CHUYểN 1 - PH N TệCH A TH C THÀNH NHỂN T
A M C TIểU:
* H th ng l i các d ng toán vƠ các ph ng pháp phơn tích đa th c thƠnh nhơn t
* Gi i m t s bƠi t p v phơn tích đa th c thƠnh nhơn t
* Nơng cao trình đ vƠ k n ng v phơn tích đa th c thƠnh nhơn t
I TÁCH M T H NG T THÀNH NHI U H NG T :
nh lí b sung:
+ a th c f(x) có nghi m h u t thì có d ng p/q trong đó p lƠ c c a h s t do, q lƠ c
d ng c a h s cao nh t
+ N u f(x) có t ng các h s b ng 0 thì f(x) có m t nhơn t lƠ x ậ 1
+ N u f(x) có t ng các h s c a các h ng t b c ch n b ng t ng các h s c a các h ng t
b c l thì f(x) có m t nhơn t lƠ x + 1
+ N u a lƠ nghi m nguyên c a f(x) vƠ f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1)
a - 1 và f(-1)
a + 1 đ u lƠ s nguyên nhanh chóng lo i tr nghi m lƠ c c a h s t do
1 Ví d 1: 3x2ậ 8x + 4
Cách 1: Tách h ng t th 2
3x2ậ 8x + 4 = 3x2ậ 6x ậ 2x + 4 = 3x(x ậ 2) ậ 2(x ậ 2) = (x ậ 2)(3x ậ 2)
Cách 2: Tách h ng t th nh t:
3x2ậ 8x + 4 = (4x2ậ 8x + 4) - x2
= (2x ậ 2)2ậ x2
= (2x ậ 2 + x)(2x ậ 2 ậ x)
= (x ậ 2)(3x ậ 2)
Ví d 2: x3ậ x2
- 4
Ta nhơn th y nghi m c a f(x) n u có thì x = 1; 2; 4, ch có f(2) = 0 nên x = 2 lƠ nghi m
c a f(x) nên f(x) có m t nhơn t lƠ x ậ 2 Do đó ta tách f(x) thƠnh các nhóm có xu t hi n
m t nhơn t lƠ x ậ 2
Cách 1:
x3ậ x2ậ 4 = 3 2 2 2
x x x x x x x x x x = 2
x x x
Trang 2Cách 2: x x 4 x 8 x 4 x 8 x 4 ( x 2)( x 2 x 4) ( x 2)( x 2)
= 2 2
x x x x x x x
Ví d 3: f(x) = 3x3ậ 7x2
+ 17x ậ 5
Nh n xét: 1, 5 không lƠ nghi m c a f(x), nh v y f(x) không có nghi m nguyên Nên f(x) n u có nghi m thì lƠ nghi m h u t
Ta nh n th y x = 1
3 lƠ nghi m c a f(x) do đó f(x) có m t nhơn t lƠ 3x ậ 1 Nên f(x) = 3x3ậ 7x2
+ 17x ậ 5 = 3 2 2 3 2 2
3 x x 6 x 2 x 15 x 5 3 x x 6 x 2 x 15 x 5
(3 1) 2 (3 1) 5(3 1) (3 1)( 2 5)
x x x x x x x x
2 5 ( 2 1) 4 ( 1) 4 0
x x x x x v i m i x nên không phơn tích đ c thƠnh nhơn t n a
Ví d 4: x3
+ 5x2 + 8x + 4
Nh n xét: T ng các h s c a các h ng t b c ch n b ng t ng các h s c a các h ng t
b c l nên đa th c có m t nhơn t lƠ x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví d 5: f(x) = x5ậ 2x4
+ 3x3ậ 4x2
+ 2
T ng các h s b ng 0 thì nên đa th c có m t nhơn t lƠ x ậ 1, chia f(x) cho (x ậ 1) ta có:
x5ậ 2x4
+ 3x3ậ 4x2
+ 2 = (x ậ 1)(x4
- x3 + 2x2 - 2x - 2)
Vì x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2 không có nghi m nguyên c ng không có nghi m h u t nên không phơn tích đ c n a
Ví d 6: x4
+ 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
V í d 7: x2
- x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x ậ 20012
- 2001 = (x2ậ 20012
) ậ (x + 2001) = (x + 2001)(x ậ 2002)
II THểM , B T CỐNG M T H NG T :
Trang 31 Thêm, b t cùng m t s h ng t đ xu t hi n hi u hai bình ph ng:
Ví d 1: 4x4
+ 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2ậ 36x2
= (2x2 + 9)2ậ (6x)2
= (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 ậ 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2ậ 6x + 9)
Ví d 2: x8
+ 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 ậ 16x2
(x4 + 1 ậ 2x2
) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2ậ 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3ậ 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 ậ 4x + 1)(x4
- 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2 Thêm, b t cùng m t s h ng t đ xu t hi n nhơn t chung
Ví d 1: x7
+ x2 + 1 = (x7ậ x) + (x2
+ x + 1 ) = x(x6ậ 1) + (x2
+ x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x ậ 1)(x2
+ x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x ậ 1)(x3
+ 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5ậ x4
+ x2 - x + 1)
Ví d 2: x7
+ x5 + 1 = (x7ậ x ) + (x5ậ x2
) + (x2 + x + 1)
= x(x3ậ 1)(x3
+ 1) + x2(x3ậ 1) + (x2
+ x + 1)
= (x2 + x + 1)(x ậ 1)(x4
+ x) + x2 (x ậ 1)(x2
+ x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5ậ x4
+ x2ậ x) + (x3 ậ x2
) + 1] = (x2 + x + 1)(x5ậ x4
+ x3ậ x + 1)
Ghi nh :
Các đa th c có d ng x3m + 1
+ x3n + 2+ 1 nh : x7
+ x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8+ x + 1 ; … đ u có nhơn t chung lƠ x2
+ x + 1
Ví d 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
t x2+ 10x + 12 = y, đa th c có d ng
(y ậ 12)(y + 12) + 128 = y2ậ 144 + 128 = y2ậ 16 = (y + 4)(y ậ 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví d 2: A = x4
+ 6x3 + 7x2ậ 6x + 1
Gi s x 0 ta vi t
Trang 4x4 + 6x3 + 7x2ậ 6x + 1 = x2
( x2 + 6x + 7 ậ 2
6 1 +
x x ) = x2 [(x2 + 1 2
x ) + 6(x - 1
x ) + 7 ]
t x - 1
x = y thì x2 + 1 2
x = y2 + 2, do đó
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - 1
x )2 + 3x]2 = (x2 + 3x ậ 1)2
Chú ý: Ví d trên có th gi i b ng cách áp d ng h ng đ ng th c nh sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2ậ 6x + 1 = x4
+ (6x3ậ 2x2
) + (9x2ậ 6x + 1 ) = x4 + 2x2(3x ậ 1) + (3x ậ 1)2
= (x2 + 3x ậ 1)2
( x y z )( x y z ) ( xy yz +zx)
( x y z ) 2( xy yz +zx) ( x y z ) ( xy yz +zx)
t 2 2 2
x y z = a, xy + yz + zx = b ta có
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( 2 2 2
x y z + xy + yz + zx)2
2( x y z ) ( x y z ) 2( x y z )( x y z ) ( x y z )
t x4
+ y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a ậ b2ậ 2bc2
+ c4 = 2a ậ 2b2
+ b2 - 2bc2 + c4 = 2(a ậ b2
) + (b ậc2
)2
Ta l i có: a ậ b2
= - 2( 2 2 2 2 2 2
x y y z z x ) và b ậc2
= - 2(xy + yz + zx) Do đó;
B = - 4( 2 2 2 2 2 2
x y y z z x ) + 4 (xy + yz + zx)2
4 x y 4 y z 4 z x 4 x y 4 y z 4 z x 8 x yz 8 xy z 8 xyz 8 xyz x ( y z )
( a b c ) 4( a b c ) 12 abc
t a + b = m, a ậ b = n thì 4ab = m2ậ n2
a3 + b3 = (a + b)[(a ậ b)2
+ ab] = m(n2 +
2 2
m - n
4 ) Ta có:
C = (m + c)3ậ 4 m + 3mn3 2 3 2 2
4c 3c(m - n )
4 = 3( - c3 +mc2ậ mn2
+ cn2)
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Ví d 1: x4
- 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Trang 5Nh n xét: các s 1, 3 không lƠ nghi m c a đa th c, đa th c không có nghi m nguyên
c ng không có nghi m h u t
Nh v y n u đa th c phơn tích đ c thƠnh nhơn t thì ph i có d ng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
đ ng nh t đa th c nƠy v i đa th c đƣ cho ta có:
6 12 14 3
a c
ac b d
ad bc bd
Xét bd = 3 v i b, d Z, b 1, 3 v i b = 3 thì d = 1 h đi u ki n trên tr thƠnh
6
3
a c
bd
V y: x4
- 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Ví d 2: 2x4
- 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nh n xét: đa th c có 1 nghi m lƠ x = 2 nên có th a s lƠ x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c
4 3
1
5
2 6
4
2 8
a
a
b a
b
c b
c c
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta l i có 2x3
+ x2 - 5x - 4 lƠ đa th c có t ng h s c a các h ng t b c l vƠ b c ch n b ng nahu nên có 1 nhơn t lƠ x + 1 nên 2x3
+ x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
V y: 2x4
- 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Ví d 3:
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy ậ 3
Trang 612
4 10
3
6 12
2
ac
a
bc ad
c
c a
b bd
d
d b
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI T P:
Phơn tích các đa th c sau thƠnh nhơn t :
1) x3 - 7x + 6
2) x3 - 9x2 + 6x + 16
3) x3 - 6x2 - x + 30
4) 2x3 - x2 + 5x + 3
5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4
6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24
8) 4x4 - 32x2 + 1
9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2
10) 64x4 + y4 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 12) x3 + 3xy + y3 - 1 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 14) x8 + x + 1
15) x8 + 3x4 + 4 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 17) x4 - 8x + 63
Trang 7CHUYÊN 2: HOÁN V , T H P
A M C TIểU:
* B c đ u HS hi u v ch nh h p, hoán v vƠ t h p
* V n d ng ki n th c vƠo m t ssó bƠi toán c th vƠ th c t
* T o h ng thú vƠ nơng cao k n ng gi i toán cho HS
B KI N TH C:
I Ch nh h p:
1 đ nh ngh a: Cho m t t p h p X g m n ph n t M i cách s p x p k ph n t c a t p h p
X ( 1 k n) theo m t th t nh t đ nh g i lƠ m t ch nh h p ch p k c a n ph n t y
S t t c các ch nh h p ch p k c a n ph n t đ c kí hi u k
n A
2 Tính s ch nh ch p k c a n ph n t
II Hoán v :
1 nh ngh a: Cho m t t p h p X g m n ph n t M i cách s p x p n ph n t c a t p h p
X theo m t th t nh t đ nh g i lƠ m t hoán v c a n ph n t y
S t t c các hoán v c a n ph n t đ c kí hi u Pn
2 Tính s hoán v c a n ph n t
( n! : n giai th a)
III T h p:
1 nh ngh a: Cho m t t p h p X g m n ph n t M i t p con c a X g m k ph n t trong n ph n t c a t p h p X ( 0 k n) g i lƠ m t t h p ch p k c a n ph n t y
S t t c các t h p ch p k c a n ph n t đ c kí hi u k
n C
2 Tính s t h p ch p k c a n ph n t
k
n
A = n(n - 1)(n - 2)…[n - (k - 1)]
k n
C = Ann : k! = n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)]
k!
Pn = Ann = n(n - 1)(n - 2) …2 1 = n!
Trang 8C Ví d :
1 Ví d 1:
Cho 5 ch s : 1, 2, 3, 4, 5
a) có bao nhiêu s t nhiên có ba ch s , các ch s khác nhau, l p b i ba trong các ch
s trên
b) Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s , các ch s khác nhau, l p b i c 5 ch s trên c)Có bao nhiêu cách ch n ra ba ch s trong 5 ch s trên
Gi i:
a) s t nhiên có ba ch s , các ch s khác nhau, l p b i ba trong các ch s trên lƠ
ch nh h p ch p 3 c a 5 ph n t : 3
5
A = 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 4 3 = 60 s b) s t nhiên có 5 ch s , các ch s khác nhau, l p b i c 5 ch s trên lƠ hoán v cua 5
ph n t (ch nh h p ch p 5 c a 5 ph n t ):
5
5
A = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 4 3 2 1 = 120 s
c) cách ch n ra ba ch s trong 5 ch s trên lƠ t h p ch p 3 c a 5 ph n t :
C35 = 5.(5 - 1).(5 - 2) 5 4 3 60 10
3! 3.(3 - 1)(3 - 2) 6 nhóm
2 Ví d 2:
Cho 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5 Dùng 5 ch s nƠy:
a) L p đ c bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s trong đó không có ch s nƠo l p l i? Tính
t ng các s l p đ c
b) l p đ c bao nhiêu s ch n có 5 ch s khác nhau?
c) L p đ c bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s , trong đó hai ch s k nhau ph i khác nhau
d) L p đ c bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s , các ch s khác nhau, trong đó có hai ch
s l , hai ch s ch n
Gi i
Trang 9a) s t nhiên có 4 ch s , các ch s khác nhau, l p b i 4 trong các ch s trên lƠ ch nh
h p ch p 4 c a 5 ph n t : 4
5
A = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 4 3 2 = 120 s Trong m i hang (Nghìn, tr m, ch c, đ n v ), m i ch s có m t: 120 : 5 = 24 l n
T ng các ch s m i hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 24 = 15 24 = 360
T ng các s đ c l p: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960
b) ch s t n cùng có 2 cách ch n (lƠ 2 ho c 4)
b n ch s tr c lƠ hoán v c a c a 4 ch s còn l i vƠ có P4 = 4! = 4 3 2 = 24 cách
ch n
T t c có 24 2 = 48 cách ch n
c) Các s ph i l p có d ng abcde, trong đó : a có 5 cách ch n, b có 4 cách ch n (khác a),
c có 4 cách ch n (khác b), d có 4 cách ch n (khác c), e có 4 cách ch n (khác d)
T t c có: 5 4 4 4 4 = 1280 s
d) Ch n 2 trong 2 ch s ch n, có 1 cách ch n
ch n 2 trong 3 ch s l , có 3 cách ch n Các ch s có th hoán v , do đó có:
1 3 4! =1 3 4 3 2 = 72 s
Bài 3: Cho 0
xAy 180 Trên Ax l y 6 đi m khác A, trên Ay l y 5 đi m khác A trong 12
đi m nói trên (k c đi m A), hai đi m nƠo c ng đ c n i v i nhau b i m t đo n th ng
Có bao nhiêu tam giác mƠ các đ nh lƠ 3 trong 12 đi m y
Gi i
Cách 1: Tam giác ph i đ m g m ba lo i:
+ Lo i 1: các tam giác có m t đ nh lƠ A, đ nh th 2 thu c
Ax (có 6 cách ch n), đ nh th 3 thu c Ay (có 5 cách
ch n), g m có: 6 5 = 30 tam giác
+ Lo i 2: Các tam giác có 1 đ nh lƠ 1 trong 5 đi m B1,
B2, B3, B4, B5(có 5 cách ch n), hai đ nh kia lƠ 2 trong 6
đi m A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có 26 6.5 30 15
2! 2
G m 5 15 = 75 tam giác
x
y
B5
B4
B2
B1
A5
A4
A3
A6
B3
A2
A1 A
Trang 10+ Lo i 3: Các tam giác có 1 đ nh lƠ 1 trong 6 đi m A1, A2, A3, A4, A5, A6hai đ nh kia lƠ 2 trong 5 đi m B1, B2, B3, B4, B5g m có: 6 2
5
5.4 20
2! 2
C tam giác
T t c có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác
Cách 2: s các tam giác ch n 3 trong 12 đi m y lƠ 3
12
12.11.10 1320 1320
220
S b ba đi m th ng hang trong 7 đi m thu c tia Ax lƠ: 3
7
7.6.5 210 210
35 3! 3.2 6
S b ba đi m th ng hang trong 6 đi m thu c tia Ay lƠ: 3
6
6.5.4 120 120
20 3! 3.2 6
S tam giác t o thƠnh: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác
D BÀI T P:
Bài 1: cho 5 s : 0, 1, 2, 3, 4 t các ch s trên có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên:
a) Có 5 ch s g m c 5 ch s y?
b) Có 4 ch s , có các ch s khác nhau?
c) có 3 ch s , các ch s khác nhau?
d) có 3 ch s , các ch s có th gi ng nhau?
Bài 2: Có bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s l p b i các ch s 1, 2, 3 bi t r ng s đó chia
h t cho 9
Bài 3: Trên trang v có 6 đ ng k th ng đ ng vƠ 5 đ ng k n m ngang đôi m t c t nhau H i trên trang v đó có bao nhiêu hình ch nh t
Trang 11CHUYểN 3 - LU TH A B C N C A M T NH TH C
A M C TIểU:
HS n m đ c công th c khai tri n lu th a b c n c a m t nh th c: (a + b)n
V n d ng ki n th c vƠo các bƠi t p v xác đ nh h s c a lu th a b c n c a m t nh
th c, v n d ng vƠo các bƠi toán phơn tích đa th c thƠnh nhơn t
B KI N TH C VÀ BÀI T P V N D NG:
I Nh th c Niut n:
Trong đó: k
n
n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)]
C
1.2.3 k
II Cách xác đ nh h s c a khai tri n Niut n:
1 Cách 1: Dùng công th c k
n
n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)]
C
k !
Ch ng h n h s c a h ng t a4
b3trong khai tri n c a (a + b)7
là
4
7
7.6.5.4 7.6.5.4
4! 4.3.2.1
Chú ý: a) k
n
n !
C
n!(n - k) !
7
7! 7.6.5.4.3.2.1
4!.3! 4.3.2.1.3.2.1
b) Ta có: k
n
C = k - 1
n
C nên 4 3
7 7
7.6.5.
3!
2 Cách 2: Dùng tam giác Patxcan
Trong tam giác nƠy, hai c nh bên g m các s 1; dòng k + 1 đ c thƠnh l p t dòng k
(a + b)n = an + 1
n
C an - 1 b + 2
n
C an - 2 b2 + …+ n 1
n
C ab n - 1 + bn
Trang 12(k 1), ch ng h n dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2 dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …
V i n = 4 thì: (a + b)4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
V i n = 5 thì: (a + b)5
= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
V i n = 6 thì: (a + b)6
= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
3 Cách 3:
Tìm h s c a h ng t đ ng sau theo các h s c a h ng t đ ng tr c:
a) H s c a h ng t th nh t b ng 1
b) Mu n có h s c a c a h ng t th k + 1, ta l y h s c a h ng t th k nhơn v i s
m c a bi n trong h ng t th k r i chia cho k
Ch ng h n: (a + b)4
= a4 + 1.4
1 a3b + 4.3
2 a2b2 + 4.3.2
2.3 ab3 + 4.3.2.
2.3.4 b5 Chú ý r ng: các h s c a khai tri n Niut n có tính đ i x ng qua h ng t đ ng gi a, ngh a
lƠ các h ng t cách đ u hai h ng t đ u vƠ cu i có h s b ng nhau
(a + b)n = an + nan -1b + n(n - 1)
1.2 an - 2b2+ …+ n(n - 1)
1.2 a2bn - 2 + nan - 1bn - 1 + bn
III Ví d :
1 Ví d 1: phơn tích đa th c sau thƠnh nhơn t
a) A = (x + y)5 - x5 - y5
Cách 1: khai tri n (x + y)5r i rút g n A
A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5
= 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3)
= 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2)
Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5)
x5 + y5chia h t cho x + y nên chia x5
+ y5 cho x + y ta có:
x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhơn t chung lƠ (x + y), đ t (x + y) lƠm nhơn t chung, ta tìm đ c nhơn t còn l i
b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 -