2. Nguyên nhân của tự tương quan
7.5. PHÁT HIỆN CÓ TựTUƠNG QUAN
Trong mục này chúng ta trình bày một số phuơng pháp phát hiện tự tuơng quan.
a. Phương pháp đồ thị
Giả thiết không có tự tương quan trong mô hình cổ điển gán với các nhiễu tổng thể u, không quan sát được. Cái mà chúng ta có thể quan sát được là các phần dư e, thu được từ phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường.
Dù e, không hoàn toàn giông như ự , nhung sự xem xét trực quan thường gợi cho ta manh mối nào đó về tự tương quan trong U. Trên thực tế sự xem xet trực quan về et hoậc e? có thể cho thông tin hữu ích về tính tự tương quan và tính không đòng phương sai, sự không phù hợp của mô hình....
Có những cách khác nhau để xem xét phần dư, chúng ta có thể đơn thuần vẽ đồ thị của chúng theo thời gian hình 7,7.
Phần 't' dư
7- — Ỷ
H ình 7.7. ĐỒ thị phần dư theo thời gian
ĐỒ thị phần dư theo thời gian ở trên không biểu thị một kiểu mẫu nào khi thời gian tảng lên. Những phần dư như vậy hình như phân bố ít nhiều ngẫu nhiên xung quanh trung bình của chúng.
Một cách khác là vẽ đồ thị các phần dư chuẩn hóa theo thời gian. Lưu ý rằng, theo giả th iếĩ của m ô hình hồi quy tuyến tính cổ điển, u, có phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và độ lệch tiêu chuẩn là ơ. Do đó nếu đem chia u, cho ơ ta sẽ được ~ N(0,1). Vì vậy viộc chia et cho ỡ, ta được các phần dư đã được chuẩn
ơ
hóa. Trong các mẫu lớn phân phối xấp xi chuẩn với trung bình bằng không và phuơng S á i bàng 1. Viôc xem xét đồ thị phần đư sẽ cho ta ý tưởng về các nhiễu 1 u ,
có phải là ngẫu nhiên không.
Người ta cững có thổ vẽ đồ thị e, đối với e,.ị, một loại kiểm định bằng thục nghiộm lược đồ AR(1). Phương pháp đồ thị mà chúng ta nói ở đây về cơ bản là chủ quan, chúng ta cần xem xét về mặt luạag.
Có một số phép kiểm định có thể đùng để bổ sung cho cách tiếp cận thuần túy vẻ định tính. Sau đây ta sẽ xét một số phép kiểm định này.
b. Một số phép kiểm định
l. Kiểm định các đoạn mạch
Kiểm định các đoạn mạch là một phép kiểm định thông kê giúp ta xác định xem có thể coi một dãy các kí hiệu, các khoản, mục hoặc các số liệu có phải là kết - quả của một quá trình mang tính ngẫu nhiôn hay không.
Ta xét thí <dụ sau về một mổ hình chuỗi thời gian SỐlượng các viên thuốc bổ tổng hợp đã xây dựng mô hình với tập số liệu ta thu được một chuỗi các phần dư sau:
-23 30 12 -10 -5 -17 -22 57 43 -23
31 42 50 61 -28 -52 10 34 28 55 60
32 88 -75 22 -56 -89 -34 -20 -2 -5 29
12 45 77 78 91 25 60 -25 45 42 30
-59 -60 -40 -75 -25 -34 -66 -90 10 -20
Nhìn vào dãy các phần dư ta thấy dầu tiên có một phần dư âm sau đó các phần dư dương ... Nếu các phần dư thuần túy ngẫu nhiên thì ta có quan sát thấy một kiểu như vậy không? Để trả lời câu hỏi đó, ta có thể sử dụng kiểm định các doạn mạch như đã nói ở trôn.
Để giải thích kiểm định này, ta hãy ghi lại một cách đơn giản các dấu + (hoặc -) từ các dãy phần dư đó:
+ + + + + + - + + + --- --- -
Như vậy dãy có một phần dư âm, 2 phần dư dương, 4 phần dư âm... Vì phép kiểm định các đoạn mạch tùy thuộc vào khái niệm về đoạn mạch như sau:
Một đoạn mạch là một dãy các phần tử giống nhau m à ở sát trước và sát sau là các phần tử khác chúng hoặc không có phần tử nào. Chiều dài cùa một đoạn mạch là số phần tử của nó.
ứng dụng khái niộm này vào dãy các dấu ở trên ta tính được có 15 đoạn mạch.
15 đoạn mạch là quá nhiều hay ít? Dãy này có thổ sinh ra bởi một quá trình ngẫu nhiên hay không? Có phải chăng là nếu có quá nhiều đoạn mạch có nghĩa là các phần dư đổi dấu thường xuyôn và có tương quan chuỗi ngược chiều, còn có qua ít đoạn mạch có nghĩa có tương quan chuỗi thuận chiều. Để xác đinh có bao nhièu đoạn mạch là có thể chấp nhận được quá trình là ngẫu nhiên, ta dùng một quy luật phân .phối xác suất, qui luật này đưa đến tiêu chuẩn kiểm định cho ở dưới đây.
Ta đạt n: Tổng số quan sát (n = ni + n2)
Với giả thiết rằng nị > 10 và n2 > 10, số đoạn mạch N có phân phối tiệm cận chuẩn với trung bình E(N) và phương sai đuợc cho như sau:
ni: Số kí hiêu dương (số phần dư dương) n2: Số kí hiệu âm (số phần dư âm)
N : Số đoạn mạch.
Giả thiết kiểm định:
Ho: Các kết cục kế tiếp nhau (các phần dư là độc lập);
H|: Các phần dư không độc lập.
E(N) = 2n' ĨẲ + 1 n, + n2
ơ ĩ _ 2n, n2(2n, n2- n , - n 2) ( n , + n2)2( n , + n2- 1)
(7.15)
Độ lôch tiêu chuẩn
(7.16)
Nếu giả thiết về tính ngẫu nhiên có thể chájp nhận đuạc chúng ta sẽ kỳ vọng một số đoạn mạch N thu đuợc nằm trong khoảng [E(N) ±l,96ơN] với múc tin cậy 95%.
Vậy quy tác quyết định như sau:
Chấp nhận giả thiết Ho về tính độc lâp của các phần du với độ tin cậy 95% nếu N e [ E(N) - 1,9óơn, E(N) + l,96ơN] và bác bỏ giả thiết Ho, nếu n không thuọc khoảng này tức là N < E(N) - l,96ơN hoặc N > E(N) + l,96ơN.
Trở lại ví dụ trên ta tính được:
n t = 27; n2 = 26; vậy:
2*27*26
E(N) = --- + 1 = 27,49 27+26
12 * 27 * 26(2 * 27 * 26 - 27 - 26)
ƠN = --- - T--- = 3.6 V (27 + 26) (27 + 2 6 -1 )
E(N) -Ơ N= 27,49-3,6.1,96 = 20,334 E(N) + ƠN = 27,49 +3,6.1,96 = 35,546 Nhung N = 15 < E(N) - ƠN 1,96 ( = 20,334).
Vậy ta bác bỏ giả thiết Ho cho rằng các phần dư là độc lập (và kết luận rằng chuỗi thời gian cần phải được hiệu chỉnh) ở mức tin cậy 95%.
Chú ý. Khi Iì|, n2 nhỏ hơn 10, có bảng chyên dụng cho các giá trị tới hạn đối với SỐ đoạn mạch m à ta kỳ vọng trong một dãy ngẫu nhiên n quan sát.
2 . Kiểm định vè tính độc lập của các phàn dư
Để iciểm đinh ỵ 2 về tính độc lập của các phần du ta sử dụng bảng tiếp liôn.
Bảng tiếp liên m à chúng ta sử dụng ở đây gồm một số dòng và một số cột, cụ thể là bảng tiếp liên 2 dòng và 2 cột. Các dòng ứng với các phần dư dương và âm tại t còn các cột ứng với các phần dư dương và âm tại t-1. Trong mỗi ô ta tính Aj và (Ejj) trong đó:
Aij: Tần số thực tế ở ô (ij) (É ij) : Tần số lý thuyết ở ô (ij)
Cột cuối cùiầg cùa bảng là tổng theo dòng ký hiệu là R, trong đó:
Ri = Ỉ A (Vi)
H
Dòr.g cuối cùng của bảng là tổng theo cột ký hiệu là c, trong đó:
ci = ẳ A iji-1
Ô CJỐÌ cùng của bảng ghi kích thuớc mẫu n. Bảng tiếp liên 2 dòng 2 cột có dạng
B ả n g 7 .1
Sô' phần dư dương tai t
Số phần dư âm tai t
Ri
SỐ phần dư dương A11 a 12 R1
tai t- 1 (Eli) ( E ỏ
SỐ phần dư âm A21 A22 r 2
tai t- 1 (E21) (E22)
Ci c . c2 n
Giả thiết kiểm định về tính độc lập của các phần dư:
Ho: Các hàng và cột độc lập với nhau H |: Hàng và cột không độc lập với nhau Tiêu chuẩn kiểm định X2 cho tập hợp các giả thiết này là
_ ^ ( A h- E h)2 X =
2 2 / i „ _ E:: r
2 C7.17)
i=i j=i E u
Nếu giả thiôt H() là đúng tức là các phần dư có phân bổ độc lập thì thống kê X đã nói ờ trèn sẽ có phân bố ỵ 2, với số bậc tự do là df = (2 - 1)(2 -1) =1.
Quy tác ra quyết định là nếu giá trị của thống kô X đã tính được vượt quá giá trị X2 tới hạn với 1 bậc tự do ở một mức ý nghĩa cho trước (chẳng hạn a = 5%) thì ta có thể bác bỏ giả thiết Ho về tính độc lập của các phần dư, ngược lại ta sẽ thừa nhận nó.
Sau đây la chỉ ra cách tính thống kê X2-
Truớc hết tính Ạ j: Tần số quan sát ở ô (ij), cụ thể:
A) 1 là số phần dư dương tại t-1 và t
<- là số phần dư duơng tại t-1 và âm tại t Aổi là số phần dư âm tại t-1 và dương tại t A22 là số phần dư âm tại t-1 và t.
Tính Ejj: kết quả kỳ vọng của ô (ij).
Nếu giả thiết Ho là đúng thì các hàng và cột độc lập với nhau và khi đó Ejj = n Pịj = n Pj Pj
trong đó Pij là xác su ít để đồng thời xảy ra sự kiện i và j (xác suất đổ phần dư nằm ở ô (ij). Còn Pj và Pj là xác suất để xảy ra sự kiộn i và §ự kiện j.
Từ các kết quả của dòng ta có thể ước lượng xác suất của sự kiện i là Pi = — n và ước lượng xác suất của sự kiện j là — . Thay thế các giá trị này vào các Pj và
n Pj để tính kỳ vọng của ô (ij) ta được:
Ey = n Pị Pj = n R, n
CJ = R i CJ
n n
Eij =
R i CJ
n
Thí dụ: Giả sử các phần dư từ hồi quy về năng suất và tiền lương theo các tháng cho ở bảng, hãy sử dụng tiêu chuẩn để kiổm định tính độc lập cùa các phần dư:
Các kết quả tính được cho ở bàng 7.2.
Từ bảng ta thấy có 23 phần dư dương và âm cả ở t và t-1, ưong đó có một phần dư dương ở thời điểm t nhưng âm tại thời điểm t-1 và một phần dư âm ở tại thời điểm t nhưng lại dương ở thời điểm t-1.
Bảng 7.2. Phần dư từ hồi qui vẻ năng suất - tiên lương
Năm Tháng Phần dư e, Phần dườc,.|
1 -1 ,2116
2 -1,1274 -1,2116
1 3 -0,7908 -1,1274
4 -1,1368 -0,7908
9 5 -0,8954 -1,1368
6 -0,1489 -0,8954
8 7 -0,2873 -0,1489
8 0,2270 -0,2873
0 9 0,9983 0,2270
10 2,2334 0,9983
11 2,7557 2.2334
12 2,1971 2,7557
1 2,5384 2,1971
2 2,1576 2,5384
1 3 2,6559 2.1576
4 1,4226 2,6559
9 5 1,4465 1,4226
6 0,5656 1,4465
8 7 0,9530 0.5656
8 0,2954 0,9530
1 9 - 0,2459 0,2954
10 - 4,5021 -0,2459
11 -2,8772 -4,5021
12 -4,0882 -2,8772
Theo bảng ta có Aị I = 12;
A í i - 1 ; Và kỳ vọng ở mỗi ô là:
Ai2 - 1
Aj2 = 9
1 3 .1 0
E|2 = 23 = 5,65
1 0 .1 3
E21 = ■ 23 ■ = 5,65;
1 0 .1 0
= 23 = 4.’35
( 1 2 - 7 ,3 5 ) 2 (1 - 5 ,6 5 ) 2 ( l - 5 , 6 5 ) 2 (9 . 4 ,3 5 )2
7,35 + 5,65 + 5,65 + 4,35 " 15,15
Từ bảng X2 ta thấy với df = (2 -1) (2 -1) =1 bậc tự do và với mức ý nghĩa 5%
thì X2(1) = 3,84.
Do đó ta có thể bác giả thiết Ho rằng các phần dư của phép hồi qui trên là độc lập.
3. Kiểm định d.Durbin - Waíson
Phương pháp kiểm định có ý nghĩa nhất để phát hiện ra tương quan chuỗi là kiểm định d.Durbin - Watson.
Thống kê d. Durbin - Watson đuợc định nghĩa như sau:
Vậy thống kê d là tỉ số của tổng bình phương các hiệu số của các phần dư kế tiếp nhau với RSS (tổng bình phương các phần dư). Lưu ý ràng trên tử số của thống kê d số quan sát là n-1 vì 1 quan sát bị mất đi khi lấy hiệu các quan sát kế tiếp.
Lợi thế lớn của thống kê d là nó dựa trên các phần đư đã ước lượng được. Vì vậy ngày nay nó rất thông dụng. Tuy nhiên cần phải lưu ý đến các giả thiết làm cơ sở cho thống kê d.
* MÒ hình hồi quy bao gồm số hạng chận trên trục Y. Nếu không có số hạng này, như trong trường hợp hồi quy qua gốc tọa độ thì điều cãn bản là phải ước lượng lại hồi quy có số hạng chặn để thu được RSS.
Kết quả tính toán trong bảng tiếp liên:
Giá trị của thống kê ỵ 2 là
n
£ ( e t - e t- i ) 2 t=2
(7.18)
* Các biến giải thích X là phi ngẫu nhiên hoặc cố định trong phép lấy mẫu lặp.
* Các nhiễu u , được sản sinh ra từ sơ dồ tự hồi quy bậc nhất:
u t=pu.,+ 8,
* Mô hình hồi quy không chứa các giá trị trễ của biến phụ thuộc như là một trong các biến giải thích. Như vậy phép kiểm định này không áp dụng được với mô hình loại sau:
Trong đó Yt_ị là giá ưị trẻ một thời kỳ của Y. Các mô hình như vậy được gọi là mô hình tự hồi quy.
* Không có các quan sát bị mất trong dữ liệu.
Việc đưa ra một phân bố xác suất hoặc phân phối mẫu chính xác cho thống kê d là rất khó vì nó phụ thuộc theo những cách phức tạp vào các giá trị của X có trong mẫu. d được tính từ các ej mà bản thân ej lại phụ thuộc giá trị của X đã cho.
Do đó không giống như các kiểm định t, F hoặc X2 không có giá trị tới hạn duy nhất dẫn đến viộc bác bỏ hay thừa nhận giả thiết H() (giả thiết không có tương quan chuỗi bậc nhất trong các nhiễu Uj).
Tuy nhiên, Durbin và Watson đã thành công trong việc đưa ra được cận dưới dL và cận trên du sao cho nếu d tính toán được từ (7.18) nằm ngoài các giá tri tới hạn này thì có thể quyết định đối với việc có tương quan chuỗi thuận hay ngược chiều. Hơn nữa các giới hạn này chỉ phụ thuộc vào số các quan sát n và số biến giải thích và không phụ thuộc vào giá ưị của các biến giải thích này. Trong phần phụ lục thống kê d được tính với n = 1,200, số biến giải thích X từ 1 đến 20.
Trôn thực tế thì thù tục kiểm định rất dễ dàng
và vì các = X e M chỉ khác nhau 1 quan sát, chúng xấp xỉ bằng nhau do đó YI = p 1 + p2X2l + p3X3t + ...+ p kXkt + YYt_1 + U t (7.19)
nếu đật S e ? = Z e ? _ | thì:
n
d = 2(1. i=L--- ) (7.20)
1*1
Từ đú < /ô 2 ( 1 - p ) (7.22)
p chính là hộ số tự tuơng quan bậc nhất của mẫu, đó là ước lượng của p. Vì -1 < p í 1 nôn ta suy ra ràng 0 < d < 4. Đây là giới hạn cùa d, bất cứ giá trị nào cùa d ước lượng được phai nằm trong giới hạn này.
Từ phương trỡnh (7.22) ta thấy rằng p = 0 => d ô 2 tức là nếu khụng tồn tại tương quan chuỗi thì d được kỳ vọng là 2. Do đó theo quy tác ngón tay cái nếu d gần bằng 2 thì có thể giả định ràng không có tự tương quan bậc nhất. Nếu p =+1 nghĩa là có tương quan duơng hoàn hảo trong phần dư thì d as 0. Do đó nếu d càng gần 0 thì càng chứng tỏ có sự tương quan thuận chiều.
Nếu p = -1 thì có sự tương quan ngược chiều hoàn hảo giữa các phần dư kế tiếp nhau khi đó d ss 4. Vì vậy d càng gần 4 thì càng chứng tỏ có sư tương quan chuỗi ngược chiều.
Nếu các giả thiết của kiểm định d thỏa mãn thì có thể trình bày quy tắc ra quyết định như sau:
Bảng 7.3. Kiểm định d - D urbur - VVatson. Quy tác r a quyết định
Chúng ta định nghĩa: p = — --- (7.21)
Giả thiết không Quyết định Nếu
Không có tự tương quan dương Không có tự tương quan dương Không có tự tương quan âm Không có tự tương quan âm
Không có tự tương quan dương hoặc âm
Bác bỏ
Không quyết định Bác bo
Không quyết định Không bác bỏ
0 < d < di
di < d < đu
4 - dL < d < 4 4 - dư<d < 4 - d i
du < d < 4 - đu Các quy tắc ra quyết định có thể minh họa ở hình 7.8.
/ V / V
\ r
Bác bỏ giả thiết Ho nghĩa là có tự
tương quan thuận chiều
dương
% r
Miền không có
kết luận
\ r
Chấp nhận giả thiết không có tương quan chuỗi
bậc nhất dương hoặc âm
\ “ r
. Miền không có
kết luận
\ ■ r
Bác bỏ giả thiết Ho chứng tỏ có sự tương quan ngược
chiều [âm]
0 di_ du 2 4 - d\j 4 - dí, 4
Hình 7.8. Thống kê d Durbin - Watson
- uốc lượng hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường và thu được phần dư et.
- Tính giá trị của thống kê d theo công thức (7.18)
- Với cỡ mẫu đã cho n và số biến giải thích, tìm các giá trị tới hạn dụ và dL.
Theo các quy tắc ra quyết định đã cho trong bảng 7.8.
Ngày nay các phần mềm kinh tế lượng đều tự động tính giá trị d.
T hí du ỉ
Già sử chúng ta tiến hành hồi quy theo phương pháp bình phương nhỏ nhất với n=18 điểm sớ liệu và k= 3 biến độc lập và giá trị tính toán của thống kê d =3,1.
Già sử chúng ta muốn kiểm định 2 phía. Từ phụ lục bảng D chúng ta thấy với a =0,l (2 lần mức cùa bảng) thì:
dL = 0 , 9 3 ; dụ= 1,69 4 - < 4 = 3 ,0 7 ; 4 - dụ = 2,31-
Vì giá trị tính toán cùa thống k ê ư = 3 , l > 4 - £ / L nên chúng ta kết luận rằng có chứng cớ về sự tự tương quan ngược chiều trong sai số.
Thí dụ 2
Giả sử chúng ta tiến hành hồi quy theo phương pháp bình phương nhỏ nhất với n = 80; k = 2 và cx = 0,05 thì d i= 1,59; dụ = 1,69; d = 1,62.
Như vậy giá trị cùa thống kê d nằm giữa dL và du> do đó theo phép kiểm định trên không cho kết luận.
Như vậy dù kiểm định d rất thông dụng nhưng có những hạn chế mà ta đã biết. Nếu d rơi vào vùng không có quyết định thì ta không thể kết luận có tự tương quan hay không. Để giải quyết vấn đề này đã có một số cải biên kiểm định d. Có hai kiểm định cũng rất thông dụng để kiểm định tự tương quan bậc nhất là:
- Tỉ số Von Neumann
- Kiổm định Berenblur - Webb (xem phần tài liệu tham khảo) nhưng chúng ta không giới thiệu ở đây. Trong nhiều ưường hợp chúng ta thấy rằng giới hạn trên dụ là giới hạn có ý nghĩa thực một cách xấp xỉ và do đó trong trường hợp giá trị d đuợc ước lượng nằm trong vùng không có quyết định, người ta có thể cải biên thủ tục kiểm định d với mức ý nghĩa a đã cho.
(1) Ho : p = 0 với H | : p > 0 nếu d được ước lượng < du thì bác bỏ H<) chấp nhận H| với mức ý nghĩa a nghĩa là có tơơng quan dương có ý nghĩa về mặt thống
kô. ■
(2) Ho : p = 0 với Hi : p < 0 nếu (4 - d) đã được ước lượng < du thì bác bỏ Ho, chấp nhận H| với mức ý nghĩa a , nghĩa là sự tự tương quan âm là có ý nghĩa về mặt thống kẽ.
(3) Ho : p = 0 với Hi : p * 0 nếu d đã đuợc uớc lượng < du hoặc 4 - d < du thì bác bỏ Ho chấp nhận Hi với mức ý nghĩa 2a , nghĩa là có bằng chứng là có ý nghĩa về mặt thống kê cùa sự kiện tự tuơng quan.
Thí dụ: Trong một phép hồi quy có 50 quan sát và 4 biến, d ước lượng được là 1,43. Từ bảng d với mức ý nghĩa a = 5% ta tính được dL = 1,38;
du =1,72. Trên cơ sở kiểm định d thông thường chúng ta không thể nói là có tự.
tương quan dương hay không vì giá trị của d nàm trong miền không có quyết định.
Nhưng trên cơ sở kiểm định d cải biên ta có thể bác bỏ giả thiết rằng không có tự tương quan dương vì d < du.
4 . Kiểm định Breusch-Godfrey(BG)
Để đơn giản ta xét mô hình giản đơn:
Y, = Pị + (32 + u, trong đó:
u , = p | U , , + p 2 Ư , . 2 + . . . . + P p u , - p ' + e , ,
E| thoả mãn các giả thiết của OLS.
G iả thiết Hq : Pi = p2 = .... = Pp = 0 , c ó n gh ĩa là k h ô n g tồn tại tự tương quan ở
bất kỳ bậc nào. Giả thiết này có thể được kiếm định bằng thủ tục BG như sau:
Bước 1: Ưóc lượng mô hình ban đầu bằng phương pháp OLS. Từ đó thu được các phẩn dư e,.
Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây bằng phương pháp OLS:
e! = Pi + Pỉ X, + p,e,., + p2 e,.2 + .... + Pp e,.p + V,.
Từ kết quả ưóe lượng mô hình này thu được R2.
Bước 3: Với n đủ lớn, (n-p) R2 có phân bố xấp xỉ x2(p)-
Nếu (n-p)R2 > x2d(p) thì Ho bị bác bỏ, nghĩa là ít nhất tồn tại tự tương quan ở một bậc nào đó. Trong tnròng hợp ngược lại không tồn tại tự tương quan.
5 . Kiểm định Durbin h
Phẩn trên đã nói rằng d. Durbin - Watson không thể sử dụng để kiểm định tính tự tương quan chuỗi trong mô hình có chứa biến phụ thuộc ở thời kỳ trễ là biến độc lập. Những mô hình này gọi là mô hình tự hồi quy. Giá trị d tính được ttong các mô hình như vậy nói chung sẽ gần 2, đó là giá ữị cùa d mong đợi đối với một dãy ngẫu nhiẽn thực sự. Như vậy nếu áp dụng thống kê d thông thường ở đây không cho phép phát hiện ra tương quan chuỗi.
Durbin đã đưa ra kiểm định với mảú lớn đối với tương quan chuỏi bậc nhất của mồ hình tự hồi quy.
Ta xét mô hình: Y, = (Xo + dị X, + Oị Y,.| + u,
Thống kê kiểm định này được gọi là thrtĩìg kè h và rtuty tính theo công thức sau:
h = p ] Ị ũ n V a r ( â 2 ) (7 -23) Trong đó n là cỡ mẫu; Var( ẫ 2) là phương sai của hô số cùa biến trễ Y,-1.
p là ước lượng của tương quan chuỗi bậc nhất p từ phương trình: