Tóm tắt lý thuyết toán 12

TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 PHẦN 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số: Cho hàm số +) ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy. +) ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy. Quy tắc: +) Tính , giải phương trình tìm nghiệm. +) Lập bảng xét dấu . +)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận. Bài toán 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng (a,b) +) Để hàm số đồng biến trên khoảng thì . +) Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì 1) Riêng hàm số: . Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau: +) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì +) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì +) Để hàm số đồng biến trên khoảng thì +) Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì 2)

PHẦN 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số y f x  

+) f x'   ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.0

+) f x'   ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.0

Quy tắc:

+) Tính f x , giải phương trình '  f x'   tìm nghiệm.0

+) Lập bảng xét dấu f x ' 

+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bài toán 2: Tìm m để hàm số y f x, m   đơn điệu trên khoảng (a,b)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng  a, b thì f x/  �0 x � a, b .

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng  a, b thì f x/  �0 x � a, b

thì x là điểm cực đại của hàm số.0

2) Nếu f x' 0  hoặc 0 f x không xác định' tại x và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua 0 x0

thì x là điểm cực tiểu của hàm số.0

*) Quy tắc 1:

+) Tính y '

+) Tìm các điểm tới hạn của hàm số (tại đó y ' 0 hoặc y' không xác định)

+) Lập bảng xét dấu y ' dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Dấu hiệu 2: Cho hàm số y f x   có đạo hàm đến cấp 2 tại x 0

+)  

 

0 0

+) Giải phương trình f ' x   tìm nghiệm.0

+) Thay nghiệm vừa tìm vào f " x và kiểm tra từ đó suy kết luận. 

Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3

Cho hàm số: 3 2

y ax bx cx d có đạo hàm 2

y ' 3ax 2bx c

1 Để hàm số có cực đại, cực tiểu � y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt � 0

2 Để hàm số có không cực đại, cực tiểu � y ' 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép � �  0

3 Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu

+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B.+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: ymx n y '  Ax B  Phần dư trong phép chia này là y Ax B  chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu

b ac k

� hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu.

2 hàm số có 3 cực trị khi ab 0 (a và b trái dấu)

cot

2 8

b a

  

4 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH (TRẮC NGHIỆM) HÀM SỐ: y ax  4  bx2  c

a

 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rABC r0

2 3

8

b r

b a

b a R

Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b2 2ac

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b38a4abc0Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b38a8abc0

b k  a k  Trục hoành chia tam giác ABC thành

hai phần có diện tích bằng nhau

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 C :y ax 4bx2 và trục hoành có diện tích phần trên và phầnc

dưới bằng nhau

2 365

BÀI 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x   xác định trên D.

+) M là GTLN của hàm số trên D nếu:  

+) Nhận xét: Nếu M, m là GTLN và GTNN của hàm số trên D thì pt f x  m 0 & f x  M 0 có nghiệm trên D

2 Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:

*) Quy tắc chung: (Thường dùng cho D là một khoảng)

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x   tìm nghiệm trên D.0

- Lập BBT cho hàm số trên D

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN

*) Quy tắc riêng: (Dùng cho  a; b ) Cho hàm số y f x   xác định và liên tục trên  a; b

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x   tìm nghiệm trên 0  a, b

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x1 2� a, b

- Tính 4 giá trị f a ,f b ,f x ,f x So sánh chúng và kết luận.       1 2

3 Chú ý:

1 GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn

2 Hàm số liên tục trên đoạn  a, b thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này

3 Nếu hàm sồ f x đồng biến trên    a, b thì max f x   f b , min f x   f a 

4 Nếu hàm sồ f x nghịch biến trên    a, b thì max f x   f a , minf x   f b 

5 Cho phương trình f x   với m y f x   là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi

+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng

+) Hàm phân thức mà bậc của tử � bậc của mẫu có TCN

+) Hàm căn thức dạng: y  , y bt, y bt  có TCN (Dùng liên hợp)

+) Hàm y a , 0 a 1 x   � có TCN y 0 

+) Hàm số y log x, 0 a 1 a   � có TCĐ x 0 

3 Cách tìm:

+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử

+) TCN: Tính 2 giới hạn: xlim y� � hoặc xlim y� �

 vàtiệm cận đứng x d

c

 

x� �� x 0 � x  x x+) Nếu x� �� x 0 � x2  x  x

BÀI 5 BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

cx d







BÀI 6 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Phương pháp: Cho 2 hàm số y f x , y g x      có đồ thị lần lượt là (C) và (C’)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x  g x 

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’)

BÀI TOÁN 2: T ƯƠ NG GIAO C A Đ TH HÀM B C 3 Ủ Ồ Ị Ậ

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m   (phương trình ẩn x tham số m)0

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng m f x  

+) Lập BBT cho hàm số y f x  .

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x, m  0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x x là 1 nghiệm của phương trình 0

+) Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị

 

y F x, m cắt trục hoành tại đúng 1 điểm

(2TH)

- Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R � hàm

số không có cực trị � y ' 0 hoặc vô nghiệm

y F x, m cắt trục hoành tại 3 điểm phân

biệt � Hàm số có cực đại, cực tiểu và

y F x, m cắt trục hoành tại 2 điểm phân

biệt � Hàm số có cực đại, cực tiểu và

2.Tính chất của cấp số cộng: Cho 3 số a, b, c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì: a c 2b 

3 Phương pháp giải toán:

+) Điều kiện cần: 0

3

b x

*) Các câu hỏi thường gặp:

1 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt � 1 có 2 nghiệm phân biệt khác d

3 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) � 1 có 2 nghiệm phân biệt x , x và thỏa mãn 1 2 x1 x2 d

+) Tam giác ABC có diện tích S0

BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t 1 t2

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t 1 t2

3 Bài toán: tìm m để  C :y ax 4bx2 cắt trục Ox tại 4 điểm pbiệt có hoành độ lập thành cấp số cộngc

BÀI 7 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x ; y thuộc đồ thị hàm số: 0 0

Cho hàm số  C : y f x   và điểm M x ; y 0 0  �C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.

- Tính đạo hàm y Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là / y /x0

- Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:  0  

/

x

y y x x y

Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M x ; y là tiếp điểm Khi đó  0 0 x thỏa mãn: 0  /0

x

y  (*) k

- Giải (*) tìm x Suy ra 0 y0 f x 0

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x   0y0

Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số  C : y f x   và điểm A a; b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A. 

- Gọi   là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó   : y k x a    (*) b

- Để   là tiếp tuyến của (C)      

+) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

+) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

PHẦN 2 : MŨ VÀ LÔGARIT

BÀI 1 LŨY THỪA

1 Định nghĩa luỹ thừa

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

 Căn bậc n của a là số b sao cho bn  a

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:

n n n

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a n b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a n b

v��i x 0 ne�u n le�

u u

 Logarit thập phân: lgblogblog10b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnbloge b (với e lim 1 1 n 2,718281

3 Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:

 log ( ) loga bc  a bloga c  loga b loga b loga c

a

c c

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

x x

e x

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số: Với a0, a� : 1 a f x( )a g x( ) � f x( )g x( )

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M a N �(a1)(M N ) 0

( )

f x

a t b

 Đoán nhận x 0 là một nghiệm của (1)

 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x 0 là nghiệm duy nhất:

 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) f (v) �u v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

BÀI 6 PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:  Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1: alogb c clogb a

BÀI 7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

 Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ

( ) ( )

1( ) ( )

BÀI 8 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

 Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

1( ) ( ) 0log ( ) log ( )

loga B0�(a1)(B 1) 0; log 0 ( 1)( 1) 0

log

a a

BÀI 10 BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ

1/ Bài toán lãi suất

a) Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng Tính cả vốn lẫn lãi T

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.

Từ công thức (*) T = a(1 + r)n ta tính được các đại lượng khác như sau:

1) ln

ln(1 )

T a n

r



n T r a

  ;

(1 )n

T a

r





b) Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng) Biết lãi suất hàng tháng là m% Hỏi sau

n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền?

Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1 a a m a  1m

Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là:

n n

T m a

n

T m

m a

3/ Bài toán tăng trưởng dân số: X m X n1rm n ,m n,  �,m n

Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m ; X dân số năm m ; m X dân số năm n n

Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là % m n m 1

n

X r

X



PHẦN 3 : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

BÀI 1 ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH

1 Khái niệm nguyên hàm

 Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp:

2 2

2 2

1

cos ( )

1tan( )1

sin ( )

1cot( )

ax b

ax b C a

ax b

ax b C a

BÀI 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN

Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số �f u x u x dx F u x�� �� '   �� ��C

BÀI 3 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

+Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức �udv u v �vdu (*)

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng �f (x).g(x)dx trong các trường hợp sau:

Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

�f( )

b

x a

1 Khái niệm tích phân

 F(x) là nguyên hàm của hàm số y f x  Công thức tính tích phân:

 

b

b a a

 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:

b a

S�f (x)dx

2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x), y = g(x) , x = a, x = b là:

b a

 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a

và b S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành

độ x (a  x  b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]

b

a

V �f x dx

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung

quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d là: 2( )

z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

2 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b R)� được biểu diễn bởi điểm

M(a; b) hay bởi u (a; b)r  trong mp(Oxy) (mp phức)

6 Môđun của số phức : z = a + bi

 2 2

z  a b  zz  OMuuuur

8 Căn bậc hai của số phức:

 z x yi  là căn bậc hai của số phức w a bi   z2   w

 w �0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau

 Hai căn bậc hai của a > 0 là �a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là �a.i

9 Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A �0)

2

     �0: (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2

Bz

PHẦN 1 : ĐA DIỆN, NÓN, TRỤ, CẦU

I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1 Tam giác thường:

a) S = 1ah

2 b) S = p(p a)(p b)(p c)   (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp)

2 Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3

2 ; b) S =

2

a 34c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

3 Tam giác vuông: a) S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2a

2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

BC

S

6 Tam giác cân: a) S = 1ah

2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

8 Hình thoi: 1 2

1.2

 (a, b: hai đáy, h: chiều cao)

10 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

11 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

12 Đường tròn: a) C = 2R b) S = R2 (R: bán kính đường tròn)

VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

C B

A

60 o 30 o

C B

A

G P

N M

C B

A

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

2 Đường cao: Giao điểm của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tgiác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đ tròn nội tiếp tam giác

VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2 Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3 Đường thẳng d vuông góc với mp ():

c) Đt d vuông góc với mp (  ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp (  )

4 Góc  giữa đt d và mp (  ): d cắt (  ) tại O và A�d

Nếu AH () thì d(A, ()) = AH (với H �())

IX DIỆN TÍCH HÌNH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN:

1 Thể tích khối lăng trụ: V h.Sđáy

4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay: S xq rl

5 Thể tích của khối nón tròn xoay: 1 1 2

.S

3 đáy 3

V  h  h r (diện tích đáy là đường tròn)

6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: S xq  2rl (r: bk đường tròn; l: đường sinh)

7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V h.Sđáy  h r. 2 ( h: chiều cao khối trụ)

8 Diện tích của mặt cầu: S xq 4R2 (R: bk mặt cầu )

9 Thể tích của khối cầu: 4 3



I KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

1 Định nghĩa

Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

 Các mặt là những đa giác đều n cạnh.

 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.

Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại  n p ,

2 Định lí

Chỉ có 5 loại khối đa diện đều Đó là loại  3;3 , loại  4;3 , loại  3;4 , loại  5;3 , loại

 3;5 Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diệnđều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều

Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

đỉnh

Số cạn h

Số mặt Loại MPĐX Số

Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại  n p, có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt

Khi đó: p Đ 2C nM

1/ Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng

SAB , SBC , SAC vuông góc với nhau từng đôi một, diện

tích các tam giác SAB SBC SAC, , lần lượt là S1,S ,S 2 3

S A

B