BÀI tập CHƯƠNG 2 môn NHẬP môn điều KHIỂN HIỆN đại

B2.1 Simplify the block diagram shown in Figure 2-29 and obtain the closed-loop transfer function Cs/Rs... B2.2 Simplify the block diagram shown in Figure 2–30 and obtain the closed-loop

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA CƠ KHÍ

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 MÔN: NHẬP MÔN ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Tấn Tiến

Phạm Hải Long 1712028

Phạm Minh Tâm 1713052

Mô Võ Nhựt Quang 1612763

TP.HCM, Ngày 39 tháng 9 năm 2020

PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC B2.1 – B2.6 – B2.11 : Phạm Hải Long – 1712028

B2.2 – B2.7 – B2.12 : Mô Võ Nhựt Quang – 1612763

B2.3 – B2.8 – B2.13 : Lê Huỳnh – 1611376

B2.4 – B2.9 – B2.14 : Phạm Minh Tâm – 1713052

B2.5 – B2.10; tổng hợp bài tập : Bùi Trí Tài – 1713000

MỤC LỤC

Bài B2.1 -4

Bài B2.2 -5

Bài B2.3 -6

Bài B2.4 -7

Bài B2.5 -10

Bài B2.6 -11

Bài B2.7 -12

Bài B2.8 -14

Bài B2.9 -15

Bài B2.10 -15

Bài B2.11 -16

Bài B2.12 -17

Bài B2.13 -18

Bài B2.14 -18

B2.1 Simplify the block diagram shown in Figure 2-29 and obtain the closed-loop

transfer function C(s)/R(s)

Giải

Biến đổi hàm sơ đồ khối trên ta thu được:

Từ đó áp dụng công thức ra kết quả:

1 2

1 2 3 4

( )

G G

C s

R s G G G G





B2.2 Simplify the block diagram shown in Figure 2–30 and obtain the closed-loop

transfer function C(s)/R(s)

Giải

U =R−(C H1−C H2)=R−C H1+C H2

V =U +G1R=R−C H1+C H2+G1R

C=VG2=R G2−C H1G2+C H2G2+G1R G2

Vậy:

C+C G2H1−C G2H2=R G2+G1R G2

Nên:

C

R=

G2+G2G1

1+G2H1−G2H2

B2.3: Simlify the block diagram shown in Figure 2-31 and obtain the

close-loop tranfer function

Solution

C(s)

R(s)=

G1G2G3+G1G3G1

1+G2G2+G2G3H3+G3H1H3+G1G2G3+G1G3H1

B2.4Consider industrial automatic controllers whose control actions are proportional,

integral, plusintegral, plus-derivative, and proportional-plusintegral-plus-derivative The transfer functions of these controllers can be given, respectively, by

where U(s) is the Laplace transform of u(t), the controller output, and E(s) the Laplace transform of e(t), the actuat ing error signal Sketch u(t)-versus-t curves for each of the five types of controllers when the actuating error signal is

(a) e(t)=unit-step function

(b) e(t)=unit-ramp function

In sketching curves, assume that the numerical values of K p, K i,T p, and T i are given as

Giải

Kp = 4 Ki = 2 Ti = 2 (sec) Td = 0,8 (sec)

(a) e(t) = unit-step function =>

1 ( )

E s

s



(b) e(t) = unit-ramp function => 2

1 ( )

E s

s



(1) U(s) = KpE(s)

4

( ) ( ) 4

s

  

(a)

2

4 ( ) ( ) 4

s

  

(b)

(2) ( ) ( )

i K

s



2

2 ( ) ( ) 2

s

  

(a)

2 3

2 ( ) ( )

s

  

(b)

(3)

1 ( ) p 1 ( )

i

T s

 

   

 

2

1 1 4 2 ( ) 4 1 ( ) 4 2

2

s s s s

 

        

2

2 2 3

1 1 4 2 ( ) 4 1 ( ) 4

2

 

        

(4) U(s) = Kp(1 + Tds)

 1 4

( ) 4 1 0,8 3, 2 ( ) 4 3, 2

      

(a) (với δt rất bé)

  12 42 3, 2

( ) 4 1 0,8 ( ) 4 3, 2

      

(b)

(5)

1 ( ) p 1 d ( )

i

T s

    

2

1 1 4 2 ( ) 4 1 0,8 3, 2 ( ) 4 2 3, 2

2

           

(với δt rất bé)

2

2 2 3

1 1 4 2 3, 2 ( ) 4 1 0,8 ( ) 4 3, 2

2

           

2.5 Figure 2–32 shows a closed-loop system with a reference input and disturbance

input Obtain the expression for the output C(s) when both the reference input and disturbance input are present

Giải:

-Khi D(s) = 0, ta có hàm C R(s)/R(s):

C R(s)

R(s) = G c (s ) G p(s)

1+G c(s) G p(s)

-Khi R(s) = 0, ta có hàm C D(s)/D(s):

C D(s)

D(s) = 1+ G 1

c ( s) G p(s)

Mặt khác:

C(s) = C R(s) + C D(s) = G c (s ) G p(s)

1+ G c(s) G p(s) + 1+G 1

c ( s) G p(s)

= 1+ G 1

c ( s) G p(s)[G c (s ) G p (s ) R ( s)+ D ( x )]

2.6 Consider the system shown in Figure 2-33 Derive the expression for the

steady-state error when both the reference input R(s) and disturbance input D(s) are represent

Giải:

Ta xét trường hợp 1 khi chỉ có ảnh hưởng bởi Reference input R(s):

Lúc này ta suy ra:

( ) ( ) ( )

C s



Và

1 2

G s G s

G s G s G s G s

Do đó ta có:

1 2

( )

ssR t R s R

s

sR s

e t sE s

G s G s

e



Ta xét trường hợp 2 khi có ảnh hưởng bởi Disturbance input D(s):

Khi này ta có:

2

( ) ( )

C s



Mặt khác:E s D( )D s( )C s D( ) Vì ta muốn giá trị của disturbance input tiến đến 0 khi

thiết kế output mong muốn do đó D s( ) 0 E s D( ) C s D( ).

2

1 2

( ) ( ) ( )

D

G s D s

E s

G s G s

 

 Như vậy sai số của hệ thống:

2

1 2

( ) ( )

ssD t D s D

s

sG s D s

e t sE s

G s G s

e

Khi đó nếu kết hợp cả TH1 và TH2 ta thu được:

( )

ss ssR ssD

sG s D s R s G s D s

sR s

G s G s G s G s G s G s

e



B 2.7 Obtain the transfer functions C(s)/R(s) and C(s)/D(s) of the system shown in

Figure 2–34

Giải

K=G2(U G1+D)=U G1G2+G2D

K

U=

G2D

U +G1G2

Hàm truyền K/F từ Loop 1 – 1:

K

F=

G2D

U +G1G2

G2D H1

U +G1G2H1+1

Đặt

D

U=a

K

F=

G2a+G1G2

G2H1a+G1G2H1+1

Xét trường hợp cần tìm C(s)/R(s), ta cho D=0, nghĩa là a=0, ta có hàm K/F theo Loop

1 – 3 như sau:

K

F=

G1G2

G1G2H1+1

Viết làm toàn bộ hàm truyền khi xét Loop 1 – 4:

C

E=

G1G2G C G3

G1G2H1+1

Và hàm truyền C/R từ Loop 1-4:

C

R=

G1G2G C G3

G1G2H1+1

1+G1G2G C G3H2

G1G2H1+1

= G1G2GC G3

1+G1G2H1+G1G2G C G3H2

Xét trường hợp cần tìm C(s)/D(s), ta cho R=0, hàm truyền trở thành Loop 1 – 5

Theo Loop 1 – 5, toàn bộ cụm G C H2+H1/G3sẽ feed về G1, như vậy ta có Loop 1 – 6 Hàm truyền C/D từ Loop 1 – 6 là:

D=

G2G3

1+G2G3G c H2+G2G3 H1

G3

= G2G3

1+G2G3G c H2+G2H1

B2.8 Optain a state-space representation of the system shown in figure 2-35

Giải

Y (s )

U (s)=

s+z

s + p∗1

s2

1+

s+ z

s+ p∗1

s2

= s+ z

s3+p s2+s+z

The differential equation for the system is

⃛y + p ¨y + ˙y + zy= ˙u+ zu

We otain

a1=p ; a2=1 ;a3=z

b0=0 ;b1=0 ;b2=1 ;b3=z

We have

β0=b0=2

β1=b1−a1β0=0

β2=b2−a1β1−a2β0=1

β3=b3−a1β2−a2β1−a3β0=z− p

x1=y−β0u= y

x2= ˙x1−β1u= ˙x1

x3= ˙x2−β2u= ˙x2−u

Then

˙

x1=x2

˙

x2=x3+u

˙

x3=−a3x1−a2x2−a1x3+β3u=−z x1−x2−p x3+(z− p)u

Here, the state-space representation of the system is

[ ˙x1

˙x2

˙x3]=[ 00 10 01

−z −1 − p] [x1

x2

x3]+[ 01

z− p]u

y=[1 0 0 x]

B2.9 Consider the system described by

3 2

y y y u

   (*)

Derive a state-space representation of the system

Giải

Đặt

1

2

3





 



 







(*)

3 2

 





  

     



 

 

 

Vậy ta có mô hình không gian trạng thái:

3 3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 2 3 1

x x

       

       

       

             

 







;

3

1 0 0

x

x

 

 

  

 

B2.10 Consider the system described by

Obtain the transfer function of the system

Giải:

x Ax Bu

y Cx D



 A = [−4 −13 −1] ; B = [11]; C = [1 0]; D0.

Áp dụng công thức ta suy ra :

G(s) = C (sI −A )−1 B+D = [1 0][s+4−3 s +11 ][11]+0

= [1 0] 1

(s+ 1)( s+ 4)+3[s +1 −13 s+4][11]

= 1 [s+1 −1][11] = s

s2 5 s+7

Vậy G(s) = s

s2+5 s+7

B2.11 Obtain a system defined by the following state-space equations:

1

2

5 1 2

1 2

u

x

y

x

 

      

       

   

   

 

  

 





Obtain the transfer function G(s) of the system

Giải:

x Ax Bu

y Cx D





5 1

3 1

A   

   

  ;

2 5

B  

  

  ; C1 2 ; D0.

Áp dụng công thức ta suy ra :

1 1

1

( 1)( 5) 3

2

5

s

s

s







   

     

 

   

 

 

 





Kiểm tra lại bằng Matlab như sau:

˙

x1=x2

˙

x2=x3+u2

˙

x3=−2 x1−4 x2−6 x3+u1

y1=x1

y2=x2

Vậy:

X1s= X2

X2s= X3+U2

X3s=−2 X1−4 X2−6 X3+U1

Y1=X1

Y2=X2

Để giải trường hợp Y1/U1 ta cho U2=0, tất cả các biến còn lại chuyển về X1

X3=X2s=X1s2

U1=X3s+2 X1+4 X2+6 X3=X1s3

+2 X1+4 X1s+6 X1s2

Vậy:

Y1

U1=

1

s3+6 s2+4 s +2

Để giải trường hợp Y2/U2 ta cho U1=0, tất cả các biến còn lại chuyển về X2

X1=X2

s

X3=−2 X1−4 X2

−2 X2

s −4 X2

s +6 =X2.−2−4 s

s (s +6)

U2=X2s−X3=X2s+ X2 2+4 s

s (s+6)

Vậy:

Y2

U2=

1

s+ 2+4 s

s(s+6)

= s2

+6 s

s3+6 s2+4 s+2

B2.13 Linearize the nonlinear equation

z=x2+8 xy+ 3 y2

In the region defined by 2 ≤ x ≤ 4 ;10 ≤ y ≤ 12

Giải

Choose ´x=3 ; ´y=11

z−´z=K1( x−´x )+ K2(y− ´y )

Where

K1=∂ z

∂ x=2 ´x +8 ´y=94

K2=∂ z

∂ y=8 ´x+6 ´y=90

´

z=´x2+8 ´x ´y +3 ´y2=9+ 8∗3∗11+3∗121=636

Thus

z−636=94 ( x−3)+90 ( y−11)

Then

94 x +90 y −z−636=0

B2.14 Find a linearized equation for

y = 0,2x3

about a point x=2

Giải

y = f(x) = 0,2x3, x 2

Khai triển Taylor hàm đã cho ta có:

( ) ( ) ( )

x x

f

x 





Vì các hệ số bậc cao của phương trình này rất nhỏ nên bỏ qua các hệ số này ta có:

( ) '( )( ) 0, 2.2 0,6.2 ( 2)

y f x  f x x x   x

Vậy hàm tuyến tính xấp xỉ với hàm đã cho là: y = 2,4x – 3,2