Để tìm GTNN ta biến đổi A = P2 + a ≥ a A đạt GTNN là a khi P = 0
Để tìm GTLN ta biến đổi A = b – Q2
≤ b A đạt GTLN là b khi Q = 0 VD: Tìm GTNN của các biểu thức :
M=x4+x3− x2−2x −2 x2−2
Giải
a, thực hiện phép chia đa thức ta đơc ;
M=x4+x3− x2−2x −2 x2−2
¿x2+x+1 x2+2 .x.1
2+1 4+3
4
(x+12)2+34≥3 4
Vậy M đạt giá trị nhỏnhất là 3/4 khi x + 1/2 = 0 ⇔x=−1
2
? Để chứng minh M ≥a ta còn có cách nào khác .
GV giới thiệu cách dùng bất đẳng thức côsi.
? BĐT cô si áp dụng đ- ợc khi nào .
GV híng dÉn hs ph©n tích biểu thức để áp dụng bđt côsi .
? dấu bằng xảy ra khi nào .
Ta có thể áp dụng bất
đẳng thức côsi.
HS theodõi giáo viên nêu lÝ thuyÕt .
HS áp dụng với các số không âm.
HS theo dõi giáo viên h- íng dÉn .
HS làm theo yêu cầu của giáo viên.
II, Dùng bất đẳng thức có sẵn đơn giản :
*) Với a, b không âm ta có : a + b ≥ 2 √a.b ( B§T côsi)
*) Ta luôn có : a2 + b2 ≥ (a+b2 )2
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
N = x
2+2x+1
x+2 víi x > - 2 Giải Ta cã :
¿ N=x2+2x+1
x+2 =x+ 1
x+2=x+2+ 1 x+2−2
áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dơng ¿
x + 2 và 1
x+2 ta cã :
N ≥2√(x+2)x1+2−2=0
dấu bằng xảy ra khi x + 2 = 1
x+2
⇔ x=−1 x=−¿ 3
¿¿
¿¿
đối chiếu điều kiện ta thấy N đạt giá trị nhỏ ¿
nhất là 0 khi x = - 1 . GV hớng dẫn phơng
pháp dùng tính chất nghiệm của phơng trình bËc hai .
GV chỉ rõ các bớc giải cho học sinh .
GV cho hs làm ví dụ
? Để chuyển biểu thức B về dạng phân thức bậc hai ta làm thế nào.
? phơng trình (1) có nghiệm khi nào .
HS theo dâi lÝ thuyÕt
HS làm theo các bớc giải
đã có sẵn .
Ta đặt ẩn phụ x2 = t ≥ 0
III dùng tính chất nghiệm của ph ơng tr×nh bËc hai:
Để tìm GTLN,GTNN của biểu thức có dạng phân thức trong đó tử hoặc mẫu có dạng bậc hai
VD Tìm GTLN,GTNNcủa biểu thức
y=x2+3x −5
B1: Quy đồng mẫu thức chuyển về x+2
phơng trình bậc hai ẩn x
B2: Để tồn tại giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của y thì phơng trình ẩn x phải có nghiệm
Cho Δ ≥ 0 để tìm y
ví dụ :Tìm GTLN của biểu thức B = x
2
x4+1
Giải
Đặt x2 = t ≥ 0 ta có
B= t
t2+1⇔Bt2− t+B=0 (1)
Để tồn tại giá trị lớn nhất của B thì Pt (1)
GV híng dÉn hs t×m ®k
để (1) có nghiệm từ dó suy ra giá trị lớn nhất của B.
giáo viên ¿
B ≠0 Δ=1−4B2≥0
t1.t2=1>0 t1+t2=1
B>0
⇔
¿B ≠0
−1
2 ≤ B ≤1 2 B>0
⇔0<B ≤1 2
¿{ { {
Vậy B đạt giá trị lớn nhất là1/2 khi t¿ 1=t2=2
khi đó x2 = 2
⇔ x=√2
¿ x=−√2
¿
¿¿
¿¿
GV nêu các hớng giải với bài toán có điều kiện.
GV híng dÉn hs biÕn
đổi biểu thức để thay
điều kiện vào .
GV gợi ý áp dụng bất
đẳng thức cô si để giải.
GV lu ý hs t×m ®iÒu kiện xảy ra dấu bằng.
HS theo dõi giáo viên nêu cách giải.
HS biến đổi biểu thức để thay thế điều kiện .
HS làm theo hớng dẫn của giáo viên .
IV, Đối với biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến Ta có thể:
+ Thế điều kiện vào biểu thức để rút gọn
+ Biểu thị y theo x rồi thay vào biểu thức chuyển về bậc hai một ẩn
+ Biến đổi điều kiện để làm xuất hiện biểu thức
+Đổi biến để làm xuất hiện biểu thức míi .
Ví dụ : với hai số dơng a >b mà a.b = 1 Hãy tìm GTNN của
y= a2+b2
a −b Giải
Ta cã y=a2+b2
a− b=(a − b)2+2 ab
a −b =(a −b)2+2 a −b
đặt a – b = t ta có :
y=t2+2
t ≥2√t2. 2
t =2√2
dấu bằng xảy ra khi t2 = 2 ⇔t=√2
khi đó ta có
a − b=¿ √2
a.b=1
⇔
¿a=√2+√6
2 b=−√2+√6
2
¿{
¿
GV cho học sinh làm bài tập ở tài liệu kèm theo . IV, H ớng dẫn về nhà :
- ÔN tập lí thuyết, xem lại các bài đã chữa , làm bài tập ở tài liệu kèm theo.
Chuyên đề 8 Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ . I,Mục tiêu :
- HS nắm đợc nguyên lí chung để giải các phơng trình vô tỉ là bình phơng để làm mất căn bậc hai
để chuyển về phơng trình bậc hai hoặc phơng trình tích .
- HS giải thành thạo một số dạng phơng trình vô tỉ cơ bản và một số phơng trình vô tỉ giải bằng cách đặt ẩn phụ .
II, Chuẩn bị :
GV : Soạn giáo án ,lựa chọn bài tập
HS : ôn lại kiến thức biến đổi căn thức bậc hai , cách giải pt bậc hai . III, Tiến trình bài dạy :
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò Ghi bảng
GV nêu nguyên tắc giải các phơng trình vô tỉ :
tìm đkxđ sau đó bình phơng để làm mÊt c¨n .
GV giới thiệu một số dạng phơng trình cơ bản.
? Để giải phơng trình a ta làm nh thế nào .
GV cho học sinh làm ra nháp .
HS theo dõi giáo viên truyền đạt lí thuyÕt .
HS theo dâi mét sè dạng phơng trình cơ
bản và ghi vào vở.
Ta đặt điều kiện cho vế phải không âm rồi bình phơng 2 vÕ .
HS lên bảng làm bài, cả lớp làm ra nháp .
I) Dạng 1: √f(x)=a(a ≥0)
⇔f (x)=a2
II)Dạng 2: √f(x)=g(x)
⇔f(x)=[g(x)]2 ®k: g(x) ≥ 0 III)Dạng3: √f (x)+√g(x)=√p(x)
√f(x)+√g(x)=q
B1: Tìm đk cho các căn thức có nghĩa . B2: Bình phơng hai vế , đa về dạng 2 VD1: giải các phơng trình sau :
a, √x+2=4− x b, √x+1+√x −2=3
Giải a, điều kiện x 4
Bình phơng hai vế ta có :
x+2=16−8x+x2
⇔x2−9x+14=0 Δ=25>0
Phơng trình trên có 2 nghiệm
? gọi hs lên bảng làm câu a.
? Để giải phơng trình b ta làm ntn.
GV híng dÉn hs t×m
đk rồi bình phơng 2 vế chuyển về dạng II.
? Gọi một hs lên bảng giải tiếp .
Một hs nhận xét bài làm của bạn .
Ta đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa rồi bình ph-
ơng 2 vế.
HS làm theo hớng dẫn của giáo viên .
Một em lên bảng làm bài.
x=2¿
¿¿
¿¿
đối chiếu điều kiện ta thấy x = 2 thoả mãn.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = 2 b, điều kiện x ≥ 2
Bình phơng 2 vế ta có :
x+1+2√(x+1)(x −2)+x −2=9
⇔2√x2− x −2=10−2x
⇔√x2− x −2=5− x
điều kiện x 5
bình phơng 2 vế ta có :
x2− x −2=25−10x+x2
⇔9x=27
⇔x=3
đối chiếu điều kiện ta thấy x = 3 thoả mãn.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = 3.
GV giới thiệu dạng IV.giải bằng cách
đặt ẩn phụ .
? Cã nhËn xÐt g× vÒ biểu thức dới dấu căn của các căn thức ở câu a.
? Để giải phơng trình a ta làm ntn.
? Gọi một hs lên bảng làm bài .
GV nhận xét bài làm trên bảng .
HS theo dâi gv h- íng dÉn .
Các biểu thức dới dÊu c¨n cã bé phËn chứa ẩn giống nhau.
Ta đặt ẩn phụ:
x2+x+1=t
một em lên bảng làm bài.
HS theo dõi giáo viên nhận xét.
IV)Dạng4: √ax2+bx+c+√ax2+bx+d=√ax2+bx+e
B1: Tìm đk cho các căn thức có nghĩa.
B2: Đặt ẩn phụ t = ax2+bx+c Ví dụ : Giải các phơng trình sau : a, √x2+x+1+√x2+x −2=3
b, √−2x2− x+1=2x2+x+5
Giải
Đặt x2+x+1=t 0
Phơng trình trở thành :
√t+√t −3=3
⇔t+2√t(t −3)+t −3=9
⇔2√t2−3t=12−2t
⇔√t2−3t=6− t ( t 6)
⇔t2−3t=36−12t+t2
⇔9t=36
⇔t=4
Víi t = 4 ta cã
x2+x+1=4
⇔x2+x −3=0 Δ=13>0 x=−1+√13
2
¿ x=−1−√13
2
¿¿
¿¿
? để giải phơng trình b ta làm nh thế nào .
GV hớng dẫn hs đặt ẩn phụ và giải ph-
ơng trình b
GV tổng kết cách giải .
ta đặt ẩn phụ :
−2x2− x+1=t
HS theo dâi gv h- ớng dẫn và làm vào vở.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm
x=−1+√13
2
¿ x=−1−√13
2
¿¿
¿¿
b, đặt −2x2− x+1=t phơng trình trở thành:
√t=6−t điều kiện t 6 Bình phơng 2 vế ta đợc ;
t=36−12t+t2
⇔t2−13t+36=0 Δ=25>0 t=9
t=4¿
¿¿
¿¿
đối chiếu ta thấy t = 9 không thoả mãn Víi t = 4 ta cã :
−2x2− x+1=4
⇔2x2+x+3=0 Δ=−23<0
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm . GV hớng dẫn dạng
V.
GV lu ý hs xÐt nghiệm của biểu thức dới dấu căn.
Cã nhËn xÐt g× vÒ sè nghiệm của các biểu thức dới dẫu c¨n .
GV híng dÉn hs ph©n tÝch nhËn xÐt.
GV giúp hs so sánh thấy tính đối lập của 2 vế .
? cã nhËn xÐt g× vÒ
HS theo dâi gv h- íng dÉn lÝ thuyÕt.
các biểu thức dới dấu căn vô nghiệm .
HS làm theo yêu cầu của giáo viên.
HS quan sát giáo viên hớng dẫn .
V)Dạng5:
ax rSup \{ size 8\{2\} \} +b¿ x+c\} \} \{
√ax2+bx+c+√a ' x2+b ' x+c '=√❑
¿
B1:Tìm đk cho các căn thức có nghĩa .
B2: TH1: Nếu các căn thức có nghiệm thì phân tích nhân tử đa về phơng trình tích .
TH2: Nếu các căn thức vô nghiệm thì so sánh hai vế với cùng một số phơng trình có nghiệm khi hai vế cùng bằng số đó .
Ví dụ: giải các phơng trình ;
¿√3x2+6x+7+√2x2+4x+3=2−2x − x2
√x2−3x+2+√x+3=√x −2+√x2+2x −3
Giải a, Ta cã :
√3x2+6x+7+√2x2+4x+3=2−2x − x2
⇔√3(x2+2x+1)+4+√2(x2+2x+1)+1=3−(1+2x+x2)
⇔√3(x+1)2+4+√2(x+1)2+1=3−(x+1)2
ta thÊy
¿
√3(x+1)2+4≥√4=2
¿
√2(x+1)2+1≥√1=1
--> vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 3.
Lại có 3−(x+1)2≤3
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 hay x = - 1 Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = - 1
biểu thức dơí dấu căn của phơng trình b.
GV híng dÉn hs phân tích nhân tử đa về phơng trình tích.
dấu căn có nghiệm.
HS làm theo hớng dẫn của giáo viên .
√ √ √ √
⇔√(x −1)(x −2)+√x+3=√x −2+√(x −1) (x+3)
⇔√x −2(√x −1−1)−√x+3(√x −1−1)=0
⇔(√x −1−1)(√x −2−√x+3)=0
⇔
√x −1−1=0
¿
√x −2−√x+3=0
¿
¿¿
¿¿
TH1: ¿
√x −1−1=0
⇔√x −1=1
⇔x=2(thoamandieukien)
TH2:
√x −2−√x+3=0
⇔√x −2=√x+3
⇔x −2=x+3
⇔−2=3(voli)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2
GV cho học sinh làm bài tập vận dụng ở tài liệu kèm theo . IV, H ớng dẫn về nhà :
- Học thuộc cách giải các dạng toán.
- Xem lại các bài tập đã chữa.
- Làm bài tập ở tài liệu kèm theo.
Chuyên đề 9. Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên I, Mục tiêu :
- HS hiểu đợc nghiệm nguyên của một phơng trình bậc nhất 2 ẩn trở lên là có hạn và tìm đợc bằng một số phơng pháp đặc biệt.
- HS biết cách giải một số dạng phơng trình nghiệm nguyên thờng gặp . II, Chuẩn bị :
- GV : Soạn giáo án, lựa chọn bài tập
- HS : Ôn lại cách phân tích đa thức thành nhân tử , hằng đẳng thức..
III, Tiến trình bài học :
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng
? Tích của hai đa thức có giá trị nguyên là một đa thức có giá trị nguyên hay không.
GV híng dÉn hs gpt nghiệm nguyên bằng cách đa về tích các đa thức có giá trị nguyên .
GV hớng dẫn học sinh làm ví dụ
GV lu ý học sinh khi xét các trờng hợp để tìm x; y thì các đa thức nhân tử có vai trò tơng
đơng nên phải hoán vị giá trị các đa thức.p
HS trả lời .Tích của hai
đa thức có giá trị nguyên là một đa thức có giá trị nguyên .
HS theo dõi giáo viên híng dÉn .
HS phân tích vế trái thành nhân tử , vế phải là tích các số nguyên.
HS quan sát giáo viên nhận xét tránh bỏ sót nghiệm .
I)§
a về dạng tích :
Biến đổi phơng trình về dạng vế trái là tích các đa thức chứa ẩn , vế phải là tích các số
nguyên .Cho tơng ứng mỗi nhân tử bên trái bằng một thừa số bên phải và giải hệ phơng trình thu đợc lấy nghiệm nguyên.
VD Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x + xy + y = 9
(Thi vào lớp 10 chuyên , ĐHKHTN-
§HQGHN,n¨m 2002) Giải Ta cã :
x+xy+y=9
⇔x(y+1)+y+1=10
⇔(y+1)(x+1)=10
TH1: TH2:
x+1=2¿ y+1=5
⇔
¿x=1 y=4
¿{
¿
x+1=5¿ y+1=2
⇔
¿x=4 y=1
¿{
TH3: TH4: TH5:¿ x=−¿ 3
y=−6
¿{
¿
x=−¿ 6 y=−3
¿{
¿
x=0¿ y=9
¿{
¿
TH6: TH7: TH8:
y=0¿ x=9
¿{
¿
x=−¿ 2 y=−11
¿{
¿
x=−11¿ y=−2
¿{
Vậy phơng trình đã cho có 8 nghiệm là ¿
(1;4) ; (4;1); (- 3;- 6); (- 6; - 3); (0;9) ; (9; 0) (-2;-11); (- 11; -2)
GV giải thích cho hs hiểu vai trò của các ẩn
để sắp thứ tự các ẩn .
? vì sao ở pt này các ẩn có vai trò tơng đơng.
HS ghi định nghĩa ph-
ơng pháp sắp thứ tự các Èn .
HS trả lời : vì khi thay
II)Sắp thứ tự các ẩn :
Nếu x,y,z …có vai trò bình đẳng , ta có thể giả sử x≤y≤z≤…Để tìm các nghiệm nguyên thoả mãn điều kiện Từ đó dùng cách hoán vị
để suy ra các nghiệm của phơng trình đã cho VD tìm các số nguyên dơng thoả mãn : x + y + z = 6
Giải
GV hớng dẫn hs giải ví dô .
? Sắp thức tự các ẩn là g×.
trình không thay đổi . HS làm theo hớng dẫn của giáo viên .
HS trả lời : sắp thứ tự các ẩn là sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần hay giảm dần.
Giả sử x≤ y ≤ z ta có x + y + z ≥ 3z suy ra 3z ≤ 6 ⇔z ≤2
*, TH1: z = 1 suy ra x + y = 5
⇒2y ≤5⇔y ≤2,5
nÕu y = 1 th× x = 4 nÕu y = 2 th× x = 3
*, TH2: z = 2 suy ra x + y = 4
⇒ 2y ≤4⇔y ≤2
nÕu y = 1 th× x = 3 nÕu y = 2 th× x = 2
Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là : (4;1;1); (3;2;1); (3;1;2);(2;2;2) và các hoán vị của mỗi bộ số này.
? cã nhËn xÐt g× vÒ mét phơng trình khi có một vÕ chia hÕt cho mét sè nào đó .
GV híng dÉn hs ph©n tích để vế trái chia hết cho mét sè.
? Cã nhËn xÐt g× vÒ 2 vế phơng trình này
HS khi một phơng trình cã mét vÕ chia hÕt cho một số nào đó . để ph-
ơng trình có nghiệm thì
vế còn lại cũng phải chia hết cho số đó.
HS phân tích vế trái thành nhân tử theo h- ớng dẫn của giáo viên.
HS trả lời .
III)Sử dụng tính chất chia hết :
Phơng pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phơng trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phơng trình
VD: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:
3x + 2 – 3y = 0
Giải ta cã :
3x+2−3y=0
⇔3x+3−3y=1
⇔3(x+1− y)=1
Ta thấy vế trái chia hết cho 3 còn vế phải không chia hết cho 3. Vậy phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên.
GV giải thích phơng pháp sử dụng bất đẳng thức cho học sinh.
GV hớng dẫn hs làm ví dô .
? Để giải phơng trình nghiệm nguyên ta dùng những phơng pháp nào .
HS theo dõi giáo viên híng dÉn .
HSlàm theo yêu cầu của giáo viên .
HS nhắc lại các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên vừa học .
IV)Sử dụng bất đẳng thức :
Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào
đó và từ sự đánh giá này suy ra các giá trị nguyên của ẩn của pT này .
VD :Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x2 – 6xy + 13y2 = 100 Giải ta cã :
x2−6 xy+13y2=100
⇔x2−6 xy+9y2=100−4y2
⇔(x −3y)2=4(25− y2)
ta suy ra y2 25 và 25 – y2 là số chính ph-
ơng.
y2∈{0;9;16;25} hay
y∈{0;3;−3;4;−4;5;−5}
Vậy phơng trình có các nghiệm nguyên là : (10;0); (- 10;0); (17;3); (1;3); (- 17;- 3);
(- 1;-3);(6;4);(18;4);(-18;-4);(-6;-4);(15;5);
(-15;-5)
GV cho học sinh làm bài tập vận dụng ở tài liệu kèm theo.
IV, H ớng dẫn về nhà:
- Học thuộc các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên.
- Xem lại các bài tập đã chữa.
- làm các bài tập ở tài liệu đi kèm.
Ngày soạn : 26/05/2009
Chuyên đề 1. các phơng pháp chứng minh cơ bản . I, Mục tiêu :
- Hs nắm đợc các phơng pháp chứng minh cơ bản để giải bài toán hình học, nhận thức đợc rằng đa số các bài toán đều đợc đa về các bài toán chứng minh cơ bản.từ đó thấy đợc tầm quan trọng của các phơng pháp này.
- Vận dụng đợc các phơng pháp chứng minh cơ bản để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, tam giác cân ...
II, chuẩn bị :
- GV : Soạn giáo án , lựa chọn bài tập - HS : ôn lại các kiến thức có liên quan.
III, Tiến trình bài học :
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng
GV đặt câu hỏi để ôn lại lý thuyÕt ,
? Để chứng minh hai
đoạn thẳng bằng nhau ta có những cách nào.
? Để chứng minh hai góc bằng nhau ta có những cách nào.
HS trả lời : để cm 2 đoạn thẳng bằng nhau ta chứng minh hai cung bằng nhau , 2 tam giác bằng nhau , tính chất tam giác c©n,
Để chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh 2 tam giác bằng nhau, hệ quả góc nội tiếp ....
I) Ph ơng pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau : PP1: định lí liên hệ giữa cung và dây
PP2: chứng minh hai tam giác bằng nhau PP3: tính chất đờng trung trực
II) Ph ơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau : PP1: chứng minh đó là hai góc nội tiếp cùng chắn một cung
PP2 : chứng minh đó là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây với góc nội tiếp cùng chắn một cung
PP3: PP3dùng định lí về số đo của góc có đỉnh ở trong hay ngoài đờng tròn để chứng minh hai góc cùng bằng số
®o mét cung .
PP4: chứng minh hai tam giác bằng nhau , dùng tính chất
? Để chứng minh hai đ- ờng thẳng song song ta có những cách nào.
? Để chứng minh hệ thức dạng tích ta có những cách nào.
? Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp .
Ta áp dụng tính chất 2 đt song song , tÝnh chÊt h×nh bình hành ...
Ta áp dụng hệ thức lợng , cm 2 tam giácđồng dạng .
tính chất hai đờng thẳng song song .
III) Ph ơng pháp chứng minh hai đ ờng thẳng song song :
PP1: chứng minh hai góc so le trong bằng nhau hoặc hai góc đồng vị bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau
PP2: chứng minh chúng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba
PP3 : dùng định lí đảo của định lí ta lét IV) Chứng minh hệ thức dạng tích PP1: chứng minh hai tam giác đồng dạng
PP2:dùng định lí ta lét hay tính chất đờng phân giác trong tam giác
PP3: dùng hệ thức lợng trong tam giác vuông V)Chứng minh tứ giác nội tiếp :
PP1: Chứng minh tổng hai góc đối diện bằng1800 PP2: Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dới một góc không đổi
Bài 1. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB . Gọi E là điểm thuộc đoạn OB . Dây MN vuông góc với AB ở E , dây MP song song AB . Gọi I là điểm chính giữa cung PM .
a) Chứng minh AP = BN
b) IO cắt PM ở K . Chứng minh OKME là hình chữ nhật
c) Chứng minh : KE // PN.
E K
B M
N P
I
A
? Cã nhËn xÐt g× vÒ vai trò của AB với MN.
? So sánh BN và BM.
Để chứng minh AP = BN ta chứng minh
®iÒu g×.
Gọi HS lên bảng chứng minh AP = BM ? Để chứng minh OKME là hình chữ
nhËt ta cm g× .
? Cã nhËn xÐt g× vÒ vai trò của KE trong tam giác PMN.
AB là đờng trung trực của MN.
BN = BM. Để chứng minh AP = BN ta chứng minh AP=BM HS lên bảng chứng minh cung AP = cung BM suy ra ®pcm.
Ta chứng minh OKME cã 3 gãc 900
HS : KE là đờng trung bình của tam giác PMN.
a, Ta có : AB⊥MN⇒EM=EN ( qh vuông góc của đờng kính và dây)
-> AB là đờng trung trực của MN
--> BM = BN ( tính chất đờng trung trực ) Kẻ AM --> góc AMP = góc MAB( 2 góc slt) --> cung AP = cungMB (2 cung chắn 2góc nội tiếp bằng nhau).
--> AP = BM( liên hệ giữa cung và dây) mà BM = BN ( cmt)
suy ra AP = BN.
b, Vì I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM nên IP = IM (liên hệ giữa cung và dây)
--> I nằm trên đờng trung trực của PM.(1) lại có OP = OM ( bán kính đờng tròn ) --> O nằm trên đờng trung trực của PM(2) từ 1và 2 suy ra OI là đờng trung trực của PM suy ra OI vuông góc với PM hay góc MKO = 900
Lại có PM // AB mà MN AB⇒MN⊥PM
⇒∠PME=900
Xét tứ giác OEMK có
∠PME=900;∠MKO=900;∠KOE=900
Vậy tứ giác OEMK là hình chữ nhật . c, Trong tam giác PMN có :
PK = KM ( tính chất đờng trung trực )
ME = NE ( quan hệ vuông góc của đk và dây) --> KE là đờng trung bình của tam giác PMN --> KE // PN.