CHUYÊN ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA SỐ TỰ NHIÊN
Dạng 4: Một số bài toán khác
Thí dụ 1. Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần ?
Hướng dẫn giải Bài toán xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Không dùng luỹ thừa thì số lớn nhất viết được là 321.
Trường hợp 2: Dùng luỹ thừa để viết: (Bỏ qua trường hợp cơ số hoặc số mũ bằng 1 và các luỹ thừa tầng vì các giá trị này quá nhỏ so với 321)
* Xét các luỹ thưa có số mũ là một chữ số cho ta số tự nhiên có 4 chữ số là:
2 2 3 3
13 ,31 ,12 ,21 , trong các số này số lớn nhất là 21 . 3
* Xét các luỹ thưa mà số mũ có hai chữ số cho ta số tự nhiên có 4 chữ số là:
13 31 12 21
2 ,2 ,3 ,3 , nhận xét các số này như sau:
= = =
21 20 2 10 10
3 3.3 3.(3 ) 3.9 ,
= = =
31 30 3 10 10
2 2.2 2(2 ) 2.8 , do đó trong các số này thì số lớn nhất là 321.
So sánh 321 và 21 : 3
> = = >
21 9 3 3 3 3
3 3 (3 ) 27 21
Vậy số lớn nhất viết được là số 321 .
Thí dụ 2.
a) Số 58 có bao nhiêu chữ số ?
b) Hai số 2 và 2003 52003 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?
Phân tích: So sánh lũy thừa với một số luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của số đó.
Hướng dẫn giải a) Ta có:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
= = > =
= = < =
8 4 2 2 2
8 8 8
5 (5 ) 625 600 360000 10 100000000 100000000
5 400000
256 250
2
⇒360000 5< 8 <400000.
Do đó 58 có 6 chữ số.
b) Giả sử 2 có a chữ số và 2003 52003 có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được (a b)+ chữ số.
Vì 10a 1− <22003 <10a và 10b 1− <52003<10b
− −
⇒10 .10a 1 b 1<2 .52003 2003 <10 .10a b
+ − +
⇒10a b 2 <102003<10a b.
Do đó: 2003 a b 1 a b 2004 = + − ⇒ + = . Vậy số đó có 2004 chữ số.
Thí dụ 2. Tìm số 5các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:
a) n 8 . 15= 3 5. b) m 4 . 5= 16 25.
Phân tích: Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của số đó.
Hướng dẫn giải a) Ta có:
( ) ( ) ( )
= = =
= = =
3 5
3 5 3 9 5 5
4 5 5 5 5
n 8 . 15 2 . 3.5 2 . 3 . 5
2 . 3 . 2.5 16.243 .10 3888. 10 .
Số 3888.105 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.
Vậy số n có 9 chữ số.
b) Ta có:
( ) ( )
= =
= = =
16 25 2 16 25
32 25 7 25 25 25
m 4 . 5 2 . 5
2 .5 2 . 2 .5 128.10 .
Số 128.1025 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số.
Vậy số m có 28 chữ số.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
C/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1. So sánh:
a) 2435 và 3.275. c) 6255 và 1257. Bài 2: So sánh:
e) 9920 và 999910. b) 3500 và 7300. d) 202303 và 303202. e) 111979 và 371320. Bài 3: So sánh:
c) 85 và 3.4 .7 f) 1010 và 48.50 .5
i) 230+330+430 và 3.2410. g) 199010+19909 và 1991 .10 Bài 4: So sánh các số sau: 19920 và 200315.
Bài 5: So sánh:
a) 7812 −7811 và 7811−7810.
b) A 72= 45−72 và 44 B 72= 44−72 . 43 Bài 6: So sánh các số sau: 339 và 11 . 21 Bài 7. Chứng tỏ rằng: 527 <263 <528. Bài 8: Chứng minh rằng: 21995<5863. Bài 9: Chứng minh rằng: 21999<7714. Bài 10. So sánh: 3200 và 2300. Bài 11: So sánh: 7150 và 3775.
Bài 12: So sánh các số:
a) 5020 và 255010. b) 99910 và 9999995.
Bài 13: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2 ; 3100 75 và 550. Bài 14: So sánh 2 số: 123456789 và 567891234.
Bài 15: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh m với 10.98.
Bài 16: Cho A 1 2012 2012 2012 2012= + + 2+ 3+ 4 +… + 201271+201272 và B 2012= 73−1. So sánh A và B.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Bài 17: So sánh hai biểu thức: B=3 .11 3 .510 9 4+ 10 3 .2 và
= 2 .13 2 .6510 8+ 10 C 2 .104 .
Bài 18: So sánh: M= 33 + 74
8 8 và N= 73 + 34
8 8 .
Bài 19: So sánh M và N biết: = + +
30 31
19 5 M 19 5 và
= + +
31 32
19 5 N 19 5. Bài 20: So sánh 12 + 12 + 12 + 1 2 + 12
101 102 103 104 105 và 2 1 2 2 .3.5 .7. Bài 21: So sánh = − − − −
2 2 2 2
1 1 1 1
A 1 . 1 . 1 ... 1
2 3 4 100 và −1
2. Bài 22: Tìm các số tự nhiên n sao cho:
a) 3 3< n ≤234. b) 8.16 2≥ n ≥4.
Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 4 . 915 15 <2 . 3n n <18 . 216 16.
Bài 24: Cho A 3 3 3= + +2 3+… +. 3100. Tìm số tự nhiên n, biết 2A 3 3+ = n. Bài 25: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2m −2n =256.
Bài 26: Tìm số nguyên dương n biết:
a) 64 2< n <256. b) 243 3> n ≥9.
Bài 27: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: n200<6300. Bài 28: Tìm n ∈ N biết:
a) 32 2< n<512. b*) 318 <n12≤208.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.
Định hướng tư duy: Nhận thấy, ở câu a) thì 243 và 27 là các cơ số liên quan tới lũy thừ cơ số 3, ở câu b) thì 625 và 125 liên quan tới lũy thừa cơ số 5. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số, rồi dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với nhau.
Lời giải:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
a) Ta có: 2435 =( )35 5 =325; 3.275 =3. 3( )3 5=3.315 =316
Vì 316<325⇒3.275 <2435. b) 6255 =(5 )4 5 =5 ;125 (5 )20 = 3 7 =521
Vì 521>520 ⇒1257 >6255. Bài 2:
Phân tích: Nhận thấy, ở câu a) thì các lũy thừa có chung số mũ 10, ở câu b) thì các lũy thừa có chung số mũ 100, ở câu c) thì các lũy thừa có chung số mũ 101, ở câu d) các lũy thừa có chung số mũ 660. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng số mũ, rồi dựa vào so sánh cơ số để so sánh chúng với nhau.
Lời giải:
a) Ta thấy: 9920 =( )992 10 =(99.99 ;9999)10 10 = 99.101( )10
Vì (99.99) (10< 99.101)10 ⇒9920<9999 .10
b) Ta có : 3500 =( )35 100 =243100, 7300 =( )73 100 =343100.
Vì 243100 <343100 nên 3500 <7300. c) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
= 3.101= 101= 101 = 101
303 3 3 2
202 2.101 2 .101 8.101.101 808.101
( ) ( ) ( )
= 2.101= 101= 101
202 2 2 2
303 3.101 3 .101 9.101 Vì 808.101 9.1012 > 2 nên 202303 >303202. d) Ta có:
( )
< = 660 =
1979 1980 3 660
11 11 11 1331 (1)
( )
= 660 =
1320 2 660
37 37 1369 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 111979 <37 .1320 Bài 3:
a) Ta có: 85 =215 =2.2 3.414, 7 =3.214 Vì 2 3< ⇒2.214 <3.214⇒ 85 <3.4 .7
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
b) Ta có :
= =
10 10 10 9 10
10 2 . 5 2. 2 . 5 , 48. 505 =(3. 2 . 2 . 54) ( 5 10)=3. 2 . 59 10 Vì 2 3< ⇒2. 2 . 59 10<3. 2 . 59 10⇒1010 <48. 50 .5
c) Ta có: 430 =(2 )2 30 =(2.2)30 =2 .230 30 =(2 ) .(2 )3 10 2 15 =8 .4 , 10 15 24 .3 (8.3) .3 8 .3 .3 8 .310 = 10 = 10 10 = 10 11
Vì 311 <415 ⇒8 .310 11 <8 .410 15⇒430 >3.2410 ⇒230+330+430 >3.2410.
d) Ta có :
( )
+ = + =
10 9 9 9
1990 1990 1990 . 1990 1 1991. 1990
10= 9
1991 1991. 1991
Vì 19909 <19919 nên 199010+19909 <1991 .10 Bài 4:
Biến đổi an về dạng: c.dk, biến đổi bmvề dạng: e d. k rồi so sánh hai số c và e. Từ đó so sánh được hai số an và bm.
19920<20020=(8.25)20 =(2 .5 )20 (2 .5 )3 2 = 3 2 20 =2 .560 40 200315>200015 =(16.125)15 =(2 .5 )4 3 15 =(2 .5 )4 3 15 =2 .560 45
Vì 545>540⇒2 .560 45>2 .560 40⇒200315 >19920. Bài 5:
Biến đổi an về dạng: c.dk, biến đổi bmvề dạng: e d. k rồi so sánh hai số c và e. Từ đó so sánh được hai số an và bm.
a) Ta có: 7812−7811=78 . 78 111( − =) 78 .7711
7811−7810 =78 . 78 110 ( − =) 78 .7710
Vì 7811 >7810⇒78 .77 78 .7711 > 10 ⇒7812 −7811 >7811−7810. b) Ta có
= 44 − = 44
A 72 (72 1) 72 .71 và B 72 (72 1) 72 .71 = 43 − = 43
44 43 44 43
72 >72 ⇒72 .71 72 .71> ⇒A B.>
Bài 6:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Dùng tính chất bắc cầu: So sánh hai số với số lũy thừa 10.
Ta có: 339 <340 =(3 )4 10 =8110
= = <
20 2 10 10 21
11 (11 ) 121 11
Vì 8110 <12110 ⇒339 <1121. Bài 7.
Với bài này , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên có thể gợi ý học sinh so sánh: 263 >5 27 và 263 <528.
Ta có : 263 =( )27 9 =1289, 527 =( )53 9 =1259 ⇒263 > 527 (1)
Lại có: 263 =( )29 7 =5127, 528 =( )54 7 =6257 ⇒263 <528 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 527<263<52. Bài 8:
Xét: an biến đổi được về dạng: cq.dk bmbiến đổi được về dạng: ep.gh Nếu cq <ep và dk <ghthì cq.dk <ep.gh. Ta có: 21995=21990.25; 5863 =5860.53
Nhận xét: 25=32 5< 3=125 nên cần so sánh 2 và 1990 5860. Có: 210 =1024, 5 3025 5 = ⇒2 . 3 510 < 5⇒2 . 3 51720 172< 860.
Có: 21990 =2 .21720 270, cần so sánh 2 .21720 270 với số 2 .31720 172như sau:
= = ⇒ >
7 11 7 11
3 2187; 2 2048 3 2 .
3172=( )37 24. 34 >( )2 211 4 >( )2 . 211 6 =2270.
Do đó: 2 .21720 270 <2 . 31720 172 < 5860 ⇒21990 5< 860 Mà 2 55< 3 ⇒ 21995 <5863.
Bài 9:
Ta có: 210=1025 ; 7 3433=
( ) ( )
⇒210 < 3.73 ⇒ 210 238 < 3 . 7238 3 238
⇒ 22380 <3 .7238 714 (1)
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Xét: 3238 =3 .33 235=3 . 33 ( )5 47<3 23( )8 47 < 2 .25 376=2381 (vì 35 <28)
⇒3238<2381 (2)
Từ (1) và (2), ta có: 22380< 2 .7381 714
⇒21999 <7714 Bài 10.
Đưa về so sánh hai lũy thừa cùng số mũ.
Ta có: 3200 =( )32 100 =9 ; 2100 300 =( )23 100 =8100 mà 8100<9100
⇒2 3300< 200. Bài 11:
Biến đổi an về dạng: c.dk, biến đổi bmvề dạng: e d. k rồi so sánh hai số c và e. Từ đó so sánh được hai số an và bm.
Ta có: 7150 <7250 =( )8.9 50 =2 .3150 100 (1)
3775 >3675 =( )4.9 75 =2 . 3150 150 (2)
Mà 2150. 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), và (3) suy ra: 3775>7150 .
Bài 12:
a) Ta có: 5020 =( )50 210=250010<255010 ⇒520<255010.
b) Ta có: 99910 =( )999 25 <998001 9999995 < 5 ⇒99910 <9999995. Bài 13:
= = <
100 2 50 50 50
2 (2 ) 4 5 (1).
= = = >
75 3 25 75 50
3 (3 ) 27 3 5 (2).
= =
50 5 25 25
5 (5 ) 25 (3).
Từ(1),(2) và (3) ⇒2100<550 <375. Bài 14:
Ta có: A=123456789 >100050000 =( )103 50000 =10150000
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
B=567891234<1000002000 =( )105 2000=1010000
Vì 1010000<10150000 ⇒567891234 <123456789. Bài 15:
Số có 9 chữ số là a a1 2....a a8 9 trong đó các chữ số ai ≠0 (i=1; 9)và có thể giống nhau.
Từ tập hợp số {1;2;3;4;5;6;7;8;9} mỗi chữ số ai có 9 cách chọn . Do đó ta có số các số có 9 chữ số thỏa mãn bài toán là m=99 số.
Từ đó: m=99 =9.98 <10.98. Bài 16:
Ta có: A 1 2012 2012= + + 2 +20123 +20124 +… + 201271+201272
= + 2+ 3+ 4+… + 71+ 73
2012.A 2012 2012 2012 2012 2012 2012
⇒2012.A – A 2011A 2012 – 1= = 73
( )
⇒A= 2012 – 1 : 2011 201273 < 73−1. Vậy A B< .
Bài 17:
B=3 .11 3 .5 3 (11 5)10 9 4+ 10 = 10 9 + =3.
3 .2 3 .16
+ +
=2 .13 2 .65 2 (13 65) 2 .7810 8 10 = 10 8 = 2 =
C 3
2 .104 2 .104 104 . Vậy B = C.
Bài 18:
Ta có: 33 + 74
8 8 = 33 + 34 + 44
8 8 8 = 3 + 4+ 4
3 3 4
8 8 8 .
73 + 34
8 8 = 33 + 43 + 34
8 8 8 = + +
3 4 3
3 3 4
8 8 8 .
Vì 44 < 43
8 8
⇒ + + <
3 4 4
3 3 4
8 8 8
+ +
3 4 3
3 3 4
8 8 8
⇒ M < N . Bài 19:
M = nên 19M = = = 1 + .
5 19
5 19
31 30
+ +
5 19
) 5 19 .(
19
31 30
+ +
5 19
95 19
31 31
+ +
5 19
90
31 +
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
N = nên 19N = = = 1 + .
Vì >
1 + > 1 + hay 19M 19N M N> ⇒ > . Bài 20:
Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:
− − − +
− = = = >
− − − − 2
1 1 n (n 1) n n 1 1 1
n 1 n (n 1).n (n 1).n (n 1)n n
⇒ < −
2 −
1 1 1
n 1 n
n .
Áp dụng vào bài toán ta được:
< −
< −
< −
2
2
2
1 1 1
100 101
1011 1 1
101 102 ...102
1 1 1
104 103 105
⇒ 12 + 1 2 + +... 12 < 1 − 1 100 105
101 102 105
=105 100− = 2 25 = 2 21 100.105 2 .5 .5.3.7 2 .5 .3.7. Vậy 12 +...+ 12 < 2 12
102 105 2 .5 .3.7. Bài 21:
A là tích của 99 số âm. Do đó:
− = − − − −
2
1 1 1 1
A 1 1 1 ... 1
4 9 16 100
= 3 8 152. . ...2 2 99992
2 3 4 100
=1.3 2.4 3.52 . 2 . 2 ...99.1012
2 3 4 100 .
Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau:
5 19
5 19
32 31
+ +
5 19
) 5 19 .(
19
32 31
+ +
5 19
95 19
32 32
+ +
5 19
90
32 +
5 19
90
31 + 19 5
90
32 +
5 19
90
31+ 19 5
90
32 +
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
− =A 1.2.3.4.5.6...98.99 3.4.5...100.101. = 1 101 101 1. = >
2.3.4.5...99.100 2.3.4...99.100 100 2 200 2 Vậy A< −1.
2 Bài 22:
Đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số . a) 3 3< n ≤234⇒31<3n ≤35⇒ < ≤1 n 5
⇒n nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5.
b) 8.16 2≥ n ≥ ⇒4 2 .23 4 ≥2n ≥22 ⇒27 ≥2n ≥22 ⇒ ≥ ≥7 n 2
⇒n nhận các giá trị là: 2,3,4,5,6,7. Bài 23:
( ) ( ) ( )
< < ⇒ < <
15 15 n n 16 16 15 n 16
4 . 9 2 . 3 18 . 2 4.9 2.3 18.2
⇒3615 <6n <3616
( ) ( )
⇒ 62 15 <6n < 62 16
⇒630 <6n <632
⇒30 n 32< <
⇒ =n 31.
Bài 24:
Có A 3 3= + 2 +33+… +. 3100
⇒3A 3= 2+33+34+…+3101
⇒3A – A 2A 3 – 3= = 101 ⇒2A 3 3+ = 101
Mà theo đề bài ta có 2A 3 3+ = n
⇒3101=3n ⇒ =n 101. Bài 25:
Ta có: 2m −2n =256 2= 8 =>2 (2n m n− − =1) 28 (1).
Dễ thấy m n , ta xét 2 trường hợp: ≠
Trường hợp 1: Nếu m n 1− = thì từ (1) ta có:
− = ⇒ = ⇒ =
n 8 n 8
2 .(2 1) 2 2 2 n 8 và m 9= .
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Trường hợp 2: Nếu m n 2− ≥
⇒2m n− −1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau.
Vậy n 8= và m 9= là đáp số duy nhất.
Bài 26:
a) Ta có: 64 2< n <256 2⇒ 6 <2n <2 6 n 88⇒ < < , mà n nguyên dương, nên n 7.= b) Ta có: 243 3> n ≥ ⇒9 3 35 > n ≥3 5 n 22⇒ > ≥ , mà n nguyên dương nên n nhận các giá trị là: 4; 3; 2.
Bài 27:
Ta có: n200=( )n2 100; 6300 =( )63 100 216= 100 ( )
< ⇒ 100 < ⇒ <
200 300 2 100 2
n 6 n 216 n 216 (*)
⇒ Số nguyên lớn nhất thoã mãn (*) là n 14= . Bài 28:
a) Với n ∈ N, ta xét:
< n ⇔ 5 < n ⇒ <
32 2 2 2 5 n
2n <512⇔2n <29 ⇒ <n 9
Do đó: 5< < ⇒ ∈n 9 n {6;7;8}. b) Với n ∈ N, ta xét:
( ) ( )
< ⇔ 6 < 6 ⇔ < ⇔ <
18 12 3 2 3 2 2
3 n 3 n 3 n 27 n
Nhận thấy: 52 <27 6< 2, nên 62 ≤n2 ⇒ ≤6 n.
n12 ≤208 ⇔( ) ( )n3 4 < 202 4 ⇔n3 <202 ⇔n3 <400
Nhận thấy: 73 <400 8< 3, nên n3 ≤73 ⇒ ≤n 7 Do đó: 6≤ ≤ ⇒ ∈n 7 n { }6;7 .
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC