tiểu luận xử lý tính hiệu số

tiểu luận xử lý tín hiệu số là môn được cho các bạn tham khảo học tập và trong quá trình làm bài tiểu luận và tham khảo đầy đủ các chi tiết từng câu hỏi mà giáo viên đặt ra cho các bạn sv ngành điện tử viễn thông.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHOA ĐIỆN, ĐIỆN TỬ VÀ CÔNG NGHỆ VẬT LIỆU

TÊN ĐỀ TÀI TIỂU LUẬN

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG CÁC BƯỚC ĐỂ TÌM NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TRỰC TIẾP TRONG MIỀN N.CÁC

HỆ THỐNG SỐ KHÔNG ĐỆ QUY VÀ ĐỆ QUY

TÊN LỚP HỌC PHẦN : VI XỬ LÍ TÍN HIỆU SỐ - NHÓM 1

MÃ HỌC PHẦN : 2021-2022.1.DTV3023.001 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: NGUYỄN VĂN ÂN

HUẾ, THÁNG 12 NĂM 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHOA ĐIỆN, ĐIỆN TỬ VÀ CÔNG NGHỆ VẬT LIỆU

TÊN ĐỀ TÀI TIỂU LUẬN

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG CÁC BƯỚC ĐỂ TÌM NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TRỰC TIẾP TRONG MIỀN N.CÁC

HỆ THỐNG SỐ KHÔNG ĐỆ QUY VÀ ĐỆ QUY

TÊN LỚP HỌC PHẦN : VI XỬ LÍ TÍN HIỆU SỐ - NHÓM 1

MÃ HỌC PHẦN : 2021-2022.1.DTV3023.001

Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Văn Ân

Sinh viên thực hiện : Hoàng Minh Tuệ

Mã sinh viên : 19T1051023

HUẾ, THÁNG 12 NĂM 2021

Mục Lục

I Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 3

 Dạng tổng quát 3

II Các nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất 5

Phương trình thuần nhất là phương trình không có thần phần thứ 2 tức là ta tìm ( )y n ứng với đầu vào ( ) 0 x n  nghiệm này ta kí hiệu là y n 50( ) 2 Tìm nghiệm của phương trình sai phân có thành phần thứ hai 6

Phương trình có thành phần thứ hai tức là là phương trình ứng với đầu vào ( )x n � có dạng tổng quát như sau : 60 3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân 6

4 Tìm giá trị các hệ số 6

III Các hệ thống không đệ quy và đệ quy 8

 Hệ thống số không đệ quy 8

 Hệ thống số đệ quy 8

I Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

 Dạng tổng quát

Trong chương trình của chúng ta , chúng ta chỉ đi sâu nghiên cứu các

hệ thống tuyến tính bất biến, mà dảy vào và dảy ra của hệ thống này được liên hệ với nhau bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N

Một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N có dạng sau :

a y n k b x n r

Nhận xét :

 Tập hợp các hệ số A kvà B r sẻ biểu diển một hệ thống tuyến tính

bất biến

 Chúng ta có thể viết phương trình khác dưới dạng sau đây

0

a y n a y n k b x n r

Nếu a0 �0

k r

k

a b

y n x n r y n k

y n b x n r a y n k

0

a b

Ta có thể giải phương trình sai phân tuyến tính hệ sống hằng bằng các phép toán số học sở cấp : nhân , tổng và hiệu

Ví dụ 1 : Ta có phương trình sai phân bậc nhất sau :

y n ay n x n

Ta sẻ tìm đáp ứng xung của hệ thống với điều kiện đầu

( 1) 0

y   với n0 và y n( ) 0 với n 0

Giải : Nếu x n( )( )n  y n( ) h n( )

Với điều kiện đầu y n( ) 0 với n0 ta có

( ) 0

h n  với n0

4

1

n

h n ah n n a a a

h n a u n e n







Hệ thống này là nhân quả

Với điều kiện đầu y n( ) 0 với n 0

1

1

y n y n x n

a

y n y n x n

a

( ) 0

h n

  với n0

1

1

n

h n a u n













Hệ thống này là không nhân quả ( phản nhân quả )

 Ta thấy rằng trong cùng một phương trình sai phân nhưng với điều kiện đầu khác nhau , ta có các nghiệm khác nhau

Nhận xét :

 Chúng ta thường gặp các hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả với kích thích vào nhân quả tức là h n( ) và x n( ) là nhân quả trong

trường hợp này đáp ứng ra của chúng ta củng sẻ là nhân quả và chúng ta có thể tìm đáp ứng ra y n( ) của hệ thống bằng tích chập

y n  x n h n h n x n

5

Và tích chập này sẻ được tính từ 0 đến n

II Các nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

Phương trình thuần nhất là phương trình không có thần phần thứ 2 tức là ta tìm y n( ) ứng với đầu vào x n( ) 0 nghiệm này

ta kí hiệu là y n0( )

Như vậy phương trình sai phân sẻ có dạng :

0

N k k

a y n k



 

�

Thông thương nhất ta tìm nghiệm dưới dạng hàm mũ như sau

0

n

y n  (1)

Thay vào (1) ta được 0

0

N

n k k k

a  





�

Hoặc là 0 n 1 n 1 1 n N( 1) n N 0

a  a  a    a  



1

    



Và ta có phương trình

1

a  a  a  a



 Phương trình này gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống , và đa thức bên trái gọi là đa thức đặc trưng, đa thức này có bậc là N

Phương trình đặc trưng (1) sẻ có nghiệm là N kí hiệu  1, 2, n Các nghiệm này có thể thực hoặc phức Nếu các nghiệm này trùng nhau thì ta có nghiệm bội Nếu các hệ số a a0, 1 a Nlà thực (trong

thực tế thường như vậy) thì các nghiệm phức sẻ là các cặp liên hợp phức

 Ta có các nghiệm đơn ta sẻ có nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất dưới dạng sau :

1

k

y n A A A   A  A



Ở đây A A A1, 2 n là các hằng số sẻ được xác định bởi điều kiện đầu

đả cho đối với hệ thống

6

 Các nghiệm đặc trưng có các nghiệm bội thì dạng của nghiệm

0( )

y n sẻ thay đổi Giả sử 2là nghiệm bội bậc l ta sẻ có :

1

2

y n A A  A n A n  A l   A 

1

y n A A A n A l   A  A 

2 Tìm nghiệm của phương trình sai phân có thành phần thứ hai

Phương trình có thành phần thứ hai tức là là phương trình ứng

với đầu vào x n( ) �0 có dạng tổng quát như sau :

a y n k b x n r

Nghiệm riêng ta kí hiệu là y n p( ) thường dạng này sẻ giống với

dạng của x n( )

3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân

Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sẻ là tổng của nghiệm

tổng quát của phương trình thuần nhất y n0( ) và nghiệm riêng của

phương trình có thành phần thứ 2 y n p( )

0

y n  y n  y n

4 Tìm giá trị các hệ số

Giá trị các hệ số nghiệm cuối cùng y n( ) sẻ xác định nhờ điều kiện

đầu

 ở bước 2 khi ta chọn y n p( ) giống dạng của x n( ) nhưng nếu y n p( )

lại nằm trong y n0( ) tức là trong thành phần y n0 có y n p( ) như vậy

trong y n( ) thì y n p( ) là thừa và vô nghĩa Trong trường hợp này ta

sẻ chọn y n p( ) độc lập với các thành phần y n0 cách chọn y n p( )

lúc này củng giống như cách chọn y n0 khi phương trình đặc trưng

có nghiệm bội

Ví dụ : Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc

một sau đây

y n  y n  x n

Với điều kiện đầu y( 1) 0  và x n( ) n

7

Giải :

Tìm y n0( )

Ta có phương trình thuần nhất

y n  y n 

Chọn dạng của y n0 là n

1

  

n

    

Phương trình đặc trưng là :

1

Phương trình chỉ có 1 nghiệm đơn 1  2

y n A A

Tìm y n p( )

Ta có phương trình thành phần thứ 2

y n  y n n

Vậy y n p( ) có dạng giống x n( ) n

( )

p

y n Bn C

Thay vào phương trình ta sẻ tìm được B và C

Bn C B n C n

Bn C Bn B C n

Đồng nhất các hệ số của 2 vế ta có :

;

( )

p

Bn C

y n n

n p

y n  y n  y n  A   n

Xác định hệ số A1

Dựa vào điều kiện đầu y(1) 0 ta có :

1 1

1

1 2

3 9 2

9

A



Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

8

( )

y n 

III Các hệ thống không đệ quy và đệ quy

Chúng ta sẻ phân biệt hai hệ thống số tiêu biểu , đó là hệ thống không đệ quy và

hê thống đệ quy

 Hệ thống số không đệ quy

Chúng ta biết rằng các hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N như sau

a y n k b x n r

Trong trường hợp N = 0 ta có :

0

0 0

M r r

b

y n x n r a

a



M r r

y n b x n r a



(2)

- Từ đó ta có định nghĩa sau : Hệ thống đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính bậc không ( N = 0 ) được gọi là hệ thống không

đệ quy

- Từ quan hệ ta thấy rằng b rlà các hằng số Vậy thì hệ thống không

đệ quy là hệ thống đáp ứng ra y n( ) của nó chỉ phụ thuộc vào kích

thích vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ ta có thể viết

y n  F x n x n x n M

Ở đây F là kí hiệu là hàm Bây giờ từ (2) ta gọi h k b k ta sẻ có

0

k

y n h k x n k



(3) Phương trình (3) là biểu thức của tích chập giữa h n( ) và x n( ) khi ( )

h n là nhân quả và có chiều dạn hửu hạn : L h n[ ( )]M 1 hửu

hạn h n( ) chính là đáp ứng xung của hệ thống không đệ quy Vây ta

có thể nói rằng hệ thống tuyến tính biến nhân quả có đáp ứng xung chiều dại hữu hạn được mô ta bởi phương trình (3) là hệ thống không đệ quỵ

 Hệ thống số đệ quy

9

Trng trường hợp N > 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N như sau :

0

a b

y n x n r y n k a

0

b x n r a y n k a

(4) Vậy ta có định nghĩa sau : Hệ thống được đặc trưng bơi phương trình sai phân bậc N > 0 được gọi là hệ thống đệ quy

- Nhận xét :

Từ quan hệ (4) tâ thấy rằng b rvà a k là các hằng số vậy thì hệ

thống đệ quy là hệ thống mà đáp ứng ra y n( ) của nó phụ thuộc

vào kích thích vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ và cả vào đáp ứng ra ở thời điểm quá khứ

y n  F y n y n y n N x n x n  x n M

Ở đây F kí hiệu là hàm

Nếu ta giải phương trình (4) với kích thích vào x n( ) ( )n ta sẻ

tìm được đáp ứng xung h n( ) Ta sẻ thấy rằng đáp ứng xung của hệ

thống đệ quy sẻ có chiều dài vô hạn Và nếu ta giải phương trình (4) với điều kiện đầu y n( )= 0 với n0 thì hệ thống sẻ là nhân quả và h n( ) sẻ là dảy nhân quả Vậy hệ thống đệ quy là hệ thống

mà đáp ứng xung h n( ) của nó là chiều dài vô hạn.

10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

PHIẾU ĐÁNH GIÁ TIỂU LUẬN Học kỳ Năm học …-…

Nhận xét:

Điểm đánh giá của CBChT1: Bằng số:

Bằng chữ:

Nhận xét:

Điểm đánh giá của CBChT2: Bằng số:

Bằng chữ:

Điểm kết luận: Bằng số Bằng chữ:

Thừa Thiên Huế, ngày …… tháng …… năm 20…

11