Nội dung ôn tập hè Toán 8 lên 941089

* Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song * Hình thang vuông là hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy Hình thang có một góc vuông * Hình thang cân là hình thang có

NỘI DUNG ÔN TẬP HÈ TOÁN 8 LÊN 9

A ĐẠI SỐ :CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

Phần 1 : PHÉP NHÂN VÀ CHIA CÁC ĐA THỨC

1) Nhân đơn thức với đa thức : ( áp dụng tính chất nhân một số với một tổng )

Quy tắc : Muôn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng

các tích với nhau

Bài tập :

1 Làm tính nhân :

a) 2x ( x2 – 7x – 3 ) b) 3 2 7 4 2 c) ( -5x3)(2x2 + 3x -5 ) d)

4

3









3 3

1









2 Rút gọn các biểu thức sau :

a) 3x2 – 2x ( 5 + 1,5x ) + 10 b) 7x( 4y –x ) + 4y ( y -7x ) – 2 ( 2y2 – 3,5x )

c) { 2x – 3 ( x – 1 ) – 5 [ x – 4 ( 3 – 2x) + 10 ]} ( -2x )

3 Tìm x biết :

a) 3 ( 2x – 1 ) – 5( x – 3 ) + 6 ( 3x – 4 ) = 24 b) 2x2 + 3( x2 -1 ) = 5x( x + 1)

c) 2x ( 5 – 3x) + 2x(3x – 5 ) – 3 ( x – 7 ) = 3 d) 3x ( x + 1 ) – 2x( x + 2 ) = -1 – x

4 Tính các gía trị biểu thức sau :

a) A = x2 ( x + y ) – y ( x2 – y ) + 2002 với x = 1 ; y = -1

b) B = 5x ( x – 4y ) – 4y ( y – 5x ) - Với x = - 0,6 ; y = - 0,75

20 11

c) C = x( x – y + 1) – y ( y +1 – x ) Với

3

1

; 3

2







x

2 )Nhân đa thức với đa thức ( Áp dụng tính chất nhân một tổng với một tổng )

Quy tắc : Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của

đa thức kia rồi cộng các tích với nhau

Bài tập :

1.Thực hiện phép tính :

a) ( x2 – 2x + 3 )( x – 4 ) b) (2x – 3x – 1)(5x +2 )

c) ( 25x2 +10y + 4y2)(5x – 2y) d) (5x3 – x2 + 2x – 3)(4x2 – x + 2)

2 Tìm x biết :

a) (3x – 1)(2x +7) – (x + 1)(6x -5 ) = 16 b) (10x + 9)x – (5x – 1 )(2x + 3) = 8

c) (3x – 5)(7 – 5x ) + (5x + 2)(3x – 2 ) – 2 = 0 d) x(x + 1)(x + 6 ) – x3 = 5x

3 Chứng minh các đẳng thức sau :

a) (x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4) = x5 + y5 b) (x – y)(x4 + x3y +x2y2 +xy3 + y4) = x5 – y5

4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

a) n(n + 5) – (n – 3)(n + 2) 6 b) (n1)(n1)(n7)(n5)12

Phần 2 : NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Bài tập :

1.Tính : a) (2x + 3y)2 b) ( 5x – y)2 c) (3x + 1)( 3x – 1)

d) e) d)

2

4

1 









 x

2

2

1 3

1





























y x y x

5

2 5

2

2.Rút gọn các biểu thức :

a) (x + 1)2 – (x – 1)2 – 3(x +1)(x -1 ) b) 5(x + 2)(x – 2) - (6 8 ) 17

2



 x

3 Tìm x biết :

a) 25x2 – 9 = 0 b) (x + 4)2 – (x + 1)(x – 1) = 16 c) (2x – 1)2 + (x + 3)2 – 5(x +7)(x – 7) = 0

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a) A = x2 + 5x + 7 b) x2 – x + 1 c) x ( x – 1) d) x( x -2 ) + 5

5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

a) A = 6x – x2 – 5 b) x – 1 – x2 c) - x ( x – 1 ) d) x( 2 – x ) +1

6 Rút gọn các biểu thức :

a) (a + b)3 + (a – b)3 – 6a2b b) (a + b)3 – (a –b)3 – 6a2b c) ( x2 – 1)3 – ( x4 +x2 +1)(x2 – 1) d) (x4 – 3x2 + 9 )(x2 + 3) – (3 + x2) e) (x – 3)2 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x + 1)2

7 Tìm x biết :

a) (x + 2)(x2 – 2x + 4) – x(x2 + 2) = 15 b) (x +3)3 – x(3x + 1)2 + ( 2x + 1)(4x2 – 2x + 1) = 28

8 Cho biểu thức A = (x2 + 2)2 – (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)

a) Rút gọn A ;

b) Tính giá trị của A khi x = -2 ; x = 0 ; x = 2

c) Chứng minh rằng A luôn luôn dương với mọi giá trị của x

Phần 3 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Bài tập :

1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x3y2 – 6x2y3 + 9x2y3 b) 5x2y3 – 25x3y4 + 10x3y3 c) 12x2y – 18xy2 - 30y2

d) 36 – 12x + x2 e) 4x2 + 12x + 9 f) – 25x6 – y8 + 10x3y4

g) 2 2 h) (x – 5)2 – 16 i) 25 – (3 – x)2 k) 125 – x6

25 5

4

1

y xy

l) (7x – 4)2 – (2x + 1)2 n) 49(y – 4)2 – 9(y + 2)2 m )

27

1

8x3 

2. Phân tích thành nhân tử :

a) xy + xz + 3x + 3y b) xy – xz + y – z c) 11x + 11y – x2 – xy d) x2 – xy – 8x + 8y e) x2 – 6x – y2 + 9 f) 25 – 4x2 – 4xy – y2 g) x2 + 2xy +y2 – xz – yz h) x2 – 4xy + 4y2 – z2 + 4xt – 4t2

3. Phân tích thành nhân tử :

a) x5 + x3 – x2 – 1 b) x4 – 3x3 – x + 3 c) x3 – x2y – xy2 + y3 d) 3x + 3y – x2 – 2xy – y2

e) x2 + 4x + 3 f) 4x2 + 4x – 3 g) x2 – x – 12 h) 4x4 + 4x2y2 – 8y4

4. Tìm x biết :

a) 5(x + 3) – 2x(3 + x ) = 0 b) 4x(x – 2012) – x + 2012 = 0 c) (x + 1)2 = x + 1 d) (x + 8)2 = 121 e) (x – 4)2 – 36 = 0 f) x(x – 5)2 – 4x + 20 = 0 g) x2 + 8x + 16 = 0 h)4x2 – 12x = 9 i) x(x + 6) – 7x – 42 = 0 k) x3 – 5x2 + x – 5 = 0 l) x4 – 2x3 + 10x2 – 20x = 0

5 Tìm x biết :

a) x2(x – 1) – 4x2 + 8x – 4 = 0 ; b) x4 – 2x3 + 10x2 – 20x = 0 ; c) (2x – 3)2 = (x + 5)2 d) x3 – 16x = 0

6.Chứng minh với mọi số nguyên n thì :

a) n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho 6 b) (2n – 1)3 – (2n – 1) chia hết cho 8

c) (n + 2)2 – (n – 2)2 chia hết cho 8 d) (n + 7)2 – (n – 5)2 chia hết cho 24 e) Hiệu các bình phương hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8

Phần 4 CHIA ĐƠN THỨC – CHIA ĐA THỨC

1. Làm tính chia :





















y x y

x y

x y

5

3 : 10

9 5

6

4













4

3

1 : 3

c) ( 8x4 – 4x3 + x2 ) : 2x2 d) [5(x – y)4 – 3(x – y)3 + 4(x – y)2] : (y – x)2 e) ( 8.57 – 55 + 56 ): 55

2 Tìm x biết :

a) ( 4x4 + 3x3 ) : ( - x3) + (15x2 + 6x) : 3x = 0 b) :2 3 1 : 3 1 0

2









x x

x x x

3 Làm phép chia :

a) ( -3x3 + 5x2 – 9x + 15): (-3x + 5) b) (x4 – 2x3 + 2x – 1 ) : (x2 – 1)

c) ( 5x4 + 9x3 – 2x2 – 4x – 8 ) : ( x – 1) d) ( 5x3 + 14x2 + 12x + 8 ) : ( x + 2)

4 Với giá trị nào của x thì đa thức dư trong mỗi phép chia sau có giá trị bằng 0 :

a) ( 2x4 – 3x3 + 4x2 + 1) : ( x2 – 1 ) b) ( x5 + 2x4 + 3x2 + x - 3 ) : ( x2 + 1)

5 Tìm giá trị nguyên của x để

a) Giá trị của đa thức 4x3 + 11x2 + 5x + 5 chia hết cho giá trị của đa thức x + 2

b) Giá trị của đa thức x3 – 4x2 + 5x – 1 chia hết cho giá trị của đa thức x – 3

c) Giá trị của đa thức n3 – 2n2 + 3n + 3 chia hết cho đa thức n – 1

PHẦN BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I

1 Rút gọn các biểu thức :

a) (x – 3)(x + 7 ) – (x + 5)(x – 1) b) (x + 8)2 – 2(x + 8)(x – 2) + (x – 2)2

c) x(x – 4)(x + 4) – (x2 + 1)(x2 – 1) d) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)

e) (a + b + c )2 + (a + b – c)2 – 2(a + b) f) (a + b + c)2 + (a – b + c)2 + (a + b - c)2 + (b + c - a)2

2 Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) A = (2x2 + 5x + 3) : (x + 1) - (4x – 5 ) với x = -2

b) B = [ (3x – 2)(x + 1) – (2x + 5)(x2 – 1)] : ( x + 1) Với x = 2,5

c) C = (2x + 3y)(2x – 3y) – (2x – 1)2 + (3y – 1)2với x = 1 và y = - 1

3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x3 – x2 – 4x2 + 8x – 4 b) 4x2 – 25 – (2x – 5)(2x + 7 ) c) 4x2y2 – (x2 +y2 – z2)

d) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 e) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 f) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1

4 Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần rồi làm phép chia :

a) (5x4 – 3x5 + 3x – 1): (x + 1 – x2) b) (2 – 4x + 3x4 + 7x2 – 5x3) : ( 1 + x2 – x )

5 Tìm x biết

a) x2 – 25 – (x +5) = 0 b) (2x – 1)2 – (4x2 – 1) = 0 c) x2(x2 + 4) – x2 – 4 = 0

6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = (x – 1)(x – 3) + 11 ; b) B = (x2 – 3x + 1)(x2 – 3x – 1) ; c) C = (x – 1)(x + 5)(x2 + 4x + 5)

7 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

a) D = 5 – 4x2 + 4x ; b) E = - 4 – x2 + 6x ; c) F = |x – 3|(2 - |x – 3|) ; d) G = - x2 – 4x – y2 + 2y

8 a) Chứng minh đẳng thức : (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

b) Nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thì a = b = c

c) Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

9 Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp , biết rằng tích của chúng bằng 24

10. Xác định các số nguyên n để :

a) Giá trị của biểu thức 10n2 + n – 10 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 1

b) Giá trị của biểu thức 25n2 – 97n + 11 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 4

CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Phần 1 TÍNH CHẤT CƠ BẢN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Kiến thức :

1.* Một phân thức đại số ( hay nói gọn là phân thức ) là một biểu thức có dạng , trong đó A , B là những đa

B A

thức và B khác 0

A được gọi là tử thức ( hay tử ) ; B được gọi là mẫu thức ( hay mẫu )

Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức có mẫu thức bằng 1

2.* Với hai phân thức và Ta nói nếu A.D = B.C

B

A D

C

D

C

B A 

3 * Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng

phân thức đã cho ( M là một đa thức khác 0)

M B

M A B

A



4 * Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng

phân thức đã cho ( N là một nhân tử chung)

N B

N A B

A

:

:



5 * Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho

B

A B

A







6 * Muốn rút gọn một phân thức ta có thể :

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần ) để tìm nhân tử chung ;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Bài tập :

1. Rút gọn các phân thức sau :

yz xy y

x

y x









2

2

2 2

xz y

z x

xy z

y x

2

2

2 2 2

2 2 2













3 2

3

2 2

) 2 ( 35

) 2 ( 15

y x y x

y x y x





) 2 1 ( 12

) 1 2 ( 10

3

3 2

x y x

x xy





e) ; f) ; g) h)

3 9 4

12

6 3 8

4

2

3

2

3













x x

x

x x

x

2 3

2

2 ( 2) )

2 3 (

x x

x x









1

1

2 3

2 3 5













x x x

x x x

6 5

12 7

2

2









x x

x x

1

1

4

2 4 6 8 10















x

x x x x x P

1

1

5 10 35

40 45

10 20 30 40























x x x

x x

x x x x Q

2.Chứng minh các đẳng thức :

2 4

1

2 2

2

3

2















x x

x x

x x

x

y x

y x x y

x

xy y

x























1

1 2

1

1 2

2 2

2 2

 2 2

3

1

2 3 3

3 1

2 3 2 3

x

y x

x x

x xy y



















3 Tìm x biết : a) a2x + 4x = 3a2 – 48 b) a2x + 5ax + 25 = a2

Phần II QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỀU PHÂN THỨC

Kiến thức cần nhớ :

1.Muốn tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức ta làm như sau :

- Phân tích các mẫu thành nhân tử ( nếu cần )

- Chọn một tích gồm một số chia hết cho các nhân tử bằng số ở các mẫu thức ( nếu các nhân tử này là những

số nguyên thì số đó là BCNN của chúng ) , với mỗi cơ số của lũy thừa có mặt trong các mẫu số ta lấy lũy thừa với số mũ cao nhất

2 Muốn quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức ta làm như sau :

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức ;

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

Bài tập

1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau :

y z

x y x

z xz

y

2 2 2

6

5

; 18

11

;

12

7



z y

x z x

x y

x

x

3 3 4 2 3

20

1

; 10

6

; 15

) 3 (

2

; ) 2 (

1

;







x x

x

x x

x









x x x

x

x

x

  2 2 2

3

1

;

1

;

y x y x xy x

x





3 2

; 6 5

5

2 2

2











x x

x x

Phần III CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ NHÂN CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Kiến thức cần nhớ :

1 * Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau , giữ nguyên mẫu thức rồi rút gọn phân thức vừa tìm được

* Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu vừa tìm được

2 * là phân thức đối của ; ngược lại là phân thức đối của ;

B

A



B

A

B

A

B

A



Phân thức đối của phân thức được kí hiệu là ; Ta có : và

B

A

B

A



B

A B





B

A

B A 





* Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thức đối của :

B

A

D

C

B

A

D

C

) (

D

C B

A D

C B

A









3. * Muốn nhân hai phân thức đại số ta nhân các tử số với nhau , các mẫu số với nhau , rồi rút gọn phân thức vừa tìm được :

D B

C A D

C B

A

* Phép nhân các phân thức đại số có các tính chất :

a) Giao hoán :

B

A D

C D

C B

A

























F

E D

C B

A F

E D

C B

A

c) Phân phối đối với phép cộng :

F

E B

A D

C B

A F

E D

C B

A









4 * Nếu là một phân thức khác 0 thì Do đó là phân thức nghịch đảo của và ngược lại ;

B

A

1 

A

B B

A

A

B

B A

* Muốn chia phân thức cho phân thức khác 0 ta nhân với phân thức nghịch đảo của

B

A

D

C

B

A

D C

với

C

D B

A D

C B

A

D C

Bài tập :

1 Cộng các phân thức :

2 2

2

2

4 3

2 5

yz z y yz

x





3 3

5 9

6

2     x

x x

x x

x

2 2 2 2

4

4 2

2

2

y x y xy

y xy

x

x











) )(

( ) )(

( ) )(

z z

y x y

y z

x y

x

x















2 2

2

y z x z

z z

y x y

y z

x y x

x

















2 Thực hiện các phép tính sau :

1

2 1

2

1   2 

x

x

1

6 1

2 1 1

5 3 4

2 3

2



















x x

x

x x

x x

1

15 1

10 1

5

3

2   





x

1

3 1

2 1

1

2 









x x

x

2 1 2

1 1 2

2

2 







1 3

2

1 18

8

7

2

2   x  x  x

x

3 a) Chứng minh rằng :

) 1 (

1 1

1 1









x x x

x

b) Áp dụng tính :

) 4 )(

3 (

1 )

3 )(

2 (

1 )

2 )(

1 (

1 )

1 (

1



















x x

c) Tính :

5

1 20 9

1 12

7

1 6

5

1 2

3

1 1

2 2

2 2

2 x x  x  x  x  x  x  x  x  x

x

4.Rút gọn biểu thức :

) 1 )(

3 (

1

5

3





x x

x x

x

x

5 2

1

1

2 1

5 2

3 4 2 3

3 4



















x x

x x x

x x

x x

4 3

3 3 2

2 2

4 3

2 5 3 3

5















x x

x x

x x

x x

4 4

2 2

2

2

2

2

2 :

y x

y xy x

y

x

y

x











y x

x xy x







: y) -y (xy

2

1 : :

2

2 2

2











x

x y xy

xy x y

xy x















y x

xy x

z

y

y

x

2 2

2

: :

y

y x y x

xy x















2 2

1

1 2 :

1 : 1

1 : 3

1

2 2 2

3 2

2



















x x

x x x x

x x

x x x

5 Cho biểu thức

2

1 3

6

6 4

3

2













x x x

x

x A

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định ;

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3

d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A bằng 2 ? bằng 1

e ) Tìm các giá trị của x để A > 0

6 Cho biểu thức

32

16 8 4

4 4



















x x

M

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức M được xác định ;

b) Tìm giá trị của x để giá trị của M bằng

3 1

c) Tìm giá trị của x để giá trị của M bằng 1

d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên

7 Tìm giá trị nguyên của x để giá trị củamỗi biểu thức sau là một số nguyên :

a) b) c)

3

1







x

x

N

1 2

8 2











x

x x x Q

3

5 3

4









x

x x P

8 Chứng minh các đẳng thức :

a) ; b)

 2 2

1

4 1

2 1

1

1 : 1

1 1

1

















































x

x x

x

x x

x

x

x

x

x x

x x x

x x

x

x x

x

2

1 2

2 4 8

4 2

2 4

4

4 : 2

3 2

2



































CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Kiến thức cần nhớ

1 * Một phương trình ẩn x luôn có dạng A(x) = B(x) , trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x

* Giá trị của biến nghiệm đúng phương trình đã cho gọi là nghiệm của phương trình đó

* Một phương trình có thể có một , hai , ba … nghiệm , nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc vô

số nghiệm Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm

* Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm ( hay tập nghiệm ) của phương trình

* Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm

2 * Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó

* Trong một phương trình ta có thể nhân ( hay chia ) cả hai vế với cùng một số khác 0

* Từ một phương trình , dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đó

* Phương trình dạng ax + b = 0 , với a,b là hai số tùy ý và a0được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

* Phương trình axb0(a0) được giải như sau :

a

b x b ax b













* Phương trình bậc nhất ax + b = 0 có một nghiệm day nhất

a

b

x 

2.* Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0 , trong đó A(x) , B(x) là các đa thức biến x

* Muốn giải phương trình A(x).B(x) = 0 , ta giải hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 , rồi lấy tất cả các nghiệm thu được

3 * Muốn giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2 : Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phương trình rồi khử mẫu

Bước 3 : Giải phương trình vừa nhận được

Bước 5 : ( Kết luận ) Trong các giá trị tìm được của ẩn ở bước 3 , loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định , còn các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho

4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm ba bước sau :

Bước 1 : ( Lập phương trình ): Bao gồm :

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Từ đó lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng

Bước 2 : ( Giải phương trình ) Giải phương trình vừa thu được

Bước 3 : ( Trả lời ) Kiểm tra xem các nghiệm của phương trình , nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn , nghiệm nào không , rồi trả lời

Bài tập :

1.Giải phương trình :

5

) 3 2 ( 3 8

1 )

3 ( 4 3

) 4

(

2















x

9

2 ) 1 ( 3 2

1 6

7











4

7 , 0 9 7

5 5 , 1 3

1 , 1 7 3

1

5x  x   x  x

6

2 3

5 2 10

2 3 5

x

2 Giải các phương trình :

a) 3(x – 1)(2x – 1) = 5(x + 8)(x – 1) b) 9x2 -1 = (3x + 1)(4x + 1) c) x3 – 5x2 + 6x = 0

d) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 e) (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72 f) x(x -1)(x + 1)(x + 2) = 24

3 Giải phương trình :

24 3

102 13

8

1 8

20 3

16

2

3















x x

x

x x

x

1 12 4 4

1 8 5 1

6













7 10 4

12 9

7 3 9 12

5 6

2

2



















x

x x

x

x x

x

e)

3

2 6 5

6 3 9 8

6 6

3

13

2 4

2



























x x

x

x x

x

x x

x

3 2

3 )

3 )(

1 (

8 3

1

2  











x x

x x

1 4

8 1 2

1 2

1

2

1

2

2 













x x

x

x

x

1 ) 1 )(

2 (

1 )

2 )(

3 (

1 )

3 )(

4 (

1 )

4 )(

5 (

1

2 2

2 2

2 2

2





















x

4 Cho phương trình ẩn x : 9x2 – 25 –k2 – 2kx = 0

a) Giải phương trình với k = 0

b) Tìm các giá trị của k sao cho phương trình nhận x = - 1 làm nghiệm

5 Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60km nữa thì được một nửa quãng đường AB , ô tô tăng thêm vận tốc 10 km/h trên quãng đường còn lại , do

đó đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính quãng đường AB

6 Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axít , loại I chứa 30% axít , loại II chứa 5% axít Muốn có 50 lít dung dịch chứa 10% axít thì cần phải trộn bao nhiêu lít dung dịch mỗi loại

7.Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km , cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng , biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h

CHƯƠNG IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Kiến thức cần nhớ :

1 Với ba số thực a, b, c ta có :

Nếu a < b thì a + c < b + c ; Nếu ab thì acbc

Nếu a > b thì a + c > b + c ; Nếu ab thì acbc

2 * Với ba số a , b, c mà c > 0 ta có :

Nếu a < b thì a.c < b.c ; Nếu ab thì a.cb.c

Nếu a > b thì a.c > b.c ; Nếu ab thì a.cb.c

* * Với ba số a , b, c mà c < 0 ta có :

Nếu a < b thì a.c > b.c ; Nếu ab thì a.cb.c

Nếu a > b thì a.c < b.c ; Nếu ab thì a.cb.c

* Với ba số a , b và c nếu có :

a < b và b < c thì a < c ; ab và bc thì ac

a > b và b > c thì a > c ; ab và bc thì ac

3. Trong một bất phương trình dạng A(x) < B(x) , người ta gọi A(x) là vế trái và B(x) là vế phải của bất

phương trình Có thể dùng kí hiệu tập hợp hoặc dùng trục số để biểu diển các nghiệm của bất phương trình

4 Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương kí hiệu “  “

5 Khi nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số khác 0 , ta phải :

+ Giữ nguyên chiều của bất phương trình nếu số đó dương

+ Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm

6 Ta gọi bất phương trình dạng ax + b > 0 ( hoặc ax + b < 0 ; ax + b 0;axb0) trong đó x là ẩn , a và b

là các số đã cho a0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn

7 * Giá trị tuyệt đối của một số thực a được xác định















) 0 (

) 0 (

a a

a a a

* Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có thể sử dụng các tính chất của giá trị tuyệt đối , hoặc tìm điều kiện của ẩn để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi giải phương trình tìm được Kiểm tra nghiệm theo điều kiện của ẩn rồi rút ra kết luận về nghiệm của phương trình đã cho

Bài Tập :

1 Cho m < n chứng minh :

a) m + 3 < n + 3 ; b ) – 3m > - 3n ; c ) 4m – 7 < 4n – 7 ; d ) 10 – 5m > 10 -5n

2 Giải các bất phương trình và biểu diển nghiệm trên trục số :

a) x + 3 > 5 ; b) 3x – 2 < 7 ; c) – 5 + 3x > 10 – 2x ; d) 2,4x – 17,2 > 14,8 – 5,6x

3 Giải các bất phương trình :

a) ; b) ; c)

3

3 5

4







10

4 4

3 9 ,







3 2

3 2 3

1

4 a) x(2x – 1) – 8 < 5 – 2x(1 – x) ; b) (2x + 1)2 + (1 – x)3x (x + 2) 2 ; c) (x – 4)(x + 4) (x + 3) 2 + 5

5 Giải phương trình :

a) | 3,5x | = 1,5x + 10 ; b) | -5,5x | = 4,5x – 10 ; c) | 5 – x | = 4x ; d) | x + 3 | = 3x + 6

6 a) Tìm x sao cho giá trị của không nhỏ hơn giá trị của biểu thức

4

2

3x

6 3

3x

b) Tìm x để giá trị của biểu thức không lớn hơn giá trị của biểu thức

2

4

3x

3

3

2x

7.Chứng minh rằng với ba số a , b ,c tùy ý ta có :

a) a2 + b2 + 1 a.b + a + b ; b )  a2 b2 c2 32(abc); c) (a – 1)(a – 3)(a – 4)(a – 6) + 9 0

8 Cho a , b ,c là các số dương , chứng minh :

a)  2 ; b) ; c)

a

b

b

a

4 1 1 )









 



b a b













c b a c b a

9 Giải các bất phương trình :

a) (x – 3)(1 – x) > 0 ; b) (x + 2)(x – 3)(x2 + x + 1) > 0 ; c) x2 – 5x + 6 < 0 ;

d) x3 – 2x2 – x – 2 > 0 ; e) 0 ; f )

1

) 5 3 ( 2





x

x x

2 2

x x

x

10 Giải phương trình :

a) 2| x | - | x + 1 | = 2 ; b ) | x – 1 | + | x – 2 | = 1 ; c) | x2 – x + 2 | - 3x – 7 = 0

CHƯƠNG I – TỨ GIÁC Phần I - HÌNH THANG VÀ CÁC TÍNH CHẤT

Kiến thức cần nhớ :

1 * Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

* Hình thang vuông là hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy ( Hình thang có một góc vuông )

* Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

- Trong hình thang cân : + Hai cạnh bên bằng nhau

+ Hai đường chéo bằng nhau

-Dấu hiệu nhận biết + Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân

+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

2 * Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

* Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy

Hình thang ABCD (AB//CD) có AE = ED ; BF = FC => EF // AB , EF // CD và

2

CD AB

Bài tập :

1 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , phân giác BD , CE

a) Tứ giác BEDC là hình gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh BE = ED = DC

c) Biết Â=500 Tính các góc của tứ giác BEDC

2.Cho hình thang vuông ABCD , 0 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD

90 ˆ

ˆ  D

A

Chứng minh :

a) Tam giác MAD là tam giác cân

b ) MAˆBMDˆC

3 Cho tam giác vuông cân ABC , Â = 900 Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao cho

Từ C kẻ đường vuông góc với BE cắt BA ở I

AE

AD

a) Chứng minh BE = BI

b) Qua D và A kẻ đường vuông góc với BE cắt BC lần lượt ở M và N Chứng minh rằng MN = NC

4 Cho hình thang ABCD ( AB // CD) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD và BC Phân giác của góc A và góc B cắt EF theo thứ tự ở I và K

a) Chứng minh tam giác AIE và tam giác BKF là các tam giác cân

b) Chứng minh tam giác AID và tam giác BKC là các tam giác vuông

c) Chứng minh IE AD và

2

1

2

1

 d) Cho AB = 5cm , CD = 18cm , AD = 6cm , BC = 7cm Tính độ dài đoạn thẳng IK

Phần II HÌNH BÌNH HÀNH

Kiến thức cần nhớ :

1 * Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

2 * Trong hình bình hành :

* Các cạnh đối bằng nhau

* Các góc đối bằng nhau

* Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

3 Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành ta có thể chứng minh rằng tứ giác đó thỏa mãn một trong các

tính chất sau :

* Các cạnh đối song song

* Các cạnh đối bằng nhau

* Các góc đối bằng nhau

* Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

* Hai cạnh đối song song và bằng nhau

Bài tập :

1 Cho hình bình hành ABCD Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC và AD , O là giao điểm của AC và BD Chứng minh :

a) Tứ giác AMCN là hình bình hành

b) Ba điểm M , O , N thẳng hàng

2 Cho hình bình hành ABCD Kẻ AE BD,CF BD

a) Tứ giác AECF là hình gì ? Vì sao ?

b) AE cắt CD ở I , CF cắt AB ở K Chứng minh AI = CK

c) Chứng minh BE = DF

Phần III HÌNH CHỮ NHẬT

Kiến thức cần nhớ :

1 Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành , một hình thang cân

2 Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành , của hình thang cân

3 Dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình chữ nhật :

* Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

* Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật

* Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

* Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

4 Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền Ngược lại nếu một tam giác

có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông

Bài tập :

1 Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ), đường cao AH Gọi M , P , Q lần lượt là trung điểm của BC , CA ,

AB Chứng minh :

a) PQ là đường trung trực của AH

b) Tứ giác MPQH là hình thang cân

2 Cho tam giác ABC vuông ở A đường cao AH Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến

AB , AC

a) Tứ giác EAFH là hình gì ?

b) Qua A kẻ đường vuông góc với EF cắt BC ở I Chứng minh I là trung điểm của BC

3.Cho tam giác ABC , các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G Gọi P là điểm đối xứng của M qua G , gọi Q

là điểm đối xứng của N qua G

a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?

b) Nếu tam giác ABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?

Phần IV HÌNH THOI

Kiến thức cần nhớ :

1 Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau Hình thoi cũng là một hình bình hành

2 Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

* Trong hình thoi : + Hai đường chéo vuông góc với nhau

+ Hai đường chéo là đường phân giác các góc của hình thoi

3 Dấu hiệu nhận biết :

* Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi

* Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

* Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

* Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi

Bài tâp :

1.Cho hình thoi ABCD , góc B = 600 Kẻ AE BC,AF CD Chứng minh:

a) AE = AF

b) Tam giác AEF là tam giác đều

c) Biết BD = 16cm Tính chu vi của tam giác AEF

2.Cho hình thang ABCD Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CD , DA

a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh nếu ABCD là hình thang cân thì MP là tia phân giác của góc QMN

3 Cho hình thoi ABCD Trên các cạnh AB , BC , CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M , N , P ,Q sao cho

Chứng minh

QA CP

CN

a) Ba điểm M , O , P thẳng hàng và ba điểm N , O , Q thẳng hàng

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Phần V HÌNH VUÔNG

Kiến thức cần nhớ :

1 Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi

2 Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi

3 Dấu hiệu nhận biết :

* Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

* Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông

* Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của góc là hình vuông

* Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

* Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

Bài tập :

1.Cho hình vuông ABCD Trên tia đối của các tia AB , BC , CD, DA lấy theo thứ tự các điểm A’ , B’ , C’ , D’ sao cho AA'BB'CC'DD' Chứng minh :

a) A'BB'B'CC'

b) Tứ giác A’B’C’D’ là hình vuông

2.Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở E qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F

a) Tứ giác AEMF là hình gì ? Vì sao

b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEMF là hình chữ nhật

c) Nếu tam giác ABC vuông cân ở A thì tứ giác AEMF là hình gì ? Vì sao ?

3 Cho tam giác nhọn ABC , vẽ ra phía ngoài của tam giác hai hình vuông ABDE và ACFH Gọi U và K lần lượt là tâm của hai hình vuông nói trên M là trung điểm cạnh BC

a) Chứng minh EC = BH và ECBH

b) Gọi N là trung điểm của EH , Tứ giác MINK là hình gì ? Vì sao ?

4 Cho tam giác ABC , các trung tuyến BE và CF cắt nhau ở G Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của BG

và CG

a) Tứ giác MNEF là hình gì ? Vì sao ?

b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNEF là hình chữ nhật ? Hình thoi ?

5 Cho hình bình hành ABCD có Â = 600 , AD = 2AB Gọi M là trung điểm của AD , N là trung điểm của BC Từ C kẻ đường vuông góc với MN ở E cắt AB ở F Chứng minh :

a) Tứ giác MNCD là hình thoi

b) E là trung điểm của CF

c) Tam giác MCF là tam giác đều

d) Ba điểm F , N , D thẳng hàng

CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG