EC

GIỚI THIỆUĐịnh nghĩa: Đường cong elliptic trên trường K là tập hợp các điểm thỏa phương trình: E: y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 1 Với một đểm O gọi là điểm tại vô cùng.. • Điều kiện khôn

ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

I GIỚI THIỆU

1.ĐƯỜNG CONG TRÊN TRƯỜNG SỐ THỰC

2 ĐƯỜNG CONG TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

I GIỚI THIỆU

Định nghĩa:

Đường cong elliptic trên trường K là tập hợp

các điểm thỏa phương trình:

(E): y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 (1)

Với một đểm O gọi là điểm tại vô cùng.

Phương trình phải thỏa điều kiện không kì dị Nghĩa là khi viết dưới dạng F(x,y)=0 thì tại mọi

• Điều kiện không kì dị nghĩa là nếu xét tập các điểm

trên một đường cong, thì dường cong đó không có điểm bội

thì đa thức không có nghiệm bội

1.ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG SỐTHỰC

(1) có thể đưa dạng Weierstrass về:

Điều kiện không kì dị(không có điểm bội):

(E):y2+y=x3-x (E):

y2=x3+1/4*x+5/4

(E):y^2=x^3+2*x+1 (E):y^2=x^3-3*x+2

2 ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

Các điểmcủa đường cong (E) KH: E(Fq) trên trường Fq có q phần tử thỏa mãn phương trình trong Fq:

Ví dụ:

II CÁC PHÉP TOÁN

1.TRƯỜNG HỮU HẠN

• Trường là tập K với hai phép toán cộng (+) và

nhân(*) thỏa:

tử trung hòa (của phép cộng)

phần tử đơn vị

Và (a+b)c=ca+cb (luật phân phối)

• Nếu p ngyên tố thì trường hữu hạn Fp là trừng

gồm các phần tử từ 0 đến p-1

phương trình:

• Đặc số của trường:

nhân Khi đó đặc số của K được định nghĩa là: sốn n nhỏ nhất sao cho:

1+1+….+1≠ 0 ta cộng thêm “1” bao nhiêu cũng được => đặc số bằng 0

• Bậc của a:

• (Lecture Notes on Computer network Security by Avi Kak)

Tính chất:

2 PHÉP CỘNG

Đường cong elliptic trên trường số thực:

thức:

• Và phép nhân:

• Với:

3.PHÉP NHÂN Phép nhân ta có 2P=P+P:

Cộng hai điểm trên trường hữu hạn

(E): y2=x3+4x+20 trên F29

(5,22)+(16,27)=(13,16)

2(5,22)=(14,6)

Ví dụ:

F24 Với a=z3,b=z3+1, f(z)=z4+z+1

phần tử trong trường này có dạng:

Ta có:

P(0010,1111), Q(1100,1100)

III.CÁC BÀI TOÁN

1 KIỂM TRA ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG CONG

2 ĐẾM SỐ ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG

3 CỘNG HAI ĐIỂM ,NHÂN HAI ĐIỂM

4 NHÂN NHANH

1.KIỂM TRA ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG

CONG

2.ĐẾM SỐ ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG

3.CỘNG HAI ĐIỂM ,NHÂN HAI ĐIỂM

Nhân hai điểm

T=K+KReturn T

4.NHÂN NHANH

cộng và 7 phép nhân

IV.ĐƯỜNG CONG VÀ HỆ MÃ CÔNG KHAI

1 TƯƠNG ỨNG MỘT SỐ VÀ MỘT ĐIỂM

2 MẬT MÃ HÓA CÔNG KHAI DÙNG ĐƯỜNG CONG

1.TƯƠNG ỨNG MỘT SỐ VỚI MỘT ĐIỂM

Pm(xj,yj,) Kết thúc

ngược lại chuyển sang B.3

3 Đặt j<-j+1 quay về B.2

• Thuật toán sác xuất thất bại 1/2k.

2 MẬT MÃ HÓA CÔNG KHAI DÙNG ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

Giả sử B,P thuộc (E), k là một số nguyên sao cho P=kB Ta gọi k là logarit cơ sở B của P.

Giả sử có A 1,…,An cá thể cần trao đổi thông tin mật Trước tiên ta chọn đường cong E trên Fq,và điểm B thuộc (E) thông báo công

khai.

.* Aj tự chọn cho mình khóa ej(khóa bí mật)

• Aj cần gửi cho Ai thông báo m

3 HỆ TƯƠNG TỰ MÃ MŨ

này được thông báo công khai

nghich đảo của ei (mod N)

• B1: Ai gửi eiPm cho Aj

Ta có didjeiej≡1(mod N) nên P= Pm

Điểm B=(x,y) thuộc E.

nếu đa thức có nghiệm bội thì tìm a khác

Sửa theo modulo p

Chọn B thuộc (E) Lấy một số nguyên tố p đủ lớn

Đường cong đã chọn chỉ “sửa xấu” với một số hữu hạn

số nguyên tố

”modulo” p và điểm B “modulo “ p

V SO SÁNH VỚI RSA

So sánh:

Hiện nay, hệ mật RSA là giải thuật khoá công khai được sử dụng nhiều nhất, nhưng hệ mật dựa trên đường cong Elliptic (ECC) có thể thay thế cho

RSA bởi mức an toàn và tốc độ xử lý cao hơn

Ưu điểm của ECC là hệ mật mã này sử dụng khoá

có độ dài nhỏ hơn so với RSA Từ đó làm tăng tốc

độ xử lý một cách đáng kể, do số phép toán

dùng để mã hoá và giải mã ít hơn và yêu cầu các thiết bị có khả năng tính toán thấp hơn, nên giúp