Bài tập số học

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n luôn tồn tại vô số số nguyên m thỏa mãn nm3mod p.

Bài 1: Cho hai số nguyên tốp, qphân biệt và số nguyên dươnga thỏa mãn

1 a a  a q  Chứng minh rằng: p p1(mod )q

Bài 2: Cho số nguyên tốpthỏa mãn p 2(mod 3) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên

n luôn tồn tại vô số số nguyên m thỏa mãn nm3(mod )p

Bài 3: Tìm các số nguyên tốp, q thỏa mãn pq(3p 7 )(3p q 7 )q

Bài 4: Cho pnguyên tố, a và bnguyên thỏa mãn:( , )a b  , 1 ab(mod )p Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n luôn có v a p( nb n)v a b p(  )v n p( )

Bài 5: Tìm số nguyên dương n lớn hơn 1 thỏa mãn: 2n 1 n2

Bài 6: Cho số nguyên tốpthỏa mãn p 1(mod 3) Chứng minh rằng tồn tại số nguyênx

thỏa mãn x1(mod )p và 3

1(mod )

Bài 7: Cho số nguyên tố p, p 1(mod 3) và hai số a , b nguyên dương thỏa mãn: Nếu

,

x y nguyên thỏa mãn ax3bxay3by(mod )p thìx y(mod )p Chứng minh

rằng:b không chia hết cho p và a chia hết cho p

Bài 8: Cho số nguyên dương n lớn hơn 5 Chứng minh rằng không tồn tại p q, nguyên dương thỏa mãn: pqn và 2n1 1 3p2.3q

Bài 9: Cho số nguyên tốpvà số nguyên dương n thỏa mãn: pkhông lớn hơn ước

nguyên tố nhỏ nhất của n và 2 n  Chứng minh rằng 1 p p  3

Bài 10: Chứng minh rằng không tồn tại ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng

nhau thỏa mãn: 2a  , 21 b b  , 21 c c  1 a

Bài 11: Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương n thoả mãn 2n 1

n

 

Bài 12: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x y z, , thoả mãn 2

3

z

3(mod 4)

Bài 13: Cho 3 số nguyên dương a b c thoả mãn ( , , ), , a b c  Chứng minh rằng tồn tại 1

số nguyên dương n sao cho với mọi số nguyên dương k ta luôn có a k b k c k không chia hết cho 2n

Bài 14: Cho số nguyên tố p thoả mãn p 1(mod 4)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 1, 2, , 1

2

p

  luôn tồn tại duy nhất

số nguyên dương 1, 2, , 1

2

p

0(mod )

b) Chứng minh rằng

1

2

1

2

4

p

k





   

 c) Chứng minh rằng

1 2 2

1

( 1)( 5) 24

p

k

p







 

 