Toán 12 số phức ÔN THI THPTQG

CHƯƠNG 4 TỔNG HỢP KIẾN THỨC 1 Khái niệm số phức  Tập hợp số phức £  Số phức (dạng đại số) z a bi= + Trong đó ▪ , a b Î ¡ ; a là phần thực, b là phần ảo ▪ i là đơn vị ảo, 2 1 i =  z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 ( )0b =  z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) Û phần thực bằng 0 ( )0a = Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo 2 Hai số phức bằng nhau Hai số phức ( )1 ; z a bi a b= + Î ¡ và ( )2 ; z c di c d= + Î ¡ được gọi là bằng nhau a c b d ì =ïïÛ í ï =ïî Khi đó ta viết 1 2 z z= 3 Biểu diễn hình.

CHƯƠNG 4 TỔNG HỢP KIẾN THỨC

 z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) Û phần thực bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

2 Hai số phức bằng nhau

Hai số phức z1= +a bi a b ; ( Î ¡ ) và z2= +c di c d ; ( Î ¡ ) được gọi là bằng nhau a c.

b d

ì = ïï

 z = a2 +b2 = zz = OM

uuur hay z2= z z .

10 Phương trình bậc hai với hệ số thực

a Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức i = -2 1, ta nói i là một căn bậc hai của - 1; -i cũng là một căn bậc hai của - 1, vì ( ) -i 2= - 1 Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn:

Căn bậc hai của - 2 là ±i 2, vì (±i 2)2= - 2

Căn bậc hai của - 3 là ±i 3, vì (±i 3) = - 3

Căn bậc hai của - 4 là ±2i, vì ( ± 2i)2= - 4

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ±i a

b Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx+c= 0 với a b c Î ¡, , và a ¹ 0

Xét biệt số D = b2 - 4ac của phương trình Ta thấy:

● Khi D = 0, phương trình có một nghiệm thực

2

b x a

a

- ±

● Khi D < 0 phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của

D Tuy nhiên, trong trường hợp D < 0, nếu xét trong tập hợp số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của D là ±i D Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức 1,2

2

b i x

Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức

Chú ý cho HS: Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…

Ví dụ 1: Cho số phức z = 3 1

2  2i Tính các số phức sau: z; z2; (z)3; 1 + z + z2

Giải:

a) Vì z = 3 1

2  2i  z = 3 1

2  2ib) Ta có z2 =

Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

 (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i



Dạng 2: Các bài toán chứng minh

Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức

1 1

z z

Dạng 3: Các bài toán về môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức

Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức) Khi đó ta giải bài toán này như sau:

Giả sử z = x+yi (x, y  R) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y) Ta có: OM = 2 2

- Các số phức z, z < R là các điểm nằm trong đường tròn (O;R)

- Các số phức z, z >R là các điểm nằm ngoài đường tròn (O;R)

Ví dụ 11 : Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp

các điểm M(z) thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:

1 z  1 i =2

2 2   z 1 i

Vậy tập hợp tất cả các điểm M(z) chính là đường trung trực của AB

Chú ý: Ta có thể giải cách khác như sau:

Giả sử z = x + yi, khi đó:

(2)  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 4x + 2y + 3 = 0

vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0

nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là phương trình đường trung trực của đoạn

1 2

x y

A

B O

Gọi A, B tương ứng là các điểm biểu diễn số thực -2 và 2, tức là A(-2;0), B(2;0)

Vậy (3)  M(z)A > M(z)B Mà A, B đối xứng nhau qua Oy

Từ đó suy ra tập hợp các điểm M(z) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung

Xét điểm A(-1;1) là điểm biểu diễn số phức -1 + i Khi đó 1≤ MA ≤ 2

Vậy tập hợp các điểm M(z) là hình vành khăn có tâm tại A(-1;1) và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2 và 1

Cách 2: Giả sử z = x +yi khi đó (5)  1 ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ 2  1 ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ 4

 kết quả như ở trên

Ví dụ 12: Xác định các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả

mãn một trong các điều kiện sau đây:

 |2x+3|=4 

1 2 7 2

1 3 2

y y

Đặt z = x + yi  z = x – yi Khi đó: (3)  |x+(y-1)i| = |(x+y)i|

1

xy xy

3 1

Ta lại có: z 3i 1

  |z-3i| = |z+i|  |x+yi-3i| = |x+yi+i|  x2 + (y – 3)2 = x2 + (y+1)2

 y = 1  x = 1 Vậy số phức phải tìm là z =1+i

Ví dụ 14: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = 3

2 Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

Giải: Giả sử z = x + yi, khi đó : |z – 2+3i| = 3

Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất

 M trùng với M1 là giao của đường thẳng OI với đường tròn

26 3 13 2

Để giải bài toán này ta cần chú ý đến kiến thức sau:

Giả sử M1(x1;y1) biểu diễn số phức z1 = x1 + y1i

Giả sử M2(x2;y2) biểu diễn số phức z2 = x2 + y2i

Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M1M2 bằng môđun của số phức z1 – z2

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức

Cho số phức w = a + bi Tìm căn bậc hai của số phức này

Phương pháp:

+) Nếu w = 0  w có một căn bậc hai là 0

+) Nếu w = a > 0 (a  R)  w có hai căn bậc hai là a và - a

+) Nếu w = a < 0 (a  R)  w có hai căn bậc hai là ai và - ai

Chú ý: Có rất nhiều cách để giải hệ này, sau đây là hai cách thường dùng để giải

Cách 1: Sử dụng phương pháp thế: Rút x theo y từ phương trình (2) thế vào pt (1)

rồi biến đổi thành phương trình trùng phương để giải

Cách 2: Ta biến đổi hệ như sau:

Nhận xét: Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau

Ví dụ 16: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:

3 5

(1) 4

Vậy số phức w = 4 + 6 5i có hai căn bậc hai là: z1 = 3 + 5i và z2 = -3 - 5i

2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2 6i

Khi đó: z2

= w  (x+yi)2 = -1-2 6i  2 2

2 2

6 (1) 1

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai: Az2



 

(trong đó  là một căn bậc hai của )

*) Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 =

2

B A

Ta có:  = -4 = 4i2 phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i

2) Ta có:  = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i

Bây giờ ta phải tìm các căn bậc hai của 2i

1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = 2i



2 2

2 2

1 1

1 0

Vậy số phức 2i có hai căn bậc hai là: 1+i và -1 –i

 Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 3 1 1 2

Nhận xét: Ngoài phương pháp tìm căn bậc hai như ở trên, đối với nhiều bài ta có thể phân

tích  thành bình phương của một số phức Chẳng hạn: 2i = i2 + 2i + 1 = (i+ 1)2 từ đó dễ dàng suy ra hai căn bậc hai của 2i là 1 + i và -1 – i

Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai

Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy được về bậc hai

Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai

Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải

3.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử

Ví dụ 18: Cho phương trình sau:

z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1)

1) Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo

2) Giải phương trình (1)

Giải:

a) Đặt z = yi với y  R

Phương trình (1) có dạng: (iy)3

+ (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = 0

 -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i

đồng nhất hoá hai vế ta được:

Vậy phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i

b) Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i

 vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:

z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b  R)

đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5

 (1)  (z – 2i)(z2 = 2z + 5) = 0  2

2 2

2) z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x,y  Z

Giải:

1) z3 – 27 = 0  (z – 1) (z2 + 3z + 9) = 0  2

2,3

1 1

3 3 3

2

z z

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

2) Ta có: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i

Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: 3 2

3 3

2

4 0

2

z z

z z

z i z

1 2

i z

z

z z

+ Với t = -3z  z2 + 3z +6 +3z = 0  z2 + 6z + 6 = 0  3 3

3 3

z z

z hãy đưa phương trình về dạng: y2 – 2y – 3 = 0 b) Từ đó giải (1)

Đặt y = z-1

z  pt có dạng: y2 – y + 5

2 = 0  2y2 – 2y + 5 = 0 

1 3 2

1 3 2

i y

i y

Ta có :  = (1+3i)2 + 16 = 8 +6i = (3+i)2

 phương trình (2) có 2 nghiệm: z1 = 1+i

z2 = 1

2

 + 1

2 i +) Với y = 1 3

Ta có :  = (1-3i)2 + 16 = 8 -6i = (3-i)2

 phương trình (3) có 2 nghiệm: z3 = 1-i

z4 = 1

2

 - 1

2 i Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

 Phương trình (4) có hai nghiệm 2

Vậy hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm (là hoán vị của bộ ba số 1, i và –i)

CCÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1 PHẦN THỰC – PHẦN ẢO

Câu 1 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z= 3 2 + i

x x y x

ì = ïï

Câu 24 Trong mặt phẳng tọa độ (hình vẽ

bên), số phức z= 3 4 - i được biểu diễn bởi

điểm nào trong các điểm A B C D, , , ?

Câu 25 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 –

2017) Số phức nào dưới đây có điểm biểu

diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như

Câu 26 Giả sử M N P Q, , , được cho ở hình vẽ bên

là điểm biểu diễn của các số phức z z z z1, , ,2 3 4 trên

mặt phẳng tọa độ Khẳng định nào sau đây là

đúng?

A Điểm M là điểm biểu diễn số phức z1 = + 2 i.

B Điểm Q là điểm biểu diễn số phức

4 1 2

z = - + i

C Điểm N là điểm biểu diễn số phức z2 = - 2 i.

D Điểm P là điểm biểu diễn số phức

3 1 2

z = - - i

Câu 27 Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là

điểm biểu diễn của số phức z(như hình vẽ

bên) Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu

A Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành

B Hai điểm A và Bđối xứng nhau qua trục tung

C Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

D Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y= x

Câu 30 Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z= 2 5 + i và B là điểm biểu diễn của số phức

A Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành

B Hai điểm A và Bđối xứng nhau qua trục tung

C Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

D Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y= x

Câu 31 Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z= 4 7 - i và B là điểm biểu diễn của số phức

z = - + i Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành

B Hai điểm A và Bđối xứng nhau qua trục tung

C Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

D.Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y= x

Câu 32 Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z= 3 2 + i và B là điểm biểu diễn của số phức

z = + i Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành

B Hai điểm A và Bđối xứng nhau qua trục tung

C Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

D Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y= x

Câu 33 Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của các số phức z= 3 +bi với b Î ¡ luôn nằm trên đường có phương trình nào trong các phương trình sau:

A x = 3 B y =3 C y= x D y= x+ 3

Câu 34 Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức z= a a i+ 2 với a Î ¡ Khi đó điểm biểu diễn

số phức z nằm trên trên đường có phương trình nào trong các phương trình sau:

A Parabol x= y2 B Parabol y= - x2

B Đường thẳng y= 2x D Parabol y= x2

Câu 35 Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A B M, , lần lượt là điểm biểu diễn của các

số phức - 4, 4 , i x+ 3i Với giá trị thực nào của x thì A B M, , thẳng hàng?

A x =1 B x = - 1 C x = - 2 D x = 2

Câu 36 Xét các điểm A B C, , trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn lần lượt các số phức z1= 2 2 - i, z2 = 3 +i và z3 = 2i Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Ba điểm A B C, , thẳng hàng B Tam giác ABC đều

C Tam giác ABC cân tại A D Tam giác ABC là tam giác vuông cân

Câu 37 Gọi A B C, , lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 = - 1 3 ; + i

2 3 2 ;

z = - - i z3= 4 +i Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Ba điểm A B C, , thẳng hàng B Tam giác ABC đều

C Tam giác ABC cân tại B D Tam giác ABC là tam giác vuông cân

Câu 38 Trong mặt phẳng tọa độ, ba điểm A B C, , lần lượt biểu diễn cho ba số phức

1 1

z = +i, z2 = ( 1 +i)2 và z3 = -a i a( Î ¡ ) Tìm a để tam giác ABC vuông tại B

A a = - 3 B a = - 2 C a = 3 D a = 4

Câu 39 Cho các số phức z z z1, , 2 3 có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là ba đỉnh của tam giác đều có phương trình đường tròn ngoại tiếp (x+ 2017 )2+ (y- 2018 )2 = 1. Tổng phần thực và phần ảo của số phức w= z1 +z2 + z3 bằng:

A - 1. B 1. C 3. D - 3.

Câu 40 Cho tam giác ABC có ba đỉnh A B C, , lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z1= 2 - i z, 2= - 1 6 , + i z3= 8 +i Số phức z4 có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 45 Gọi A( 3;1 , ) B( 2;3 ) lần lượt là điểm

biểu diễn các số phức z1 và z2 Trong hình

vẽ bên điểm nào trong các điểm M N P Q, , ,

biểu diễn số phức z, biết rằng z1+ z= z2.

Câu 49 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho

số phức z thỏa mãn ( 1 +i z) = 3 - i. Hỏi điểm

biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm

Câu 58 Cho số phức z ¹ 0 và z¹ z. Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và

z Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A A B, đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

B A B, đối xứng nhau qua trục hoành

C A B, đối xứng nhau qua trục tung

D A B, đối xứng nhau qua đường thẳng y= x

Câu 59 Cho số phức z tùy ý và hai số phức a = z2+ ( )z 2, b = z z +i z z( - ) Hỏi khẳng định nào dưới đây là đúng?

A a b, là các số thực B a b, là các số thuần ảo

C a là số thực, b là số thuần ảo D a là số thuần ảo, b là số thực

Câu 60 Cho số phức z= 5 3 - i Tìm phần thực a của số phức 1 + z+ ( )z 2.

Câu 71 Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z= +a bi a b ; ( Î ¡ ) trong mặt phẳng tọa độ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.OM= z B OM= a2 - b2 C OM = a b+ D OM= a2 - b2

Câu 72 Gọi M N, lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trong mặt phẳng tọa độ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A z1 - z2 = OMuuur+ONuuur . B z1 - z2 = MNuuuur.

C z1 - z2 = OMuuur+ MNuuuur. D z1 - z2 = OMuuur- MNuuuur.

Câu 73 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hai số phức z1 và z2 có z1 = z2 ¹ 0 thì các điểm biểu diễn z1 và z2 trên mặt phẳng tọa độ cùng nằm trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ

B Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì điểm biểu diễn của số phức z

nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba

C Cho hai số phức u v, và hai số phức liên hợp u v, thì uv= u v.

D Cho hai số phức ( )

1 2

; ;

C z là số thuần ảo có phần ảo dương

D z là số thuần ảo có phần ảo âm

A Điểm M biểu diễn cho số phức có môđun bằng 11

B Điểm M biểu diễn cho số phức z mà có z= 2 3 - i

C Điểm M biểu diễn cho số phức z= 2 3 + i

D Điểm M biểu diễn cho số phức có phần ảo bằng 2

Câu 82 Tính môđun của số phức z, biết z= ( 4 3 1 - i)( +i)

A z = 25 2 B z = 7 2 C z = 5 2 D z = 2

Câu 83 Gọi M là điểm biểu diễn của số

phức z, biết tập hợp các điểm M là phần tô

đậm ở hình bên (không kể biên) Mệnh đề

nào sau đây đúng :

A z £1. B 1 < z £ 2.

C 1 < z < 2. D 1 £ z £ 2.

2 1

phần tô đậm ở hình bên (kể cả biên)

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A 1 < z < 2 và phần ảo lớn hơn 1.

2 -

B 1 £ z £ 2 và phần ảo lớn hơn 1.

2 -

C 1 < z < 2 và phần ảo nhỏ hơn 1.

2 -

D 1 £ z £ 2 và phần ảo không lớn

hơn 1.

2

-Câu 85 Một hình vuông tâm là gốc tọa độ O , các cạnh song song với các trục tọa độ và

có độ dài bằng 4 Hãy xác định điều kiện của a và b để điểm biểu diễn số phức z= a+bi

nằm trên đường chéo của hình vuông

A a > b ³ 2. B a = b £ 2. C a = b £ 2. D a< b £ 2.