Các dạng Toán ôn thi vào THPT41310

Các dạng tốn ơn thi vào THPTPhần 1: Các bài tốn về biến đổi biểu thức,căn bậc hai và các phép tính về căn bậc hai Phương pháp: - Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử; - Tìm ĐKXĐ Nế

Các dạng tốn ơn thi vào THPT

Phần 1: Các bài tốn về biến đổi biểu thức,căn bậc hai và các phép tính về căn bậc hai

Phương pháp:

- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;

- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài tốn chưa cho ĐKXĐ)

- Rút gọn từng phân thức(nếu được)

- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:

+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia

+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức

+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng

+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn

Chú ý: - Trong mỗi bài tốn rút gọn thường cĩ các câu thuộc các loại tốn: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức cĩ giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài

*Mét sè bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cÇn nhí :

Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

7 hằng đẳng thức:(SGK)

Với A, B là các biểu thức

 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2

 A2 – B2 = (A + B)(A – B)

 (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3

 (A – B) 3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3

 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)

 A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2)

Các hằng đẳng thức liên quan:

 (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB

 (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB

2

A B  A B  AB

 A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B)

 A3 - B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B)

 (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC)

. A A A

A

A



  



1 Các hằng đẳng thức thường gặp :

 

2 2 2 2

) 1 ( 1

2   

) (

.

2 x y  y x  y

3) x - y =  x  y. x  y ( với x,y 0)

4)x x  y y= x3  y3  x  y.x x.y  y ( với x,y 0)

5) x y y x= xy( x y)= ( x y)(x xy y)( với x,y 0)

6) x  1 ( x 1)( x 1)( với x,y 0)

7)( x y)2  x 2x y

8) 1- x x = (1- x)(1+ x+ x)

2 Các công thức biến đổi căn thức.

a 2

b AB  A. B (A 0;B 0)

c A A (A 0;B 0)

d 2

( 0)

( 0; 0)

( 0; 0)

f A 1 AB (AB 0;B 0)

i A A B (B 0)

B

2

( 0; )

A B







m C C( A 2B) (A 0;B 0;A B )

A B







Ví dụ 1 Cho biểu thức: 1 1 : 1 3

1

A

      

      

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 6  2 5

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

d) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3

e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1

Giải :

a) ĐKXĐ : x > 0 và x 1

: 1

1

A

      

      





















































1

) 3 ( 1 :

) 1 (

1 )

1 (

3

x

x x

x x

x x

x

x

A

























































1

3 1 :

) 1 (

1 )(

1 (

) 1 (

) 1 )(

1

(

x

x x

x x

x x x

x x

x x x

A







































1

2 2 : 1 (

) 1 (

x

x x

x x x

x

x

A

1

) 1 ( 2 : 1 1

















x

x x

x x x

x

A

) 1 (

2

1

2







x

x x

x

A

1

1







x

x

A

Vậy

1

1







x

x

A

2 5

5 1

1 5

1 1 5 1

5 ) 1 5 ( )

1 5 ( 5 2

































x

Vậy với x 6  2 5 thì A 5  2 5

c) Ta có :

1

2 1 1

2 1

1 1

2 1 1

1































x x

x

x x

x x

x A

Để A có giá trị nguyên thì 2  x  1  x  1 Ư(2) hay x 1  1 ;  2

+)Với x 1= -1 x   1  1  x  0 x 0 (loại vì không T/MĐK)

+)Với x 1= 1 x  1  1  x  2  x 4 (T/MĐK)

+)Với x 1= -2 x   2  1  x   1 (loại)

+)Với x 1= 2 x  2  1  x  3 x 9 (T/MĐK)

Vậy với x 4 ; 9 thì A có giá trị nguyên

d)Ta cã : A= -3  = - 3 + 3 = 0

1

1





x

1

1





x x

 +

1

1





x

x

0 1

) 1 ( 3







x x

 x  1  3 x  3  0

4

1 2

1

2 4













x x

x

VËy A = -3 Khi

4

1



x

e) Ta cã : A < -1  <-1 +1 < 0

1

1





x

x



1

1





x x

 +

1

1





x

x

0 1

1 





x x

0

1

1 1













x

x x

(v× 2 >0 do x>0)

1 1

0 1

0 1 2





















x x x x x

x

KÕt hîp víi §KX§ ta ®­îc 0 < x < 1 th× A <-1

VËy A<-1 khi 0 < x < 1

Ví dụ2: Cho biểu thức:

1 2

1 :

1

1 1



























a a

a a

a a P

a/ Rút gọn P

b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên

Giải: a/ Rút gọn P:

) 1 (

1 :

1

1 ) 1 (

1

























a

a a

a a P

- ĐKXĐ:

1 0

1

; 0











a a

a

- Quy đồng:

1

) 1 ( ) 1 (











a

a a

a

a P

- Rút gọn: 1.

a

a



b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:

- Chia tử cho mẫu ta được:

a

P 1  1

- Lý luận: P nguyờn nguyờn là ước của 1 là

a

1

















1 1

) ( 1

a

ktm a

Vậy với a = 1 thỡ biểu thức P cú giỏ trị nguyờn

Bài tập : Dạng 1

Bài 1 Cho biểu thức A ( x 2 ) : 1

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A

b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2

Bài giải:

a) ĐKXĐ x > 0; x 1.

2

1

b Khi x= 3-2 2 = 2

( 2 1)

Bài 2: Cho biểu thức A 1 1 : 3

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của xthì A > 1

3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

Bài giải:

a) ĐKXĐ x0; x 9

x 3 3



 x 36 x 3

x 3 3



A = 2

x 3

b) A >



2

1

2 1 ( 2 1)





( vì 3(

   ( x  3) 0)  x   9 x 9

Kết quả hợp với ĐKXĐ: 0 x 9 thì A > 1/3

c) A 2 đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất



Mà x   3 3  x3min  3 x   0 x 0 lúc đó AMax=2 x 0

Bài 3: Cho biểu thức P 3 1 : 1

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P = 5

4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 12 1

P

x 1







Bài giải:

a) ĐKXĐ x 0;x 1 

1

x 1

x 1









(TMĐK)

c) M x 12 1 x 12 x 1 x 12 x 4 16 =

P

ta có

16



min

16



2

Vậy Mmin= 4 x 4

Dạng 2

Bài 1 :Cho biểu thức: P a 2 a 1 : a a 1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm az để P nhận giá trị nguyên

Bài giải:

a) ĐKXĐ: a 0;a 1 



để P nhận giá trị nguyên thì 2 nhận giá trị nguyên dương thuộc ước dương

của 2

a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện)

a 1

     

Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0

Bài 2: Cho biểu thức

B

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B

b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên

Bài giải:

a) ĐKXĐ x 3; x 2

B =

b) B nhận giá trị nguyên khi 1 nhận giá trị nguyên

x2 Ư(1)

x 2

thoả mãn điều kiện

Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên

Dạng 3

Bài 1: Cho biểu thức:



a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

b) Tìm x để P > 0

Bài giải

a) ĐKXĐ x>0; x1

       

2

2

b) P > 0 1 x 0 1 x 0 ( vì

x



Kết hợp với ĐKXĐ: 0 x 1 thì P > 0

Dạng 4

Bài 1 : Cho biểu thức: A x 1 : 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A x  m x có nghiệm

Bài giải

a) ĐKXĐ: x > 0; x 1

 

2



b) A < 0 x 1 0 x 1 0 (vì ) kết hợp với ĐKXĐ 0 <x < 1 thì

x



     x 0  x 1

A < 0

x



Đặt x t>0 ta có phương trình 2     để phương trình (1) có nghiệm thì

t  t m 1 0 * phương trình (*) phải có nghiệm dương

Để phương trình (*) có nghiệm dương thì:







Vậy m>-1 và m thì pt A có

5

4

m 1 0





 

nghiệm

Bài 2: Cho biểu thức: P 1 1 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

b) Tìm giá trị của P khi x = 25

52 6 x 1  x 2005 2 3

Bài giải:

a) ĐKXĐ x > 0; x 1

1 P

x 1

 

 b) Khi x= 25

P

16

25 1



2

2

P 5 2 6 x 1

1

x 1



TMĐK

Vậy x = 2005 thì P  2

52 6 x 1  x 2005 2 3

Dạng 5

Bài 1: Cho biểu thức A 1 1 1 1

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A

b)Tính giá trị của A khi x= 1

4 c)Tìm giá trị của x để A A

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1

=

A

x 1

x 1 x 1 x





1

1 2 4





x 1



 

2

x 1





Vậy x > 9 thì

x 9



 

Bài 2: Cho biểu thức:

A



a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A

c) Với giá trị nào của x thì A A

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1

A

b) Khi x=36 A 36 1 5

6 36



x



Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì

Phần 2: Hàm số bậc nhất –Phương trỡnh bậc nhất một ẩn- Hệ

phương trỡnh bậc nhất hai ẩn – Giải bài toỏn bằng cỏch lập hệ

1.1Hàm s ố bậc nhất

a Khỏi niệm hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi cụng thức y = ax + b Trong đú a, b là cỏc số cho trước và a 0

b Tớnh chất :Hàm số bậc nhất y = ax + b xỏc định với mọi giỏ trị của x thuộc R và cú tớnh chất sau:

- Đồng biến trờn R khi a > 0

- Nghịch biến trờn R khi a < 0

c Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng

- Cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng b

- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trựng với đường thẳng y = ax,

nếu b = 0

* Cỏch vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Bước 1 Cho x = 0 thỡ y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thỡ x = ta được điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành

Bước 2 Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b

d Vị trớ tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0) Khi đú

'

a a

d d

b b





  



+ d' d'  A  a a'

'

a a

d d

b b





   



+ d d' a a '   1

e Hệ số gúc của đường thẳng y = ax + b (a 0)

*Gúc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

- Gúc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là gúc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong

đú A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và cú tung độ dương

*Hệ số gúc của đường thẳng y = ax + b

- Hệ số a trong phương trỡnh y = ax + b được gọi là hệ số gúc của đường thẳng

y = ax + b

g) Chú ý :

- Đường thẳng y = ax + b (a 0) có a gọi là hệ số góc 

- Ta có: tan = (Trong đó  a  là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a 0) với chiều 

dương trục Ox)

- Nếu a > 0 thì : 0 <  < 900

- Nếu a < 0 thì : 900 <  < 1800

Minh Hoạ : y

y

y = ax + b ( a > 0 )

 x x

0 0

y = ax + b ( a <0 )

f Một số phương trỡnh đường thẳng

- Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)cú hệ số gúc k: y = k(x – x0) + y0

- Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là

1

x  y 

2.1 Cụng thức tớnh toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phõn biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đú

- Độ dài đoạn thẳng AB được tớnh bởi cụng thức

AB x x  y y

- Tọa độ trung điểm M của AB được tớnh bởi cụng thức

;

f) Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y⟺ A = f(xA)

1)Bài toán : Xác định hàm số y = ax + b biết :

a) Hệ số góc a và đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 )

b) Đồ thị của nó song song với đường thẳng y = a’x + b’ và đi qua A( x0 ;y0 )

c) Đồ thị của nó vuông góc với đường thẳng y = a’x + b’ và đi qua A( x0 ;y0 )

d) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) và B( x1;y1 )

e) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x1

f) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y1

Phương pháp giải :

a) Thay hệ số góc vào hàm số ,Vì đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) nên thay x = x0 ; y = y0

vào hàm số ta tìm được b

b) Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = ax + b nên a = a’ thay a =

a’ vào hàm số rồi làm tương tự phần b

c) Vì đồ thị hàm số y = ax + b vuông với đường thẳng y = ax + b nên ta ta có a.a’ = -1 ta

tìm được a = - ,thay a = - vào hàm số rồi làm tương tự phần b

'

1

1

a

d) Vì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B( x1;y1 ) nên ta có hệ phương trình : (1) ; Giải hệ phương trình (1) ta tìm được a và b















b ax y

b ax y

1 1

0 0

e) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

x1 tức là đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B ( x1;0 ).Sau đó làm tương tự phần d

f) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y1

tức là đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B ( 0; y1) sau đó làm tương tự phần d

2) Ví dụ :

Ví dụ 1: Xác định phương trình đường thẳng (d) biết:

a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)

b) Đường thẳng (d) đi qua M (-2; 5) và song song với đường thẳng:

(d’): y = - x + 3 1

2

c) Đường thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 7

Giải :

Gọi đường thẳng (d): y = ax + b ( a, b là các số )

a) Vì (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)

nên ta có:



















4 2

3

b a

b a



















 3 2 3 7

b a

Vậy phương trình đường thẳng (d): y = 7 2

3x 3

- +

b) Vì (d) song song với đường thẳng: (d’): y = - x + 3 1

3

a=

(d): y = mà (d) đi qua M (-2; 5) nên ta có: 5 = b =

3x b

3 +b  1

3

Vậy phương trình đường thẳng (d) : y = 7 1

3x 3

- +

c) Đường thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 7

nên ta có: a.2 = -1  a = 1 và 4 = b =

2

2 +b  5

2

Vậy phương trình đường thẳng (d) : y = 1 5

2x 2

- +

Ví dụ 2 : Cho hàm số y = (m2 – 2).x + 3m + 2 Tìm các giá trị của m biết:

a) Đồ thị (d) của hàm số song song với đường thẳng y = 3x + 2

b) Đồ thị (d) của hàm số vuông góc với đường thẳng y = -3x -2

c) Đồ thị (d) đi qua điểm A (2; 3)

Giải

a) Vì đồ thị (d) của hàm số song song với đường thẳng y = 3x + 2

Nên ta có:













 2 2 3

3 2

2

m

m













 0

5

m

m

 m= ± 5

Vậy m= ± 5

b) Vì đồ thị (d) của hàm số vuông góc với đường thẳng : y = -3x -2

Nên ta có: (m2 - 2 ).(- 3) = -1 3m2 -6 = 1m2 =

3

7  m= ± 5

Vậy m= ± 5

c) Vì đồ thị (d) đi qua điểm A( 2; 3) nên ta có :

3 = 2m2 - 4 + 3m + 2

 2m2 +3m -5 = 0

Ta có a + b + c = 0 theo hệ quả định lí Viet phương trình có hai nghiệm :

m1 = - 1; m2 = 5 Vậy m1 = - 1; m2 =

2

2

-Dang 4: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng, của đường thẳng và Parabol.

1) Bài toán 1 : Cho hai đường thẳng y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) (với a a’).

Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d’)

Phương pháp giải :

- Cách 1 : Vẽ đồ thị hai hàm số y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) trên cùng một hệ trục toạ

độ Oxy,sau đó tìm toạ độ giao điểm ( nếu có )

- Cách 2 : Hoành độ giao điểm của (d) và (d’) là nghiệm của phương trình :

ax + b = a’x + b’ (1) Giải phương trình (1) tìm x = x sau đó thay x = x tìm được vào (d) hoặc (d’) tìm y= y 0 0 0 Toạ độ giao điểm là A (x ; y )0 0

- Cách 3 : Toạ độ giao điểm của y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) là nghiệm của hệ

phương trình :

(2)















b'

x

a'

y

b

ax

y

Giải hệ phương trình (2) tìm đươc x = x ;y = y Toạ độ giao điểm là A (x ; y )0 0 0 0

2) Bài toán 2:

Cho hai đường thẳng y = ax + b (d) và parabol y = ax2 (P) Tìm toạ độ giao điểm của (d)

và (P)

Phương pháp giải :

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình :

ax + b = ax2 (1) Giải phương trình (1) tìm x sau đó thay x tìm được vào (d) hoặc (P) tìm y tương ứng, Toạ

độ giao điểm là A (x ; y)

3) Ví dụ :

Cho hai hàm số y= x+3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d’)

a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ

b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị

*Nhận xét : Gặp dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ

giao điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng

đồ thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x; y

Giải:

a) Vẽ đồ thị hai hàm số ( HS tự vẽ )

b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

x + 3 = 2x + 1

2x – x = 3 – 1

x = 2 Thay x = 2 vào y = x + 3 ta được y = 3 + 2 = 5

Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (d’) là A ( 2;5 )

Dang 5: Tìm điều kiện của tham số để 3 đường thẳng đồng quy :

1)Bài toán : Cho ba đường thẳng: y = ax+ b (d) ; y = a’x+ b’ (d’) và y = a’’x+ b’’ (d’’)

Trong đó y = a’’x + b’’ chứa tham số m

Phương pháp giải :