CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LỊCH SỬ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
Số nguyên tố được nghiên cứu từ nhiều thế kỉ trước công nguyên nhưng cho đến nay nhiều bài toán về số nguyên tố vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn.
1) SÀNG ƠRATOSTEN (EURATOSTHENE).
Làm thế nào để tìm được tất cả các số nguyên tố trong một giới hạn nào đó, chẳng hạn từ 1 đến 100 ?
Ta làm như sau: Trước hết xóa số 1.
Giữ lại số 2 rồi xóa tất cả các bội của 2 mà lớn hơn 2.
Giữ lại số 3 rồi xóa tất cả các bội của 3 mà lớn hơn 3.
Giữ lại số 5 (số 4 đã bị xóa) rồi xóa tất cả các bội của 5 mà lớn hơn 5.
Giữ lại số 7 (số 6 đã bị xóa ) rồi xóa tất cả các bội của 7 mà lớn hơn 7.
Các số 8, 9, 10 đã bị xóa. Không cần xóa tiếp các bội của các số lớn hơn 10 cũng kết luận được rằng không còn hợp số nào nữa.
Thật vậy, giả sử n là một hợp số chia hết cho 1 số a lớn hơn 10 thì do n<100, a >10 nên n phải chia hết cho 1 số b nhỏ hơn 10, do đó n đã bị xóa.
Nhà toán học cổ Hi Lạp Ơratoxten (thế kỉ III trước công nguyên) là người đầu tiên đưa ra cách này. Ông viết các số trên giấy cỏ sậy căng trên một cái khung rồi dùi thủng các hợp số được một vật tương tự như cái sàng: các hợp số được sàng qua, các số nguyên tố dược giữ lại. Bảng số nguyên tố này được gọi là sàng Ơratoxten.
Ví dụ:
Dùng bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 100, hãy nêu ra cách kiểm tra một số nhỏ hơn 10000 có là số nguyên tố không ? Xét bài toán trên với các số 259, 353.
Giải.
Cho số n < 10000 (n>1). Nếu n chia hết cho một số k nào đó (1 <k <n) thì n là hợp số.
Nếu n không chia hết cho mọi số nguyên tố p (p2 ≤n). thì n là số nguyên tố.
Số 259 chia hết cho 7 nên là hợp số.
Số 353 không chia hết cho tất cả các số nguyên tố p mà p2 ≤353 (đó là các số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17) nên 353 là số nguyên tố.
2) SỰ PHÂN BỐ SỐ NGUYÊN TỐ
Từ 1 đến 100 có 25 số nguyên tố, trong trăm thứ hai có 21 số nguyên tố, trong trăm thứ 3 có 16 số nguuyeen tố, ... Trong nghìn đầu tiên có 168 số nguyên tố, trong nghìn thứ hai có 145 số nguyên tố, trong nghìn thứ ba có 127 số nguyên tố, ... Như vậy càng đi xa theo dãy số tự nhiên, các số nguyên tố càng thưa dần.
Ví dụ:
Có tồn tại một nghìn số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số ?
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Giải.
Có. Gọi A = 2. 3. 4. ...1001. Các số A + 2, A +3, ...., A + 1001 là 1000 số tự nhiên liên tiếp và rõ ràng đều là hợp số (đpcm).
Một vấn đề được đặt ra: có những khoảng rất lớn các số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số. vậy có thể đến một lúc nào đó không còn số nguyên tố nữa không ? Có số nguyên tố cuối cùng không ? Từ thế kỉ III trước công nguyên, nhà toán học cổ Hi lạp Ơclit đã chứng minh rằng: Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
Ví dụ.
Chứng minh rằng không thể có hữu hạn số nguyên tố.
Giải.
Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p p1, 2,...,pn trong đó pn là số lớn nhất trong các số nguyên tố.
Xét số A= p p1 2...pn+1 thì A chia hết cho mỗi số nguyên tố pi, (1≤ ≤i n) đều dư 1 (1).
Mặt khác A là hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là pn) do đó A phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, tức là A chia hết cho một trong các số pi (1≤ ≤i n) (2), mâu thuẫn với (1).
Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố (đpcm).
Qua sự phân bố các số nguyên tố, nhà toán học Pháp Bectơrăng đưa ra dự đoán: nếu n
> 1 thì giữa n và 2n có ít nhất một số nguyên tố. Năm 1852, nhà toán học Nga Trêbưsép đã chứng minh được mệnh đề này.Ông còn chứng minh được:
Nếu n > 3 thì giữa n và 2n - 2 có ít nhất một số nguyên tố. Ta cũng có mệnh đề sau: Nếu n >5 thì giữa n và 2n có ít nhất 2 số nguyên tố.
Ví dụ.
Cho số tự nhiên n > 2. Chứng minh rằng số n! - 1 có ít nhất một ước nguyên tố lớn hơn n.
Giải.
Gọi a = n! - 1. Do n > 2 nên a > 1. Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước nguên tố. Gọi p là ước nguyên tố của a. ta sẽ chứng minh rằng p > n.
Thật vậy giả sử p≤n thì tích 1. 2. 3...n chia hết cho p, ta có n! chia hết cho p, mà a chia hết cho p nên 1 chia hết cho p, vô lí.
3) CÔNG THỨC CHO MỘT SỐ NGUYÊN TỐ Ví dụ:
a) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố m lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng 6n + 1 hoặc 6n - 1 (n∈N).
b) Có phải mọi số có dạng 6n±1 (n∈N) đều là số nguyên tố hay không?
Giải:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
a) Mỗi số tự nhiên khi chia cho 6 có một trong các số dư 0, 1, 2, 3, , 5. Do đó mọi số tự nhiên đều viết được dưới một trong các dạng 6n−2, 6n−1, 6 , 6n n+1, 6n+2, 6n+3. Vì m là số nguyên tố lớn hơn 3 nên m không chia hết cho 2, không chia hết cho 3, do đó m không có dạng 6n−2, 6 , 6n n+2, 6n+3. vậy m viết được dưới dạng 6n +1 hoặc 6n - 1 (ví dụ: 17 = 6. 3 - 1, 19 = 6. 3 + 1).
b) Không phải mọi số có dạng 6n±1(n∈N) đều là số nguyên tố. Chẳng hạn 6. 4 + 1= 25 không là số nguyên tố (đpcm).
Liệu có công thức nào mà với mọi giá trị tự nhiên của chữ đều cho ta các số nguyên tố không ? Cho đên nay, người ta chưa tìm thấy một công thức như vậy. Tuy nhiên có một số biểu thức mà với khá nhiều giá trị của chữ, biểu thức đó cho ta các số nguyên tố.
Biểu thức 2n2+29 cho ta các giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, ... ,28.
Biểu thức n2 + +n 41 do Ơ_le (Euler 1707 - 1783) đưa ra cho các giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, ..., 39 (còn n = 40 thì 402+40+41=40(40 1)+ +41 chia hết cho 41).
Biểu thức n2−79n+1601 cũng cho các giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, ...., 79 (còn với n
= 80 thì biểu thức bằng 412).
Số Phec-ma. Nhà toán học kiêm luật gia Pháp Phec- ma (Pierre de Fermat 1601 - 1665) xét biểu thức 2m +1 trong đó m = 2n với n = 0, 1, 2, 3, 4 cho các số nguyên tố 2 + 1 = 3, 22 + 1 = 5, 24 + 1 = 17, 28 + 1 =257, 216 + 1 = 65537. Với n = 5, được số 232 + 1 = 4294967297, Phec- ma cho rằng đó cũng là số nguyên tố và ông đưa ra giả thuyết: Biểu thức 2m + 1 với m là lũy thừa của 2 cho ta các số nguyên tố.
Ý kiến này đứng vững rất lâu. Mãi đến năm 1732, Ơ- le mới bác bỏ giả thuyết trên bằng cách chỉ ra số 232+1 chia hết cho 641. Đây là một trong các ví dụ điển hình nhất chứng tỏ rằng phép quy nạp không hoàn toàn có thể dẫn đến sai lầm.
Các số có dạng 2m + 1 với m là một lũy thừa của 2 được gọi là số Phec- ma.
4). BIỂU DIỄN MỘT SỐ DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC SỐ NGUYÊN TỐ.
Năm 1742 nhà toán học Đức Gôn_bách viết thư báo cho Ơ_le biết rằng ông mạo hiểm đưa ra bài toán: mọi số tự nhiên lớn hơn 5 đều biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố. Ơ_ le trả lời rằng theo ông, mọi số chẵn lớn hơn 2 đều biểu diễn được dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố.
Nếu chứng minh được một trong hai mệnh đề trên thì chứng minh được mệnh đề còn lại. Trong 200 năm, các nhà toán học thế giới không giải được bài toán Gôn bách- Ơ le. Đến năm 1937, nhà toán học Liên Xô Vinôgrađốp đã giải quyết gần trọn vẹn bài toán đó bằng cách chứng minh rằng: Mọi số lẻ đủ lớn đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố.
Cho đến nay bài toán Gônbách- Ơ le vẫn chưa được chứng minh hoàn toàn.
Ví dụ.
Công nhận mệnh đề nói trên của Ơ le, hãy chứng minh bài toán Gôn bách.
Giải.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Cho số tự nhiên n > 5, ta sẽ chứng minh rằng n viết được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố. Xét hai trường hợp:
a) Nếu n chẵn thì n = 2 + m với m chẵn, m > 3.
b) Nếu n lẻ thì n = 3 + m với m chẵn, m > 2.
Theo mệnh đề Ơ le, m chẵn, m > 2 nên m viết được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố.