Một số định nghĩa cơ bản: Định nghĩa đạo hàm (vi phân):Định nghĩa hàm chỉnh hình Ánh xạ bảo giác:Ánh xạ phân tuyến tính và các tính chất: Định nghĩa thặng dư: Định lí Cauchy Riemann: Công thức tích phân Cauchy: Định lí tích phân loại Cauchy: Công thức tiêu chuẩn Cauchy trong hệ tọa độ cực:
Trang 1Một số định nghĩa cơ bản:
Định nghĩa đạo hàm (vi phân):
Cho hàm w = f(z) xác định trong một miền chứa điểm z = x + jy Cho z một số gia Gọi là số gia tương ứng của hàm:
Nếu khi tỉ số dần tới một giới hạn xác định thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm w tại z và kí hiệu là f’(z) hay w’(z) hay Ta có:
f có đạo hàm tại z thì vi phân tại z f có đạo hàm gọi là hàm sơ khả vi
Định nghĩa hàm chỉnh hình:
Hàm f xác định trên , hàm f gọi là chỉnh hình tại nếu , f khả vi , f gọi là chỉnh hình trên nếu chỉnh hình tại mọi điểm thuộc
Ánh xạ bảo giác:
Ánh xạ f xác định trên miền ⊂ C gọi là bảo giác tại nếu tại điểm đó ánh xạ f bảo giác và có hệ số co giãn đều Ánh xạ f được gọi là bảo giác trên miền ⊂ C nếu nó bảo giác tại mọi điểm thuộc D
Ánh xạ phân tuyến tính và các tính chất:
TC1: Bằng cách đặt và , hàm phân tuyến tính (1) là song ánh giữa và
TC2: Hàm phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trong (tính bảo giác tại điểm được hiểu là sự bảo toàn góc) TC3: Hàm ngược của một hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính
TC4: Hợp thành của hai hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính
TC5: Ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn đường tròn
TC6: Ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn hình tròn
TC7: Ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn tính đối xứng của các điểm qua đường tròn
TC8: Ánh xạ phân tuyến tính không phải là ánh xạ đồng nhất có nhiều nhất là hai điểm bất động
TC9: Cho 2 bộ ba điểm phân biệt và Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ phân tuyến tính biến thành
TC10: Hàm phân tuyến tính bảo toàn tỉ số kép: Cho 4 điểm phân biệt và
Định nghĩa thặng dư:
Giả sử f(z) chỉnh hình trên vành khăn Xét tích phân:
Theo định lí Cauchy cho miền đa liên ta có:
Vì vậy:
Vì tích phân (1) chỉ phụ thuộc vào hàm f và điểm nên ta kí hiệu là và gọi là thặng dư của tại :
Nếu f(z) chỉnh hình trên vành khăn thì thặng dư của f tại là:
Trang 2Định lí Cauchy suy ra nếu và f chỉnh hình tại Theo định lí Laurent ta có:
Định lí Cauchy - Riemann:
Để hàm f C - khả vi tại z = x + iy điều kiện cần và đủ là hàm f R2 khả vi tại z và điều kiện Cauchy -Riemann sau được thỏa mãn tại z:
Công thức tích phân Cauchy:
Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D và Khi đó với mọi chu tuyến sao cho ta có công thức tích phân Cauchy:
Nếu viết thêm f liên tục trên và là một chu tuyến thì ta có
Định lí tích phân loại Cauchy:
Giả sử là hàm liên tục trên đường cong Jordan trơn từng khúc Khi đó tích phân trên là một hàm chỉnh hình trên C\ Trên C\ hàm F(z) có đạo hàm mọi cấp, ta có công thức:
Công thức tiêu chuẩn Cauchy trong hệ tọa độ cực:
Giả sử tồn tại các hàm trong lân cận D
Các hàm này thỏa mãn tại
Khi đó f’(z) tồn tại các đạo hàm tại