Chứng minh rằng tồn tại một phần tử thuộc tất cả 2016 tập hợp trên.. Gọi N là giao điểm của đường thẳng ME với AK.. 4 điểm Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O.. Gọi I, J, M lần lượt l
Trang 1Tên : Trương Quang An
Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng
Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
Điện thoại : 01208127776
Câu 1 ( 4,0 điểm ):
1.Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh:
2 3
8 2 (1 2 )
2 1
4 2015
3
y
2.Cho a;b;c0 thỏa mãn a b c abc 2015 Chứng minh rằng
b a
c c
a
b c
b
a
2
3.Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho tích của hai số bất kỳ cộng
2015 chia hết cho số còn lại
4.Cho 2016 tập hợp, mỗi tập hợp có 45 phần tử và hai tập bất kì có đúng một phần tử chung Chứng minh rằng tồn tại một phần tử thuộc tất cả 2016 tập hợp trên
Câu 1(4 điểm) Giải hệ phương trình
2
Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AK Trong tam giác
ACK, kẻ đường phân giác AE Gọi M là trung điểm AC Gọi N là giao điểm của đường thẳng ME với AK Chứng minh rằng BN và AE song song với nhau.
Câu 3 (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng
Câu 4 (4 điểm) Trong một đội thanh niên tình nguyện gồm 2015 người, cứ bốn người bất kì có thể chọn ra được ít nhất một người quen với ba người còn lại Hỏi
có thể có bao nhiêu người trong đội quen với tất cả?
Trang 2Câu 5 (4 điểm) Cho đa thức 2 2 2 Chứng minh rằng với
( ) ( 2)( 3)( 2015).
P x x x x
mọi số nguyên tố p đều tìm được số tự nhiên n để P(n) chia hết cho p.
Câu 1 (4 điểm)
Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD,
BE, CF cắt nhau tại H Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC; P, Q lần lượt là các giao điểm của EF với các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O); MF cắt AD tại L; ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K
a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE
b) Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động trên
cung BC
c) Tính góc giữa hai đường thẳng IK và EL?
Câu 3 (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn:
với 2015
( ) (2016 ) ( 2017 ) (3 ) (3 )
P x P x y P y x P yx P yx x y,
Câu 4 (4 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố
thỏa mãn phương trình:
2 (x1)(x 2015x21) 11( p n 6)
Câu 5 (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3; ;2015}
a) Tìm k nhỏ nhất với k là số phần tử của một tập con bất kì của S để tập đó chứa
ít nhất 3 số nguyên liên tiếp
b) Tính số tập con gồm 15 phần tử của S thỏa mãn điều kiện có ít nhất 3 số nguyên liên tiếp trong tập đó
- H ết -Bài 1. (4 điểm)
Giải phương trình sau trên : 3 2 2 2
Bài 2. (4 điểm)
Trên mặt phẳng cho trước hai điểm cố định M, N và tam giác ABC có
Cho tam giác ABC chuyển động trượt trên mặt
Trang 3phẳng sao cho độ dài ba cạnh AB, BC, CA không đổi Đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Bài 3. (4 điểm)
Cho số nguyên n 2 Chứng minh rằng với số n a a1 2, , ,a n tùy ý thuộc 0;1 thì
ta luôn có
.
1
n
k i j
k i j n
Bài 4. (4 điểm)
Cho các số nguyên dương m n k, , với n m Chứng minh rằng số các nghiệm nguyên dương của hệ 1 2 1 2
1 2
n
1
1 1
1 2 0
.
n k
n m
n i n i i
Bài 5. (4 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu 2m và 2 1 n đều chia hết cho số nguyên tố p , mà n là 1
số nguyên dương nhỏ nhất thì m chia hết cho n
b) Tìm ước số nguyên tố p của số 237 1 137438953471 , biết rằng p 300.
Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 .
Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O; các đường cao
AD, BE, CF; trực tâm H Gọi K là trung điểm OH, L là giao điểm của EF với BC Chứng minh rằng LB LC KL2KD2.
Câu 3 (4 điểm) Cho ba số thực a,b,c không âm và a b c 1 Tìm giá trị lớn
.
3 2 ( 2014) 3 2 ( 2015) 3 2 ( 2016)
P a a b c b b c a c c a b
Câu 4 (4 điểm) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn
.
a b c d ad bc d a Chứng minh rằng a+2015 là một số chính phương.
Câu 5 (4 điểm) Có 101 thành phố Giữa hai thành phố bất kỳ thì có một đường
bay một chiều, hoặc không có đường bay nào Biết rằng mỗi thành phố có 50 đường bay đến và 50 đường bay đi Chứng minh rằng với hai thành phố bất kỳ A và B, ta có thể tới
B từ A mà chỉ phải qua nhiều nhất một thành phố C.
Câu 1 (4 điểm)
Trang 4Giải hệ phương trình:
2012
Câu 2 (4 điểm)
Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng :
2 2 2 2 2 2
24
Câu 3 (4 điểm)
Cho n số nguyên dương lớn hơn 1, chứng minh rằng số n5 n 2015 có ít nhất hai ước số nguyên tố phân biệt
Câu 4 (4 điểm)
Cho ABC là tam giác nhọn không cân, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Đường thẳng PO, NO cắt đường thẳng AM lần lượt tại D,E; đường thẳng BD và CE cắt nhau tại F Chứng minh rằng:
a Hai tam giác FEO và NEM đồng dạng với nhau
b Các điểm N, O, F, P thuộc một đường tròn.
Câu 5 (4 điểm)
Cho tập S là tập hợp tất cả các bộ số, mỗi bộ gồm 2016 × 2016 số thực bất kỳ
thuộc đoạn 1 ; 1 và có tổng bằng 2015 Xét một bảng ô vuông kích thước 2016 ×
2016 Tìm số dương k nhỏ nhất sao cho nếu điền bất kỳ một bộ số thuộc tập S vào bảng, mỗi ô một số thì tồn tại ít nhất một hàng hoặc một cột có giá trị tuyệt đối của
tổng các số trên hàng đó hoặc trên cột đó không vượt quá k.