Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.. Khi lấy ra k phần tửtrong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự
Trang 1Bài tập Toán khối 11
PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1 Hai cung đối nhau: -x và x
+ = −+ = −+ =+ =
6 Công thức cộng lượng giác
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
21
Trang 2Bài tập Toán khối 11
A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Cho sin 3 < < 3 Tính cos ,tan ,cot
p
Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 (180 < a < 270 o o).Tính sina , tana, cota
Bài 3: Cho tan15o = -2 3 Tính sin15 ,cos15 ,cot15 o o o
Bài 4: Tính A tan x cot x
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx
Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
1 tan x-tan y sin x-sin y
1+cosx tan x.tan y sin x.sin y
Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x
sin x+cos x+3cos x-1
Trang 3Bài tập Toán khối 11
Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với
III/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 15 ,75 ,105 ,285 ,3045o o o o o
Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299, , , ,
12 12 12 12 12
Trang 4Bài tập Toán khối 11
Bài 14: Tínhtan
4
p a
Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:
A cos x cos2 2 x cos2 x B sin x sin2 2 2 x sin2 2 x
a / cos a b cos a b cos a sin b cos b sin a
b /sin a b sin a b sin a sin b cos b cos a
c /sin a b cos a b sin a cosa sin bcosb
d /sin a sin a 2 sin a
Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh:
Trang 5Bài tập Toán khối 11
Công thức biến đổi:
Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x;
f / sin x sin x cos 2x; g / 4cos a b cos b c cos c a
Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
a / cos 4xd / sin a( bcos3x; b / cos3x cos6x; c / sin 5x) sin a( b ; e / tan a) ( b) tan a; f / tan 2a tan asin x
-Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = 1
4cosA.cosB.cosC13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin sin cos
( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23: Chứng minh DABC vuông nếu:
Trang 6Bài tập Toán khối 11
Bài 25: Chứng minh DABC đều nếu:
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1
2
x x
II Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin2(-x) = [ ]2
sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x D∈ ⇒ − ∈ ∀x D x,
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có 3 khả năng
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y = 1
2tan2x 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x
III Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác
Trang 7Bài tập Toán khối 11
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (−π + πk2 ; 2k π)
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2 ;π π + πk2 )
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ;
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ π + π; k )
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [−π π; ]
IV Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý : − ≤1 sinx 1 ; -1 cosx 1≤ ≤ ≤ ; 0 ≤sin2 x ≤1 ; A2 + B ≥B
Trang 8Bài tập Tốn khối 11
7) y = sin2 x−4sinx + 3 8) y = 4 3 os 3− c 2 x +1
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ ]a b; thì m[ ]a ;ax ( )b f x = f b( ) ; min ( )[ ]a ;b f x = f a( )
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ]a b; thì m[ ]a ;ax ( )b f x = f a( ) ; min ( )[ ]a ;b f x = f b( )
π2
2
k v u
k v u
( k ∈ Z )cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π ( k ∈ Z )tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈
Z )cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 +
b2 ≠ 0
Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ a2 +b2.cos(x−ϕ) = c với
2 2
cos
b a
Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z
Với x ≠ π + kπ đặt t = tan
Trang 9Bài tập Tốn khối 11
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 - c2 ≥ 0
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1 3cosx−sinx = 2 , 2 cosx− 3sinx=−1
3 3sin3x− 3cos9x=1+4sin33x, 4
4
1)4(cossin4 x+ 4 x+π =
5 cos7x−sin5x= 3(cos5x−sin7x), 6 tanx−3cotx=4(sinx+ 3 cos )x
7 3(1 cos 2 ) cos
2sin
x
x x
sin 2 sin
2
x+ x=
4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5
9 6sin 32 x+cos12x=4 10 4sin4x+12cos2x=7
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0
Cách 1 :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm
• Xét cosx≠0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t
2
π
+ kπ ,k∈Z
Bài tập :
1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2
2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0
3 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4
Trang 10Bài tập Tốn khối 11
4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
sin sin 2 2cos
2
6/ Phương trình dạng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2 khi đó sinxcosx
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện − 2 ≤t ≤ 2 khi đó sinxcosx =
2
1−t2
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7 Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 =
x
cos
3 , 6/ 4sin4+12cos2x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx 2/ x cos2x
3
4cos = ĐS : x = k3π , x= ±
Trang 11Bài tập Tốn khối 11
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =21
7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x
11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x
II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x=
8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin3x + cos3x = 23sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) +sinxcosx + 6 = 0
Trang 12Bài tập Tốn khối 11
5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/
3
10cossin
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )
IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2
3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x
= cos34x +
4
1
sincos
4 2
3sin3cos(sin
x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/
2 4
x
−+ =
19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan
2
x
) 20/ cotx – 1 = cos 2 2 1
D TỔ HỢP
Tĩm tắt giáo khoa
Trang 13Bài tập Toán khối 11
I Quy tắc đếm
1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B.
Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi
đó, công việc được thực hiện theo n + m cách
2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc đượcthực hiện bởi n.m cách
II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1 Hoán vị:
a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự
định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A
b Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n
2 Chỉnh hợp:
a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số k ∈ ¥mà 1 k n ≤ ≤ Khi lấy ra k phần tửtrong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được mộtphép chỉnh hợp chập k của n phần tử
a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈ ¥ mà 1 k n ≤ ≤ Một tập hợp con của
A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
b Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k
n
C là: kn ( ) ( ) ( )
n n 1 n k 1 n!
Trang 14Bài tập Toán khối 11
Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A
hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu
khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Cho tập A ={0;1; 2;3; 4} Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọntrong số các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập A ={1, 2,3, 4,5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
• Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n
• Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ
ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ
nối hai điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập A ={0,1, 2,3, 4,5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập
được bao nhiêu tam giác?
Dạng 5: Tìm n ∈ ¥ * trong phương trình chứa k k
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b) n
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
Trang 15Bài tập Toán khối 11
+ =∑ khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)
Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11
Bài 11: Trong khai triển
, (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x
Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 2( ) 8
Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau
1) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3 x)- 25
2) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2 x )- 2 25
3) Số hạng không chứa x trong khai triển
121xx
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau
1) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4
3) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8 éêë1 x (1 x)+ 2 - ùúû8
4) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 ( 2 3)10
1 x+ +x +x5) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 (x2- x+2)10
6) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4 (1 x+ +3x )2 10
7) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển:3
Trang 16Bài tập Tốn khối 11
Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị
E CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn
hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai
Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n =
1, 2, )
Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong
đó tất cả các số hạng đều bằng nhau
Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu
÷ u1, u2, , un,
2 Số hạng tổng quát
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có
số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức:
un = u1 + (n - 1)d
3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số
hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là
u (k ≥ 2)
Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng
44/
u a
Bài 2: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng
cuối là 12 và có tổng bằng 30
Trang 17Bài tập Tốn khối 11
Bài 3: Cho cấp số cộng:
=+
=
−+
26
10
6 4
3 5 2
u u
u u u
Tìm số hạng đầu và công sai của nó
Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25
và tổng các bình phương của chúng là 165
Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số
hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140
Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông
biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25
Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u1, u2, u3,
Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147
Tính u1 + u6 + u11 + u16
Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80.
Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của
chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là
30 Tìm cấp số đó
Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10.
35
19/
2
129
14/
1
9 5 13
5 3
u u S
u u
31/
4
245
9/
3
9 4
10 3 6 4
u u
u u S S
Bài 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18.
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên
Bài 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20 và S20
Trang 18Bài tập Tốn khối 11
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên ĐS: S20 = 1350
CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ:
1 Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn
hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội
Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có
u1, u2, , un,
2 Số hạng tổng quát
Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được
cho bởi công thức:
un = u1q n−1 (q≠0)
3 Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số
hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là:
u k = u k−1.u k+1 (k≥2)
4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
Cho một cấp số nhân với công bội q ≠ 1
u1, u2, ,un,
n
n (q ≠1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1
2/ Cho q =
4
1
, n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6
Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486.
Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó
Trang 19Bài tập Tốn khối 11
Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết:
2 4
u u
u u
Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12,
+
=+
+
351
13
6 5
4
3 2
1
u u
u
u u
u
hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai
Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng
là 21 Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó