2.2.1. Thu gọn hệ lực về một tâm.
Để thu gọn hệ lực về một tâm ta dựa vào định lý dời lực song song.
1. Định lý: Dời song song một hệ lực tới một điểm khác, để cho tác dụng của lực không đổi, ta thêm vào một ngẫu lực phụ có véctơ mômen của lực đặt ở điểm cũ đối với điểm mà lực dời đến.
Chứng minh: Giả sử ta có lực F đặt tại A. Tại điểm O ta đặt thêm hai lực cân bằng là F’ và F’’ sao cho F= F ’ = -F’’.
Theo tiên đề 2 ta có: FA ( F, F’, F’’). Nhưng(F, F ’’) tạo thành một ngẫu lực có véctơ mômen mO mO(F).
Nói cách khác là lực F đặt tại A tương đương với lực F ’ = F đặt tại O và ngẫu lực mO. Véctơ mômen này vuông góc với lực F cũng vuông góc với lực F ’ . Từ đó ta có:
Định lý đảo: Một lực F’ đặt tại O và một ngẫu lực có véctơ mômen vuông góc với lực F’ thì tương đương với lực Fđặt tại điểm khác với lực F=F’.
Chứng minh: Thật vậy, từ ngẫu lực m ta phân ra hai lực thành phần F và F ’sao cho có véctơ mômen bằng m và F ’ = F=F’’.
Theo tiên đề 1, lực F’ và F ’’ cân bằng nhau, theo tiên đề 2 ta có thể bỏ đi và hệ lực bây giờ còn một lực F đặt tại A.
Tất nhiên khi đó khoảng cách: d = OA = F m .
Ví dụ: Khi ta xách một thùng nước trọng lượng P đặt tại điểm A với một lực
F có trị số là F = P. Bây giờ ta xách thùng nước tại điểm O ở mép thùng nước ở trạng thái như cũ thì tay ta phải tạo ra một ngẫu lực nữa có mômen:
) (F m
mO O , về trị số d
F OA F
mO . .
2.2.2. Phương pháp thu gọn hệ lực về một tâm.
Cho hệ lực bất kỳ (F1, F2….F n). Hãy thu gọn hệ lực đó về tâm O tuỳ ý.
Áp dụng định lý dời trục song song, lần lượt ta dời từng lực về O. Khi đó tại O ta được hệ lực đồng qui là (F1, F2….Fn) và hệ ngẫu lực có véctơ mômen là m1, m2….mn
(hình 2.5).
Theo tiên đề 3 hợp hệ lực đồng qui trên ta được một hệ lực kí hiệu RO’ đặt tại O véctơ bằng véctơ chính của hệ lực đã cho là:
R F F
RO' k' k ’ (2.8)
Hợp các ngẫu lực m1, m2….mn ta được ngẫu lực tổng cộng có véctơ mômen là:
n k
O m m m m
M 1 2... Theo định lý dời lực song song thì:
) ( 1
1 m F
m O ; m2 mO(F2), …., mn mO(Fn)
Nên ta có: MO mO(F1)+ mO(F2)+ ….+mO(Fn)
Hay: MO m0(Fk) (2.9) Như vậy ngẫu lực tổng cộng thu về O có véctơ mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn. từ đó ta đi đến kết luận:
Hình 2.4
Hình 2.5
Thu gọn một hệ lực bất kỳ về một tâm O nào đó, ta được một lực và một ngẫu lực. Lực đặt tại tâm thu gọn có véctơ bằng véctơ chính của hệ lực còn ngẫu lực có véctơ mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn đó. Từ kết quả trên xác định tác dụng của một hệ lực lên vật rắn ta chỉ cần xác định véctơ chính và mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn.
2.2.3. Các bất biến của hệ lực.
Với môt hệ lực đã cho thì ta thấy dễ dàng là véctơ chính của hệ lực
Fk
R, không thay đổi khi tâm thu
gọn O thay đổi. Nhưng mômen chính của hệ
lực nói chung là thay đổi khi tâm thu gọn thay đổi.
Thật vậy, giả sử khi ta thu gọn hệ lực đã cho: Fk (k = 1, 2 ,..., n) về tâm O nào đó thì được một lực bằng véctơ chính R, đặt tại O và một ngẫu lực có mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm O là MO. Như ta đã biết:
Fk
R, và MO mO(Fk)
Bây giờ ta chọn tâm thu gọn khác là O’, giả sử lực Fkđặt tại điểm Ak, có véctơ bán kính đối với điểm O và O’ là rk và rk' còn véctơ OO' ta gọi r ' (hình 2.6).
Ta thấy, tam giác AkOO’ có:
'
rk = r '+ rk
Như vậy, mômen lực Fk đối với điểm O và O’ sẽ là:
k k k k
k k k k
k
O F r F r r F r F r F
m '( ) ' ( ' ) ' Như ta đã biết: mO'(Fk)rk Fk và mO('Fk)mO(Fk)r' Fk
Cộng mômen của lực Fk( k= 1, 2, …, n) đối với tâm O’ ta được mômen chính M'O của hệ lực đã cho đối với tâm đó là:
( ) ( ) ( ' ) ( ' )
)
( '
' k O k O k k O k
O F m F m F r F M r F
M
Ta biến đổi số hạng:
Hình 2.6
) ' ( '
) '
(r Fk r Fk r R
Nhưng tích véctơ r' Fk là mômen véctơ chính R 'đặt tại O lấy đối với O’, nghĩa là:
) ' ( ) '
(r R mO' R Do đó, đẳng thức trên có thể viết:
)
'(
' M m R
MO O O (2.10)
)
'(
' M m R
MO O O (2.10’)
Như vậy, biến thiên mômen chính của hệ lực khi tâm quay thu gọn thay đổi bằng mômen véctơ chính đặt tại tâm cũ đối với tâm mới.
Ta nhận đẳng thức (2.10’) với véctơ chính R ', nhưngR 'vuông góc với véctơ mO'(R) nên : mO'(R). R ' = 0 . Do đó: MO' MO 0
Hay: MO.cos'MO.cos (2.11) Trong đó góc φ và φ’ là góc tương ứng giữa véctơ MO và MO'với véctơ chính R '.
Từ đó suy ra: Hình chiếu mômen chính của hệ lực đã cho đối với tâm thu gọn bất kỳ, lên phương véctơ chính là không đổi không phụ thuộc việc chọn tâm đó.
2.2.4. Các dạng chuẩn – Định lý VARIGNON.
Từ kết quả thu gọn trên, có thể đưa đến các dạng chuẩn sau đây:
1. Nếu R ' = 0 và MO = 0, nghĩa là véctơ chính bằng không mômen chính bằng không thì hệ lực cân bằng.
2. NếuR ' = 0 và MO≠ 0, nghĩa là véctơ chính bằng không và mômen chínhkhác không thì hệ thu về ngẫu lực.
3. Nếu R ' ≠ 0 và MO= 0 trong trường hợp này lực có thể thu về một hợp lực.Nghĩa là hệ có hợp lực.
- Khi MO= 0 thì hợp lực qua tâm thu gọn O.
- Khi MO ≠ 0 hợp lực không qua tâm O.
Vì R '.MO = 0 nghĩa là véc tơ mô men chính
và véc tơ chính vuông góc với nhau (hình 2.7) Hình 2.7
Áp dụng định lý đảo, dời lực song song, ta phân tích ngẫu lực MO ra hai lực R và R 'sao cho R = RO= -R ’. Bây giờ hệ có ba lực nhưng hai lực RO và ''
R cân bằng nên ta bỏ đi chỉ còn lực R qua O’. Lực R chính là hợp lực của hệ lực đã cho.
Đoạn d được xác định như sau:
R
d MO (MO mO(R)) 4. Nếu R '.MO≠ 0 nghĩa là véctơ chính
và mômen chính đều khác không và không vuông góc nhau.
Đặc biệt khi R 'và MOcùng phương cùng chiều gọi là vít thuận (hoặc đinh ốc). Đường thẳng mà véc tơ RO' và MO nằm trên đó gọi là trục vít. (hình 2.8).
- Nếu R ' và MOngược chiều ta được vít ngược (đinh ốc ngược).
- Trường hợp R ' và MO làm thành góc α bất kỳ (α ≠ 0, α ≠ 180) ta đưa về hệ vít, nhưng trục vít không qua O và O’. Lực của hệ vít này xác định bằng véctơ chính R 'của hệ lực, còn ngẫu lực xác định bằng hình chiếu véctơ mômen chính lên véctơ chính của hệ lực đó.
Khi hệ có hợp lực, ta có định lý VARIGNON như sau:
Định lý: Mômen hợp lực của hệ lực đối với một điểm (hay trục) nào đó bằng tổng mômen các lực thành phần của hệ lực đối với cùng điểm (hay trục) đó.
Chứng minh: Giả sử cho hệ lực (F1, F 2….Fn) tác dụng lên vật rắn. Hệ lực này thu về O’ được hợp lực là R . Bây giờ ta lấy điểm A bất kỳ làm tâm thu gọn và gọi RA' là mômen chính của hệ lực đã cho đối với điểm A.
Dùng công thức biến thiên mômen chính (2.10) ta có:
)
' m (R
M
MA O A . Nhưng MO' = 0 nên ta có: MA mA(R)
Hình 2.8
Mặt khác, theo định nghĩa mômen chính của hệ lực đối với tâm A bằng tổng mômen các lực thành phần của hệ lực đã cho đối với cùng tâm ấy, nghĩa là:
) ( A
A
A m F
M
Do đó: mA(R)mA(Fk) (2.12)
Tương tự đối với một trục toạ độ như trục z chẳng hạn, ta có:
( ) )
( z k
z R m F
m (2.13)
Như vậy định lý đã được chứng minh.
Chú ý: Đối với hệ lực phẳng chỉ xảy ra một trong ba trường hợp đầu. Hệ lực phẳng không bao giờ xảy ra chuyển động đinh ốc.
Sau đây ta sẽ làm một số ví dụ về thu gọn hệ lực Ví dụ:
Cho một dầm công xôn AB = 4m chịu lực P = 60 N tác dụng và lực phân bố đều q = 10 N/m tác dụng ở phần OB. Hãy thu gọn hệ lực trên về tiết diện m-m của dầm (Hình 2.9)
Giải:
Trước hết ta thay lực phân bố đều q bằng lực tập trung : Q1 = q.CB = 10.2 = 20N.
Thu gọn hai lực P, Q1về tiết diện m-m, ta được lực R' có hai thành phần thẳng đứng là Q và thành phần nằm ngang là N. Trong sức bền lực Q gọi là lực cắt, còn lực N gọi là lực kéo (hoặc nén). Còn tại tiết diện đó.
N = -P.cos300= 30 3 N
Q = Q1+ P.sin300 =20 + 60.1/2 = 50 N