, contactPrint=OFF, historyPrint=OFF, userSubroutine='', scratch='', resultsFormat=ODB)

III TI LI(U THAM KH+O

1. Runge-Kutta 2nd order method to solve Differential equations,

5. Fouth orther Runge – Kutta,

https://lpsa.swarthmore.edu/NumInt/NumIntFourth.html