Điều kiện cân bằng và hệ phương trình cân bằng của hệ lực không gian;

2.3. Điều kiện cân bằng và hệ phương trình cân bằng

2.3.1. Điều kiện cân bằng và hệ phương trình cân bằng của hệ lực không gian;

1. Điều kiện cân bằng: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực không gian cân Hình 2.9

bằng là véctơ lực chính và véctơ mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn nào đó đồng thời bằng không, tức là:

0 '

R và MO0

Chứng minh: Điều kiện cần là hệ lực không gian cân bằng thì R'0và MO0. Thật vậy, nếu R' ≠ 0 , mà MO0 thì hệ thu về ngẫu lực hoặc cả R' ≠ 0 , mà MO≠ 0 thì hệ thu về hệ vít hoặc hợp lực. Điều đó trái với giả thuyết, nghĩa là khi hệ lực cân bằng thì:

0 '

R và MO 0.

Còn điều kiện đủ là hiển nhiên trong trường hợp tổng quát hệ thu về tâm O được một lực và ngẫu lực. Nếu thì R'0và MO 0 hệ lực là cân bằng.

2. Từ điều kiện cân bằng, ta thiết lập hệ phương trình cân bằng cho một hệ lực không gian sau đây:

Theo định nghĩa véctơ chính là: thì R'Fk và hình chiếu của nó xuống các trục được xác định theo công thức: R'xXk



 k

y Y

R'



 k

z Z

R' Và mômen chính là: MOmO(Fk)

Có các hình chiếu xác định theo công thức sau:



 

 ( O( k))x x( k)

Ox m F m F

M



 

 ( O( k))y y( k)

Oy m F m F

M



 

 ( O( k))z z( k)

Oz m F m F

M

Ta biết rằng R'và M chỉ bằng không khi các hình chiếu của chúng đều bằng không. Do đó, khi hệ lực cân bằng ta có:

0 'xXk  R

0 'yYk  R

0 'zZk 

R (2.14)

0 )

( 

mx Fk

0 )

( 

my Fk

0 )

( 

mz Fk

Như vậy, khi hệ lực không gian cân bằng thì có 6 phương trình cân bằng. Ta sẽ áp dụng các phương trình cân bằng đó để giải bài toán cân bằng không gian.

Ví dụ 1: Cho một tấm chữ nhật đồng chất trọng lượng P, nếu chiều dài các cạnh là a, b. Tại A liên kết bản lề cầu, tại B liên kết bản lề trụ và tấm được giữ nằm ngang nhờ thanh CE hai đầu liên kết bản lề. Bỏ qua trọng lượng thanh, tại D tác dụng lực F dọc theo cạnh DC. Cho biết P0 = 200 N, F = 100

N, a = 60cm, b = 100 cm, góc γ = 600 (hình 2.10).

Tìm phản lực tại A, B và nội lực thanh CE.

Bài giải:

Ta xét tấm ABCD cân bằng chịu hệ lực tác dụng sau đây: Lực P, lực F, phản lực tại A có ba thành phần XA, YA, ZA còn phản lực tại B chỉ có hai thành phần XB , ZB (vì liên kết bản lề trụ) vuông góc trục y. Phản lực thanh CE là RCdọc thanh.

Vì tấm ABCD cân bằng, nên hệ lực : (P,F,XA, YA, ZA, XB, ZB, RC ) ~ 0 Ta phân phản lực RCra hai thành phần (vì RC  y) là RCx và RCz song song với trục x, z là:

RCx = RCsinγ, RCz = RCcosγ, RCy= 0.

Ta thiết lập hệ phương trình cân bằng:

0 sin

. 





X XA XB RC  (1) 0





Y YA F (2) 0

cos

. 







Z ZA ZB P RC  (3) 0

cos . . 2 .

)

(    

mx Fk bP bZb bRC  (4)

Hình 2.10

0 cos . 2 .

)

(   

my Fk aP aRC  (5)

0 . sin . . .

)

(    

my Fk bXB bRC  aF (6)

Giải hệ sáu phương trình trên ta được các kết quả sau:

Phương trình (5) cho ta:

P N

RC 200

60 cos . 2

200 cos

.

2  0 

 

Thay giá trị R vào phương trình (6) ta có:

N XB 113.2

Bằng cách thay thế dần, cuối cùng ta tính được:

N XA 100

, 100N ZA 

, 0N ZB 

Từ kết quả trên, ta nhận thấy : XA< 0, XB < 0, do đó chiều phản lực của những thành phần này thực tế sẽ ngược chiều với chiều vẽ trên (hình 2.10).

Phản lực RC là lực của thanh CE tác dụng lên tấm. Theo tiên đề tác dụng và phản tác dụng thì tấm sẽ tác dụng lên thanh một lực RC’ = -RC. Và để thanh CE cân bằng tại E có phản lực RE . Như vậy thanh CE sẽ chịu nén có nội lực:

N = -RC = -200N (vì thanh chịu kéo, nội lực lấy dấu cộng).

Ví dụ 2. Cho một tấm hình vuông cạnh a được giữ nằm thanh. Một lực P = 2000 N tác dụng dọc theo cạnhAD của tấm. Tìm nội lực các thanh, biết chiều dài các thanh đứng 1, 3, 6 bằng a.

Bài giải:

Ta xét tấm ABCD cân bằng chịu các lực tác dụng như sau : Lực P, phản lực các thanh là S1, S2, S3 , S4, S5, S6

hướng dọc thanh ra phía ngoài tâm. Nếu các lực này dương thanh chịu kéo và âm thanh chịu nén.

Hình 2.11

Vì tấm ABCD cân bằng, nên hệ lực: (P, S1, S2, S3 , S4, S5, S6 ) ~ 0

Ta chọn hệ trục Axyz như hình 2.11, các phương trình cân bằng của hệ lực sẽ là:

0 45 cos . 45 cos

. 0 5 0

2  



X  S S (1)

0 45 cos

. 0

S4

P Y  

 (2)

0 45

cos . 45 cos . 45

cos

. 0 3 4 0 5 0 6

2

1     



Z  S S S S S S (3) 0

45 sin . .

45 sin . . . )

(  1  2 0  3  4 0 

mx F S a S a S a S a (4)

0 45 cos . . . )

(  3  4 0 

my F S a S a (5)

0 45 cos . . 45 cos . . )

(  2 0  4 0 

mz F S a S a (6)

Giải hệ 6 phương trình trên ta tìm được các kết quả sau đây:

Tư phương trình (2) ta suy ra :

N P P

S 2 . 2 4000 2 45

cos 0

4   

Từ phương trình (6) cho ta : N S

S2  44000 2 Phương trình (5) ta có :

N S

S3 4.cos450 4000 Tương tự như vậy ta tìm được :

N P

S1  2000

N P

S52 24000 2 N P

S6  2000

Từ kết quả trên ta thấy S1, S4, S5 dương nên thanh 1, 4, 5 chịu kéo, còn S2, S3, S6 âm nên thanh 2, 3, 6 chịu nén.

Do kết quả trên, ta có quy tắc để biết thanh chịu nén hay chịu kéo như sau:

Khi xét bài toán có liên kết thanh, ta vẽ phản lực thanh hướng dọc thanh đó ra phía ngoài nút. Nếu phản lực của thanh dương thanh chịu kéo, phản lực của thanh âm thì thanh chịu nén. Còn trị số nội lực bằng trị số của phản lực ấy.

Từ điều kiện và phương trình cân bằng của hệ lực không gian ta suy ra điều kiện và phương trình cân bằng của hệ lực phẳng.