Các phương pháp xây dựng hàm thành viên tập mờ và toán tử tập mờ ... Một số khái niệm cơ bản của tập mờ Miền xác định: Biên giới tập mờ A, ký hiệu là suppA, là tập rõ gồm các phần tử
Logic mờ và điều khiển mờ
Lý thuyết tập mờ
Tập mờ A xác định trên tập vũ trụ X là một tập hợp các cặp (x, μ_A(x)) với x ∈ X và μ_A: X → [0,1] Hàm μ_A được gọi là hàm thuộc (membership function) của tập mờ A Tập X được gọi là cơ sở của tập mờ A μ_A(x) là độ phụ thuộc của x, được dùng để tính độ thuộc của một phần tử x; có hai cách để thực hiện việc tính độ phụ thuộc của một phần tử x.
Tớnh trực tiếp nếu à A (x) ở dạng cụng thức tường minh
Tra bảng nếu à A (x) ở dạng bảng
Các hàm thuộc kiểu S, có dạng trơn, được gọi là các hàm thuộc kiểu S Đối với các hàm này, do các biểu thức của A(x) có độ phức tạp cao nên thời gian tính toán phụ thuộc vào kích thước của phần tử và có thể tăng lên đáng kể khi phần tử lớn Trong kỹ thuật điều khiển mờ thông thường, các hàm thuộc kiểu S thường được xấp xỉ bằng một hàm tuyến tính từng đoạn để đơn giản hóa tính toán và nâng cao hiệu suất xử lý.
Một hàm thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm thuộc có mức chuyển đổi tuyến tính
Hình 2.1 Hàm thuộc A (x) có mức chuyển đổi tuyến tính
Hàm thuộc như trên với m 1 = m 2 và m 3 = m 4 chính là hàm thuộc của một tập vũ trụ
Ví dụ 2.1 trình bày một tập mờ B gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 5, với hàm thuộc μ_B(x) có dạng như Hình 2.2 và được định nghĩa trên tập vũ trụ X Với mỗi x thuộc X, μ_B(x) cho biết mức độ x thuộc về tập B, nằm trong khoảng [0,1] Trên tập vũ trụ X, tập mờ B sẽ chứa các phần tử 0, 1, 2, 3 và 4 với các mức độ thuộc khác nhau được cho bởi μ_B(x), như minh họa trong Hình 2.2.
Hình 2.2 Hàm thuộc của tập B
Các số tự nhiên 1, 2, 3 và 4 có độ phụ thuộc như sau: à B (1) = à B (2) = 1, à B (3) = 0.95, à B (4) = 0.7 Những số không được liệt kê đều có độ phụ thuộc bằng 0
Ví dụ 2.2 cho thấy cách dùng tập mờ để biểu diễn năng lực học môn Toán dựa trên thang điểm 10 X là tập các giá trị từ 1 đến 10, đại diện cho kết quả học tập môn Toán của học sinh, X = {1, 2, …, 10} Khái niệm mờ về năng lực học toán giỏi được biểu thị bằng một tập mờ A ⊆ X, trong đó mỗi x ∈ X có mức độ thành viên μ_A(x) từ 0 đến 1, cho biết mức độ phù hợp của x với trình độ giỏi Nhờ cơ chế này, năng lực toán học được mô tả ở mức độ thay vì chỉ đúng hoặc sai, cho phép so sánh và phân tích linh hoạt về sự tiến bộ và độ tin cậy của kết quả học tập theo từng điểm số.
Trong trường hợp tập mờ rời rạc ta có thể biểu diễn tập mờ ở dạng bảng Chẳng hạn, đối với tập mờ A ở trên ta có bảng như sau:
Bảng 2.1 Biểu diễn tập mờ A
2.1.2 Một số khái niệm cơ bản của tập mờ
Định nghĩa miền hỗ trợ của tập mờ A, ký hiệu supp(A), là tập hợp các phần tử x thuộc X sao cho μ_A(x) > 0 Cụ thể supp(A) = { x ∈ X | μ_A(x) > 0 } Miền hỗ trợ cho biết những phần tử có mức độ thuộc vào tập mờ A dương và là khái niệm căn bản trong phân tích cũng như xử lý dữ liệu mờ.
Miền tin cậy: Lõi tập mờ A, ký hiệu là core(A), là tập rõ gồm các phần tử của
X có mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A bằng 1 core(A) = { x | à A (x) = 1}
Hình 2.3 Miền xác định và miền tin cậy của tập mờ A
Độ cao tập mờ: Độ cao tập mờ A, ký hiệu: h(A), là mức độ phụ thuộc cao nhất của x vào tập mờ A h(A) = sup
Một tập mờ có ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ chính tắc, tức là h(A) = 1, ngược lại một tập mờ A với h(A) < 1 được gọi là tập mờ không chính tắc
Tập mờ A trên tập vũ trụ X là tập mà các phần tử x X với mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A tương ứng Có ba phương pháp biểu diễn tập mờ: phương pháp ký hiệu, phương pháp tích phân và phương pháp đồ thị
- Phương pháp ký hiệu: Liệt kê các phần tử và các thành viên tương ứng theo ký hiệu
Cho X = {x 1 , x 2 , …,x n } là tập hữu hạn:
- Phương pháp tích phân: với X là tập vô hạn ta thường dùng ký hiệu sau:
Những biểu thức được đưa ra mang tính hình thức; các phép cộng, tổng (Σ) và tích phân không có ý nghĩa theo quy ước thông thường Tuy nhiên, cách diễn đạt này lại rất thuận tiện cho việc định nghĩa và thao tác các phép tính trên tập mờ sau này.
Hình 2.4 Biểu diễn tập mờ Chiều cao
2.1.4 Các phép toán trên tập mờ
2.1.4.1 Phần bù của một tập mờ
Cho tập mờ A trên tập vũ trụ X, tập mờ bù của A là tập mờ A, hàm thuộc (x)
được tính từ hàm thuộc (x)
Hình 2.5 Tập bù A của tập mờ A a) Hàm thuộc của tập mờ A b) Hàm thuộc của tập mờ A
Một cách tổng quát để tìm (x)
từ (x), ta dùng hàm bù c: 0,1 0,1 như sau:
2.1.4.2 Hợp của các tập mờ
Cho tập mờ A, B trên tập vũ trụ X, tập mờ hợp của A và B là một tập mờ, ký hiệu là C AB
Theo phép hợp chuẩn ta có C (x) từ các hàm thành viên (x), B (x) như sau:
Hình 2.6 Hợp hai tập mờ có cùng tập vũ trụ
Một cách tổng quát ta dùng hàm hợp u : 0 , 1 0 , 1 0 , 1 Hàm thành viên C (x) có thể được suy từ hàm thành viên (x), B (x)như sau:
2.1.4.3 Giao của các tập mờ
Cho A, B là hai tập mờ trên tập vũ trụ X, tập mờ giao của A và B cũng là một tập mờ, ký hiệu: I AB
Theo phép giao chuẩn ta có I (x) từ các hàm thành viên (x), B (x):
Hình 2.7 Giao hai tập mờ có cùng tập vũ trụ
Một cách tổng quát ta dùng hàm giao i : 0 , 1 0 , 1 0 , 1 Hàm thành viên I (x) có thể được suy từ hàm thành viên (x), B (x)như sau:
2.1.4.4 Tích Descartes các tập mờ
Cho A i là các tập mờ trên tập vũ trụ X i , i = 1, 2, …, n Tích Descartes của các tập mờ A i , ký hiệu là A 1 A 2 … A n hay n i 1 A i , là một tập mờ trên tập vũ trụ
X 1 X 2 … X n được định nghĩa như sau:
Ví dụ 2.3: Cho X1 = X2 = {1, 2, 3} và 2 tập mờ
Một ví dụ ứng dụng của tích Descartes là kết nhập (aggregation) các thông tin mờ về các thuộc tính khác nhau của một đối tượng Trong các hệ luật của các hệ trợ giúp quyết định hay hệ chuyên gia và cả hệ điều khiển, các luật thường được trình bày ở dạng IF-THEN (nếu–thì), cho phép kết hợp nhiều điều kiện mờ và xác định hành động hoặc kết quả dựa trên sự tổng hợp của các thuộc tính đối tượng.
Nếu x 1 là A 1 và x 2 là A 2 và … và x n là A n thì y là B
Trong lý thuyết này, các x_i là biến ngôn ngữ có giá trị được xem như nhãn của các tập mờ, và A_i là các tập mờ trên tập vũ trụ X_i của biến x_i Hầu hết các phương pháp giải các luật “nếu-thì” đều yêu cầu tích hợp dữ liệu ở phần tiền đề nhờ toán tử kết nhập, nổi bật nhất là tích Descartes A1 × A2 × … × An.
2.1.4.5 Tính chất của các phép toán trên tập mờ
Như các phép toán trên tập rõ, các phép toán trên tập mờ cũng có một số tính chất sau đối với các tập mờ A, B, C trên tập vũ trụ X:
2.1.5 Các phương pháp xây dựng hàm thành viên tập mờ và toán tử tập mờ
Các khái niệm ngôn ngữ không chỉ mơ hồ mà còn phụ thuộc ngữ cảnh; cả biến ngôn ngữ, liên kết ngôn ngữ và toán tử tập mờ đều chịu tác động của ngữ cảnh Tập mờ và toán tử tập mờ được dùng để xấp xỉ ngữ nghĩa của các khái niệm ngôn ngữ trong một ngữ cảnh cụ thể, cho thấy ngữ cảnh là yếu tố định hình cách hiểu và diễn đạt ý nghĩa Vì vậy việc xây dựng hàm thành viên tập mờ và hàm toán tử tập mờ là phụ thuộc ngữ cảnh và mang tính tương đồng về bản chất Phương pháp xây dựng hàm thành viên tập mờ có thể được áp dụng để xây dựng cả hàm toán tử tập mờ, cho thấy sự nhất quán giữa hai thành phần này trong phân tích ngôn ngữ dựa trên tập mờ.
Có hai phương pháp xây dựng hàm thành viên tập mờ thường dùng:
Phương pháp hệ chuyên gia
Phương pháp trực quan dựa trên vốn hiểu biết và trực giác với ngữ cảnh cho sẵn để xây dựng hàm thành viên cho các tập mờ Ví dụ với điểm của một môn học nằm trong khoảng 0 đến 10, ta có thể dùng kiến thức trực quan để thiết kế năm tập mờ tương ứng: Gioi (xuất sắc), Kha (khá), TB (trung bình), Yeu (yếu) và Kem (kém) Các tập mờ được mô tả bằng hàm thành viên trên miền [0, 10], xác định cách mỗi điểm số thuộc về mỗi cấp độ sao cho phản ánh đúng mức độ thể hiện của người học trong ngữ cảnh giảng dạy Việc xây dựng năm tập mờ này giúp phân loại kết quả một cách mềm dẻo và hỗ trợ phân tích hiệu quả của quá trình học tập, đặc biệt khi dữ liệu có độ không chắc chắn hoặc không rõ ràng.
Hình 2.8 Tập mờ điểm trung bình
Hàm thành viên tập mờ được xây dựng dựa vào chuyên gia am tường ngữ cảnh của vấn đề quan tâm Phương pháp chuyên gia gồm hai bước:
- Thu thập kiến thức từ chuyên gia qua các mệnh đề ngôn ngữ
- Xây dựng hàm thành viên từ việc xử lý các mệnh đề ngôn ngữ
Phương pháp chuyên gia được chia thành hai loại: trực tiếp và gián tiếp Ở phương pháp trực tiếp, chuyên gia trả lời các câu hỏi một cách trực tiếp để xây dựng hàm thành viên Ở phương pháp gián tiếp, chuyên gia trả lời các câu hỏi ở mức độ đơn giản hơn và kết quả được xử lý thêm để xây dựng hàm thành viên một cách đầy đủ và chính xác.
Phương pháp chuyên gia trực tiếp o Phương pháp trực tiếp với một chuyên gia
Trong phương pháp này, một chuyên gia được mời để xây dựng hàm thành viên cho một tập mờ A trên tập vũ trụ X Mục tiêu là xác định μ_A(x) cho mọi phần tử x thuộc X Chuyên gia sẽ trả lời một bộ câu hỏi phổ biến nhằm gán mức độ thành viên cho từng phần tử x, từ đó tổng hợp thành hàm thành viên μ_A(x) phù hợp với đặc tính của tập A Kết quả thu được là một hàm thành viên μ_A(x) thể hiện mức độ tương đồng của mỗi x với các phần tử của tập A, phục vụ cho các bước phân tích và xử lý mờ tiếp theo.
Mức độ thành viên của x lên tập A là bao nhiêu?
Mức độ tương thích của x lên tập A ở ngữ cảnh đã cho là bao nhiêu?
Phần tử x nào có mức độ thành viên (x)lên tập A?
Sau khi có tập các phần tử x cùng với các giá trị thành viên tương ứng, ta xây dựng đường cong hàm thành viên bằng các phương pháp thích hợp nhằm mô tả cụ thể mức độ thuộc về tập xác định Một hướng tiếp cận hiệu quả là phương pháp trực tiếp do nhiều chuyên gia đóng góp, kết hợp ý kiến của họ để ước lượng và tinh chỉnh đường cong hàm thành viên cho từng trường hợp cụ thể.
Trong phương pháp này có n chuyên gia được hỏi để gán hàm Gọi a i (x), với i1n là ý kiến của chuyên gia thứ i về mức độ thành viên của x lên tập
A Mức độ thành viên tổng hợp của n chuyên gia có thể được tính như sau: n x a x n i
Hoặc có thể dùng hàm trung bình có trọng số các ý kiến, với c i là trọng số của chuyên gia thứ i:
Phương pháp chuyên gia gián tiếp
Quan hệ mờ
Một lớp đặc biệt của các tập mờ là các quan hệ mờ, vốn là các tập mờ trên không gian tích Descartes của các miền cơ sở Theo tên gọi, quan hệ mờ mô tả mối quan hệ mờ giữa các đối tượng thuộc các miền cơ sở Ví dụ, câu "Bạn Ngô Sơn Lâm và bạn Nguyễn Thị Khánh Vân là hai bạn thân" cho thấy một mối quan hệ mờ giữa một đối tượng thuộc thế giới của các chàng trai và một đối tượng thuộc thế giới của các cô gái.
Nó là quan hệ mờ vì từ thân là khái niệm mờ Khái quát hóa, ta có quan hệ mờ “bạn thân”
2.2.1 Định nghĩa quan hệ mờ
Quan hệ mờ R trên hai tập X và Y là một tập mờ được xác định trên tập tích X × Y, tức là trên tập các cặp (x, y) với x ∈ X và y ∈ Y Các phần tử của X × Y có các mức độ thành viên khác nhau đối với R Mức độ liên hệ của mỗi cặp (x, y) được cho bởi hàm mức độ thành viên μ_R: X × Y → [0, 1], cho biết mức độ liên kết giữa x và y theo quan hệ mờ này.
Mức độ thành viên μ_R(x,y) biểu thị mức quan hệ giữa các phần tử x và y thuộc hai tập vũ trụ X và Y theo quan hệ R, tức là mức độ mà x và y được xem là liên kết trong quan hệ đã định Nói cách khác, μ_R(x,y) cho biết mức độ quan hệ của x và y dựa trên ý nghĩa của quan hệ R được xác định, giúp mô tả mức độ tương tác giữa hai tập hợp X và Y Việc đo lường μ_R(x,y) cho phép đánh giá và so sánh mức độ liên kết giữa các phần tử, phục vụ cho các ứng dụng phân tích quan hệ và xử lý tập hợp trong lý thuyết quan hệ.
Quan hệ mờ có thể được biểu diễn dưới các dạng: hàm thành viên, ma trận quan hệ, biểu đồ Sagittal
Ví dụ 2.4: Cho tập X gồm các thành phố NewYork – N, Paris – P:
Cho tập Y gồm các thành phố NewYork – N, Bắc kinh – B, London – L:
Gọi R là quan hệ mờ “rất xa” giữa các thành phố của tập X và các thành phố của tập Y, được biểu diễn theo hàm thành viên:
Quan hệ có thể liệt kê như sau:
Biểu diễn theo ma trận quan hệ: R = [r x,y ]
Biểu diễn theo biểu đồ Sagittal:
Cho ba tập X, Y, Z, xét hai quan hệ mờ P trên X×Y và Q trên Y×Z Liên kết mờ J của P và Q, được ký hiệu P*Q, là một quan hệ mờ trên tập X×Y×Z và được định nghĩa bằng J(x,y,z) = min{P(x,y), Q(y,z)} đối với mọi (x,y,z) ∈ X×Y×Z Cách liên kết này cho phép ghép nối hai quan hệ mờ qua trung gian Y để hình thành quan hệ mờ ba ngôi, phục vụ cho các bài toán suy luận mờ và phân tích mối quan hệ đa cấp.
Hàm thuộc của liên kết mờ định bởi các hàm thuộc của các quan hệ thành phần
P và Q qua các luật liên kết:
Luật liên kết cực tiểu - min:
Luật liên kết tích - prod:
Chú ý rằng khi dùng các luật liên kết khác nhau, kết quả liên kết mờ sẽ khác nhau
Cho ba tập X, Y, Z và xét hai quan hệ mờ P trên X×Y và Q trên Y×Z Quan hệ mờ R trên X×Z được hình thành từ hai quan hệ mờ P và Q, ký hiệu R = P ∘ Q Theo định nghĩa, với mọi (x, z) ∈ X×Z, giá trị của R được cho bởi R(x, z) = sup_{y∈Y} min{ P(x, y), Q(y, z) } Đây là phép nối (composition) của hai quan hệ mờ và cho phép truyền tải mức độ liên kết từ X thông qua Y đến Z.
Với luật liên kết cực tiểu ta có luật hợp thành max – min:
Với luật liên kết tích ta có luật hợp thành max – prod:
Ta xây dựng toán tử hợp thành "" nhằm hợp thành các quan hệ mờ theo các ma trận quan hệ
Xét ma trận quan hệ mờ R trên tập X×Y (R = [r_xy]) và ma trận quan hệ mờ S trên tập Y×Z (S = [s_yz]) Ma trận quan hệ hợp thành T từ R và S được xác định qua một phép nhân ma trận đặc biệt, trong đó mỗi phần tử t_xz của T được tính bằng t_xz = max_y min(r_xy, s_yz) Vì vậy T = R ∘ S là tích quan hệ giữa X và Z thông qua Y, cho phép biểu diễn liên kết ba tập bằng các phần tử quan hệ mờ r_xy và s_yz.
Theo luật hợp thành max–min, phép nhân trong ma trận bình thường được thay bằng phép toán cực tiểu và phép cộng trong ma trận bình thường được thay bằng phép toán cực đại Khi áp dụng quy tắc này, các thao tác ma trận được chuyển từ nhân và cộng sang min và max, cho thấy cách biến đổi cấu trúc toán học của ma trận để phù hợp với các bài toán tối ưu và mô hình hóa các quan hệ bất đối xứng trong dữ liệu.
Với luật hợp thành max – prod: phép nhân trong ma trận bình thường vẫn giữ chỉ thay phép cộng trong ma trận bình thường bởi phép toán cực đại.
Số học mờ
Xét tập mờ A trên tập số thực R Về nguyên tắc, không có ràng buộc chặt nào đối với việc xây dựng các tập mờ để biểu thị ngữ nghĩa của các khái niệm ngôn ngữ; tuy nhiên, để đơn giản trong thiết kế và tính toán trên các tập mờ, người ta giới thiệu khái niệm số mờ — một dạng đặc biệt của tập mờ dùng để biểu thị các khái niệm mờ về số như gần đúng bằng 10, khoảng 15, hay lớn hơn nhiều so với 10.
Số mờ hay khoảng mờ là khái niệm dùng để diễn tả một số hoặc một khoảng xấp xỉ, gần bằng một số thực hoặc một khoảng số thực cho trước Số mờ hay khoảng mờ chính là một tập mờ được xác định trên tập số thực.
Gọi A là một số mờ, A là một tập mờ trên tập tổng là tập số thực R:
A Hàm thuộc của số mờ A là A :R[0,1], thường có dạng hình thang, hình tam giác, hình chuông hay hình thẳng đứng như sau:
Hình 2.11 Các loại hàm thành viên số mờ
Hàm thuộc diễn tả các khái niệm số lớn hay số nhỏ có dạng sau:
Hình 2.12 Phân loại hàm thành viên số mờ
2.3.1.2 Dạng số mờ thường dùng
Trong điều khiển, để các hàm thuộc loại mờ được tích hợp một cách đơn giản, người ta thường tập trung vào hai dạng số mờ phổ biến: số mờ hình thang và số mờ hình tam giác Việc giới hạn ở hai hình dạng này giúp mô hình hóa độ không chắc chắn của đầu vào và đầu ra một cách trực quan và hiệu quả, đồng thời hỗ trợ quá trình thiết kế hệ thống điều khiển fuzzy một cách tối ưu.
Hàm thành viên có dạng sau:
Hình 2.13 Số mờ hình thang
Số mờ hình tam giác
Số mờ hình tam giác là trường hợp đặc biệt của số mờ hình thang Hàm thành viên có dạng sau:
Hình 2.14 Số mờ hình tam giác
2.3.2 Biến ngôn ngữ và giá trị ngôn ngữ
Trong hệ thống logic mờ, số mờ đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng biến mờ định lượng, tức là các biến có trạng thái được xác định bởi các giá trị mờ Khi các số mờ biểu diễn các khái niệm ngôn ngữ như rất nhỏ, nhỏ, trung bình, lớn, rất lớn trong một ngữ cảnh cụ thể, biến mờ được gọi là biến ngôn ngữ.
Biến ngôn ngữ được xác định dựa trên một biến cơ sở thuộc tập cơ sở là số thực và nằm trong một khoảng nhất định Biến cơ sở có thể là các tham số như điểm, tuổi, lãi suất, lương hay nhiệt độ Trong một biến ngôn ngữ, các trị ngôn ngữ biểu diễn các giá trị xấp xỉ của biến cơ sở và các trị này là các số mờ.
Ví dụ 2.5: Xem biến ngôn ngữ là nhiệt độ của một lò, biến cơ sở là nhiệt độ Nhiệt độ của lò nằm trong dải từ 10°C đến 100°C, tức là tập cơ sở X = [10, 100].
0–100 °C được chia thành năm dải nhiệt độ từ rất thấp đến rất cao: rất thấp (RT), thấp (T), trung bình (TB), cao (C) và rất cao (RC) Tập trị ngôn ngữ T = {RT, T, TB, C, RC} mô tả các mức ngôn ngữ tương ứng với từng dải nhiệt độ Các tập mờ cho các giá trị ngôn ngữ này thể hiện cách gán mức độ thành viên cho mỗi giá trị nhiệt độ và được minh họa bằng hình phía dưới.
Hình 2.15 Những tập mờ thuộc biến ngôn ngữ nhiệt độ.
Logic mờ
Logic mờ sử dụng lý thuyết tập mờ làm công cụ cốt lõi nhằm xử lý các biến ngôn ngữ trong ngôn ngữ tự nhiên và cung cấp nền tảng cho các lập luận xấp xỉ trước những vấn đề không chính xác Nó phản ánh cả mức độ đúng đắn lẫn sự mơ hồ của ngôn ngữ tự nhiên trong các luận điểm dựa trên cảm tính, đồng thời giúp phân tích và diễn giải các trường hợp mơ hồ một cách có hệ thống.
Cho mệnh đề mờ P và Q, từ các mệnh đề mờ này ta xây dựng mệnh đề kéo theo
Trong logic, P được xem là mệnh đề điều kiện (tiền đề) và Q là mệnh đề kết luận (hậu đề) Mức chân trị của mệnh đề kéo theo P→Q được xác định dựa trên mức chân trị của hai mệnh đề thành phần: tiền đề P có mức chân trị T(P) = a và hậu đề Q có mức chân trị T(Q) = b Vì vậy, giá trị của mệnh đề điều kiện phụ thuộc vào giá trị đúng sai của các thành phần này thông qua hai tham số a và b.
Mức chân trị của PQ, được xác định bởi hàm kéo theo mờ J như sau:
Có thể xây dựng hàm kéo theo mờ dựa trên các hàm tập mờ cơ bản như hàm bù mờ c, hàm giao mờ i và hàm hợp mờ u, như đã giới thiệu ở phần lý thuyết tập mờ Việc kết hợp các hàm bù, giao và hợp này cho phép mô hình hóa quy trình suy luận mờ và thiết kế các hệ thống điều khiển hoặc quyết định dựa trên ngưỡng và mức độ tin cậy khác nhau Việc nắm vững các hàm tập mờ và cách chúng được áp dụng trong hàm kéo theo mờ giúp tối ưu hóa hiệu năng và đảm bảo sự nhất quán của quá trình xử lý thông tin mờ trong thực tế.
- Với luật abab, ta có họ hàm J(a,b)u(c(a),b) Họ hàm này là họ hàm kéo theo mờ S như những hàm sau:
- Với luật a b max x 0 , 1 | ( a x ) b , ta có họ hàm
J Họ hàm này là họ hàm kéo theo mờ R như những hàm sau:
- Với luật aba(ab), ta có họ hàm J(a,b)u(c(a),i(a,b)) Họ hàm này là họ hàm kéo theo QL:
Khi i và u là những hàm giao và hợp chuẩn ta có họ hàm Zadeh:
Khi i là hàm tích đại số và u là hàm tổng đại số ta có hàm sau: b a a b a
- Với luật ab(ab)b, ta có họ hàm J(a,b)u(i(c(a),c(b)),b)
2.4.2.1 Mệnh đề điều kiện đơn
Mệnh đề điều kiện có dạng:
Cụ thể, U và V là các biến nhận giá trị từ hai tập X và Y tương ứng; A và B là các tập mờ trên X và Y tương ứng, cho phép biểu diễn mức độ không chắc chắn của các phần tử thuộc X và Y R là một tập mờ quan hệ được định nghĩa trên tích X × Y, và được mô tả bằng hàm thành viên μ_R: X × Y → [0,1], cho biết mức độ xấp xỉ quan hệ giữa một phần tử x ∈ X và một phần tử y ∈ Y Hàm thành viên này xác định mức độ thuộc tính của cặp (x, y) với quan hệ R, phục vụ cho các bài toán xử lý dữ liệu mờ và nhận diện mối quan hệ trong tập dữ liệu.
Mức chân trị của P định bởi giá trị cụ thể x, y của U, V và hàm R :
2.4.2.2 Mệnh đề điều kiện định tính
Mệnh đề điều kiện định tính có dạng:
P: (Nếu U là A thì V là B) là S
Trong khuôn khổ bài toán này, U và V lần lượt là các biến lấy trị trên tập X và Y; A và B tương ứng là các tập mờ trên X và Y S là từ định tính mờ, được biểu diễn dưới dạng một tập mờ trên [0, 1] Từ mệnh đề (Nếu
U là A thì V là B) ta xây dựng quan hệ mờ R trên tập tích X Yvới hàm thành viên định bởi:
Mức chân trị của P định bởi : T(P) S ( R ( A (x), B (y)))
Suy diễn mờ là quá trình suy diễn từ mệnh đề điều kiện với mức độ bất định, cho phép xử lý các mức độ đúng sai không tuyệt đối Trong logic cổ điển, các luật suy diễn dựa trên các mệnh đề hằng đúng nên cho kết quả có tính chắc chắn tuyệt đối Các luật suy diễn này được tổng quát hóa sang logic mờ nhằm phục vụ cho suy luận xấp xỉ và xử lý thông tin mờ, không chắc chắn Có các luật suy diễn thường gặp trong logic mờ, giúp mở rộng khung quy tắc cổ điển để phù hợp với mức độ khớp và độ tin cậy của các khái niệm trong thực tế.
- Luật Modus Tollens Các luật suy diễn này còn gọi là các luật suy diễn hợp thành vì sử dụng toán tử hợp thành trong suy diễn
2.4.3.1 Luật suy diễn mờ Modus Ponens
Suy diễn mờ từ luật Modus Ponens có dạng sau:
Luật: Nếu U là A, thì V là B
Trong đó: U, V là các biến trên X, Y A, A’ là các tập mờ trên X B, B’ là các tập mờ trên Y
Từ mệnh đề “Nếu U là A, thì V là B” ta có quan hệ R:XY [0,1] định bởi các tập mờ A và B như sau:
Trong đó J là một hàm kéo theo mờ Tập mờ B’ có thể xác định từ quan hệ R và tập mờ A’ qua một phép hợp thành:
Vậy tập mờ đầu ra B’ được suy diễn từ phép hợp thành của tập mờ đầu vào A’ và quan hệ R Hàm thành viên của B’ theo phép hợp thành tổng quát được cho bởi μ_B’(y) = sup_x min( μ_A’(x), μ_R(x, y) ) (hoặc μ_B’(y) = Sup_i min( μ_A’(x_i), μ_R(x_i, y) ) tùy cách biểu diễn) Mức độ khớp của B’ với mỗi y được xác định bởi giá trị cực đại của các mức độ liên kết giữa các phần tử x qua A’ và quan hệ R, đảm bảo tính nhất quán với nguyên lý hợp thành mờ.
(2.3) Để chọn hàm kéo theo J, luật suy diễn mờ Modus Ponens dựa vào luật suy diễn Modus Ponens cổ điển:
Trong biểu thức (2.2), theo luật suy diễn Modus Ponens cổ điển, nếu A’=A thì
2.4.3.2 Luật suy diễn mờ Modus Tollens
Luật suy diễn mờ Modus Tollens hay luật suy diễn Modus Tollens tổng quát có dạng sau:
Luật: Nếu U là A, thì V là B
Trong đó: U, V là các biến trên X, Y A, A’ là các tập mờ trên X B, B’ là các tập mờ trên Y
Từ mệnh đề “Nếu U là A, thì V là B” ta có quan hệ R:XY [0,1] định bởi các tập mờ A và B như sau:
Trong đó J là một hàm kéo theo mờ Tập mờ A’ có thể xác định:
Trong lý thuyết tập mờ, tập mờ đầu ra A’ được suy diễn từ phép hợp thành giữa tập mờ đầu vào B’ và quan hệ R Hàm thành viên của B’ được xác định theo phép hợp thành tổng quát, với giá trị thành viên tại mỗi phần tử được cho bởi phép toán sup (cực đại) trên các thành phần liên quan thông qua quan hệ R Quá trình hợp thành này cho phép suy diễn A’ từ B’ và R, từ đó xác định mức độ membership của A’ dựa trên mức độ membership của B’ và các mối liên hệ giữa các phần tử theo quan hệ R.
(2.5) Để chọn hàm kéo theo J, luật suy diễn mờ Modus Tollens dựa vào luật suy diễn
Trong biểu thức (2.4) ở trên, theo luật suy diễn Modus Tollens cổ điển, nếu
B' thì A'A, biểu thức trở thành:
2.4.4 Lập luận xấp xỉ đa điều kiện
Ý tưởng cốt lõi của phương pháp lập luận xấp xỉ là thiết lập cách tính kết luận từ tập tri thức ở dạng luật IF-THEN (nếu – thì) và các sự kiện dựa trên lý thuyết tập mờ Tri thức càng đầy đủ và nhất quán thì kết luận càng phản ánh thực tế và có độ tin cậy cao khi áp dụng vào các tình huống khác nhau Lập luận xấp xỉ đa điều kiện cho phép kết hợp nhiều điều kiện và ngưỡng khác nhau để suy luận, giúp xử lý sự không chắc chắn của dữ liệu và cho ra kết quả phù hợp ngay cả khi thông tin chưa hoàn toàn đầy đủ.
Luật i: Nếu U là A i , thì V là B i , i1n
Trong bài toán, U và V là các biến trên X và Y; A_i và A'_i là các tập mờ trên X, B_i và B'_i là các tập mờ trên Y Từ mệnh đề 'Nếu U là A_i, thì V là B_i' ta có một quan hệ mờ R1: X × Y → [0,1], được xác định bởi các tập mờ A_i, A'_i, B_i và B'_i Quan hệ R1 cho biết mức độ mà cặp (x,y) thỏa mãn quy tắc tương ứng giữa miền đầu vào và miền đầu ra, từ đó thiết lập liên kết giữa X và Y trong hệ suy luận mờ dựa trên các tập mờ A_i và B_i.
Trong đó J là một hàm kéo theo mờ Tập hợp tất cả n luật ta có quan hệ R định bởi phép hội tất cả các quan hệ thành phần R i : n i i R
Tập mờ B ’ có thể xác định từ quan hệ R và tập mờ A ’ qua một phép hợp thành:
Từ phép hợp thành tổng quát Sup i, hàm thành viên của B ’ được tính:
Với phép hợp thành max - min:
Với phép hợp thành max – prod:
Điều khiển mờ
Kể từ thời điểm ra đời của lý thuyết tập mờ do nhà toán học người Mỹ Zadeh đưa ra nhằm thay thế và đơn giản hóa các khái niệm đầy tính lý thuyết của xác suất, của quá trình ngẫu nhiên Cho tới ngày nay, điều khiển mờ đã có những bước phát triển vượt bậc, đóng góp không nhỏ vào sự tăng trưởng, hiện đại hóa cuộc sống con người Những khái niệm của điều khiển mờ mà trước đây còn mang đầy tính trừu tượng thì nay nó đã được đưa vào ngôn ngữ cộng đồng như một sự đương nhiên ai cũng biết hoặc cũng được nghe nói đến một cách thường xuyên nhờ các phương tiện thông tin đại chúng Các hệ thống điều khiển thông minh được xây dựng trên cơ sở trí tuệ nhân tạo đã giúp cho con người có khả năng chế ngự được những đối tượng mà trước kia tưởng chừng như không điều khiển được Một trong những hệ thống điều khiển thông minh đó là hệ thống điều khiển mờ, hệ thống điều khiển được thiết kế dựa trên cơ sở toán học là logic mờ
Ứng dụng đầu tiên: điều khiển động cơ hơi nước (Mamdani, 1974) [2]
Càng ngày có càng nhiều hệ thống điều khiển trong công nghiệp và dân dụng áp dụng phương pháp điều khiển mờ [4]
Điều khiển hệ thống thắng và tăng tốc của xe lửa, hệ thống lái xe
Điều khiển máy giặt, máy ảnh tự động,
2.5.1 Cấu trúc bộ điều khiển mờ
Bộ điều khiển mờ gồm có bốn thành phần chính (hình 2.16): bộ mờ hóa, cơ sở luật mờ, bộ suy diễn mờ và bộ giải mờ
Bộ giải mờ Đầu vào (số) Đầu vào (tập mờ)
Tham khảo luật mờ Đầu ra (tập mờ) Đầu ra (số)
Hình 2.16 Cấu trúc bộ điều khiển mờ
Vì các luật cho dưới dạng dùng các biến ngôn ngữ với các từ thông thường Như vậy với những giá trị (rõ) quan sát được, đo được cụ thể, để có thể tham gia vào quá trình điều khiển thì cần thiết phải mờ hóa
Có thể định nghĩa mờ hóa là một ánh xạ từ không gian các giá trị quan sát được sang không gian của các từ—tập mờ—trên nền của các biến ngôn ngữ đầu vào Định nghĩa này cho phép chuyển đổi dữ liệu quan sát thành các biểu diễn mờ, giúp các hệ thống xử lý ngôn ngữ tự nhiên và các mô hình suy luận mờ làm việc với ngữ nghĩa và mức độ bất chắc của thông tin Nhờ đó, mờ hóa trở thành nền tảng cho các ứng dụng nhận diện ngôn ngữ, phân tích dữ liệu ngôn ngữ phi tuyến và tối ưu hóa biểu diễn dữ liệu đầu vào.
2.5.1.2 Cơ sở các luật mờ
Có nhiều phương pháp để xác định các luật mờ và đưa vào cơ sở luật mờ Các phương pháp thông dụng gồm tham khảo ý kiến từ các chuyên gia trong lĩnh vực áp dụng và dựa trên quan sát, thực nghiệm thống kê để có được các tập dữ liệu mẫu cho đầu vào và đầu ra tương ứng; từ đó sử dụng các kỹ thuật khai thác dữ liệu để rút ra các luật mờ phù hợp.
Dạng tổng quát của các luật điều khiển mờ là bộ các quy tắc mờ dạng nếu
Trong hệ suy luận mờ, các câu lệnh IF-THEN được sử dụng để mô tả các điều kiện đầu vào và các biến đầu ra bằng các biến ngôn ngữ và các tập mờ Viết ở dạng tổng quát, cơ sở của các luật mờ được phát triển dựa trên ngôn ngữ tự nhiên và các tập mờ của đầu vào nhằm xác định cách kết hợp các điều kiện để sinh ra đầu ra tương ứng Các biến ngôn ngữ đóng vai trò làm cầu nối giữa dữ liệu thực tế và các quyết định mờ, cho phép diễn giải các khía cạnh không chắc chắn của hệ thống Dạng chuẩn của luật mờ có thể được biểu diễn như: nếu x thuộc tập A và y thuộc tập B thì z thuộc tập C, với mức độ thỏa mãn được tính bằng hàm membership và đầu ra được khử mờ để trả về một giá trị số thực.
Trong hệ luận mờ, nếu x1 thuộc A_k1 và x2 thuộc A_k2 và … và xn thuộc A_kn, thì y thuộc B_k, trong đó k là chỉ số của luật (luật thứ k trong tập luật) Các xi là biến đầu vào, A_k_i là các tập mờ trên U_i (i = 1 n), y là biến đầu ra và B_k là tập mờ trên V (k = 1 m).
2.5.1.3 Bộ suy diễn mờ Đây là phần cốt lõi nhất của bộ điều khiển mờ trong quá trình mô hình hóa các bài toán điều khiển và chọn quyết định của con người trong khuôn khổ vận dụng logic mờ và lập luận xấp xỉ
Trong một hệ thống fuzzy, x1, x2, …, xm là các biến đầu vào và y là biến ra (thường là các biến ngôn ngữ) Các tập A_ij (i = 1,…, m; j = 1,…, n) và B_j (j = 1,…, n) là các tập mờ nằm trong không gian nền tương ứng của các biến đầu vào và biến ra mà hệ thống đang sử dụng Các R_j là các suy diễn mờ, được thiết kế từ các tập mờ A_ij và B_j nhằm mô tả mối liên hệ giữa trạng thái của các đầu vào và đầu ra y, phục vụ cho quá trình suy diễn mờ để cho ra đầu ra y từ các giá trị đầu vào x1, x2, …, xm.
R 1 Nếu x 1 là A 11 và và x m là A m1 thì y là B 1
R 2 Nếu x 1 là A 12 và và x m là A m2 thì y là B 2
R n Nếu x 1 là A 1n và và x m là A mn thì y là B n Cho: Nếu x 1 là A 1* và và x m là A m*
Trong đó A 1* ,…,A m* là các giá trị đầu vào có thể mờ hoặc rõ
Theo suy diễn xấp xỉ, tập mờ B * có thể suy diễn như sau:
- Đầu tiên tìm quan hệ thành phần R i là quan hệ được định bởi: i mi i i A A B
- Sau đó xác định quan hệ tích hợp R từ các quan hệ thành phần R i qua phép hợp: n i i R
- Sau đó xác định tập mờ đầu ra B * qua toán tử hợp thành:
B * 1 2 m Tập mờ ra B * dùng trong bộ giải mờ
2.5.1.4 Bộ giải mờ Đây là khâu thực hiện quá trình xác định một giá trị rõ có thể chấp nhận được làm đầu ra từ hàm thuộc của giá trị mờ đầu ra Có hai phương pháp giải mờ chính: phương pháp điểm cực đại và phương pháp điểm trọng tâm
2.5.2 Nguyên lý làm việc của bộ điều khiển mờ
Trong nhiều bài toán điều khiển, đối tượng có thể không được mô tả bằng một mô hình toán học hoặc dù có mô tả được thì mô hình lại quá phức tạp và cồng kềnh, khiến việc áp dụng gặp nhiều khó khăn Trong trường hợp này, điều khiển mờ chiếm ưu thế rõ rệt nhờ khả năng xử lý bất định và phi tuyến một cách linh hoạt hơn so với các mô hình truyền thống Ngay cả với những bài toán điều khiển theo nguyên tắc kinh điển, việc áp dụng điều khiển mờ vẫn mang lại sự đơn giản hóa, tính gọn nhẹ và cải thiện hiệu quả cho hệ thống.
Điều khiển mờ khác biệt so với các phương pháp điều khiển cổ điển ở chỗ không đòi hỏi một mô hình toán học đầy đủ của đối tượng Nó vận hành bằng cách tự động hóa kinh nghiệm điều khiển của con người, được rút ra từ kinh nghiệm của chuyên gia hoặc từ dữ liệu thực tế và đúc kết thành một tập luật hợp thành với cấu trúc chung gồm nhiều mệnh đề liên kết chặt chẽ Nhờ tập luật này, hệ thống có thể xử lý thông tin và đưa ra quyết định điều khiển một cách linh hoạt, thích nghi với từng tình huống mà không cần mô hình toán học cụ thể cho đối tượng.
Trong hệ thống biến ngôn ngữ, mỗi giá trị ngôn ngữ của biến A (gồm các A_i với i = 1, 2, …) tương ứng với một giá trị ngôn ngữ của biến B (gồm các B_j với j = 1, 2, …) Vì vậy, khi A bằng giá trị A_i thì B nhận giá trị B_j tương ứng A là biến ngôn ngữ đầu vào, B là biến ngôn ngữ đầu ra, còn A_i và B_j lần lượt là các giá trị ngôn ngữ của A và B.
Dựa vào các tín hiệu vào, tín hiệu ra người ta phân chia chúng thành các nhóm:
Nhóm bộ điều khiển SISO: nếu nó chỉ có một đầu vào và một đầu ra
Nhóm bộ điều khiển MIMO: nhiều đầu vào và nhiều đầu ra
Nhóm bộ điều khiển SIMO: chỉ có một đầu vào nhưng có nhiều đầu ra
Nhóm MISO: có nhiều đầu vào và chỉ một đầu ra
2.5.3 Các loại điều khiển mờ thường sử dụng
2.5.3.1 Điều khiển Mamdani Điều khiển Mamdani (còn gọi là điều khiển ước lượng) sử dụng phương pháp điều khiển của Mamdani là phương pháp điều khiển mờ đầu tiên được đưa ra Nó được sử dụng trong trường hợp cả mệnh đề nguyên nhân và mệnh đề kết quả đều là các giá trị mờ, có dạng tổng quát sau:
R i : Nếu (x 1 là A 1i ) và … và (x n là A ni) thì (y 1 là B 1i ), …, (y m là B mi ) Trong đó: n là số tín hiệu vào, m là số tín hiệu ra,i1 k, với k là số qui tắc điều khiển
Kết luận của phương pháp điều khiển mờ Mamdani là mệnh đề mờ
Takagi-Sugeno đưa ra một mô hình mờ kết hợp cả không gian trạng thái mờ lẫn mô tả linh hoạt của hệ thống Theo cách tiếp cận này, một vùng mờ LX_k được mô tả bởi các luật quy tắc, trong đó mỗi luật liên kết trạng thái của vùng mờ với đầu ra theo một hàm kết luận tuyến tính hoặc phi tuyến tùy thuộc vào vùng mờ Việc mô tả bằng luật cho từng vùng mờ cho phép hệ thống nắm bắt đặc tính phi tuyến và sự biến đổi động học mà các mô hình tuyến tính thông thường khó nắm bắt Khi các vùng mờ và các luật kết luận được kết hợp, mô hình mờ Takagi-Sugeno có thể dự báo và điều khiển hệ thống một cách linh hoạt và chính xác hơn trong nhiều điều kiện vận hành khác nhau Đây là lý do vì sao mô hình TS được ứng dụng rộng rãi trong điều khiển, nhận diện và tối ưu hóa các hệ thống phức tạp.
R_sk: Nếu x = Lx_k thì ẋ = A(x_k) x + B(x_k) u (2.6) Luật này cho biết rằng nếu vectơ trạng thái x nằm trong vùng Lx_k thì hệ thống được mô tả bằng phương trình vi phân cục bộ ẋ = A(x_k) x + B(x_k) u Nếu toàn bộ các luật của hệ thống được xây dựng thì có thể mô tả toàn bộ trạng thái của hệ thống ở mức toàn cục Trong (2.6), ma trận A(x_k) và B(x_k) là các ma trận hằng của hệ thống ở trọng tâm của miền Lx_k và được xác định từ các chương trình nhận dạng Từ đó rút ra được các đặc tính của hệ thống và các khía cạnh điều khiển liên quan đến từng vùng trạng thái.
Với w k (x) [0 , 1] là độ thoả mãn đã chuẩn hoá của x* đối với vùng mờ LX k
Luật điều khiển tương ứng sẽ là :
Và luật điều khiển cho toàn bộ không gian trạng thái có dạng:
Từ (2.6) và (2.7) ta có phương trình động học cho hệ kín: x x K x B x A x w x w x l k k l k ( ) ( )( ( ) ( ) ( ))
Ví dụ 2.6: cho một hệ Tagaki-Sugeno gồm hai luật điều khiển với hai đầu vào x1,x2 và đầu ra y
R 1 : If x 1 = BIG and x 2 = MEDIUM Then y 1 = x 1 -3x 2
R 2 : If x 1 = SMALL and x 2 = BIG Then y 2 = 4+2x 1 Đầu vào rõ đo được là x 1 * = 4 và x 2 * = 60 Từ hình bên dưới ta xác định được:
LX BIG (x 1 *) = 0.3 và LX BIG (x 2 *) = 0.35
LX SMALL (x 1 *) = 0.7 và LX MEDIUM (x 2 *) = 0.75
Từ đó xác định được: