Chơng này sẽ giới thiệu cho chúng ta các khái niệm về sai số, số xấp xỉ. Bởi môn phơng pháp tính cung cấp các công cụ tính toán gần đúng nên việc xem xét sai số, số xấp xỉ là vô
cùng quan trọng.
1.1 Khái niệm số xấp xỉ, sai số tuyệt đối và tơng
đối.
1.1.1 Số xấp xỉ
Trong thực tế chúng ta làm việc chủ yếu với số xấp xỉ.
Định nghĩa1.1: a gọi là số xấp xỉ của số đúng A, ký hiệu aA, nếu a khác A không đáng kể và đợc dùng thay cho A trong tính toán.
Nếu a<A thì a gọi là xấp xỉ thiếu của A. Nếu a>A thì a gọi là xấp xỉ tha của A.
Thí dụ : Số 1.414. Số 1.414 chính là số xấp xỉ của số . 1.1.2 Sai số tuyệt đối
Gọi A là số chính xác, a là số xấp xỉ.
Định nghĩa1.2: Hiệu (hoặc ) gọi là sai số tuyệt
đối của số xấp xỉ a. Trị tuyệt đối:
gọi là sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a.
Trong thực tế, ta không thể xác định đợc số đúng A, do vậy mà ta cũng không thể có đợc sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a. Vì vậy, cùng với khái niệm sai số tuyệt đối ngời ta thêm vào khái niệm sai số tuyệt đối giới hạn.
Định nghĩa1.3: Sai số tuyệt đối giới hạn của một số xấp xỉ a là số không nhỏ hơn sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a.
Do đó, nếu gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a th× :
(*) Từ đó suy ra:
Để đơn giản, ta thờng viết dới dạng
Trong thực hành, ngời ta thờng chọn là số nhỏ nhất có thể đợc, thoả mãn (*)
1.1.3 Sai số tơng đối
Trong một số trờng hợp sai số tuyệt đối, sai số tuyệt đối giới hạn không thể hiện đợc mức độ chính xác của phép đo hoặc tính toán. Do đó ngời ta đa vào những khái niệm sau:
Định nghĩa1.4: Sai số tơng đối của số xấp xỉ a ký hiệu là :
Với giả thiết A 0.Từ đó: .
Định nghĩa1.5: Sai số tơng đối giới hạn của một số xấp xỉ a, ký hiệu , là số không nhỏ hơn sai số tơng đối của số xấp xỉ a. Do
đó:
nghĩa là:
Suy ra và ta có thể chọn và
Trong thực hành, ngời ta thờng sử dụng sai số tơng đối và sai số tơng đối giới hạn để đánh giá các phép đo. Ví dụ hai phÐp ®o sau:
Phép đo thứ nhất có a1=10m , =0.02 suy ra = .
Phép đo thứ hai có a2=2m , =0.02 suy ra = .
Ta thấy < , nghĩa là phép đo thứ nhất tốt hơn phép đo thứ hai.
1.2 Cách viết số xấp xỉ 1.2.1 Chữ số có nghĩa
ở dạng thập phân thì một số đợc biểu diễn bởi nhiều chữ
sè vÝ dô 50.25 cã 4 ch÷ sè; 0.05047 cã 6 ch÷ sè.
Định nghĩa1.6: Những chữ số có nghĩa của nột số là những chữ số của số đó kể từ chữ số không đầu tiên tính từ trái sang phải
Ví dụ: số 50.25 có 4 chữ số có nghĩa, số 0.0547 cũng có 4 chữ
số có nghĩa.
1.2.2 Chữ số đáng tin
Định nghĩa1.7: Cho số thực a đợc biểu diễn dới dạng:
trong đó m là số nguyên, 0 (i=m-1, m-2,…), 0 . Chữ số gọi là chữ số đáng tin nếu:
và gọi là chữ số nghi ngờ nếu :
Ví dụ: Số xấp xỉ a=3.7284 với =0.0047 có 3 chữ số đáng tin là 3, 7, 2 và 2 chữ số nghi ngờ là 8, 4.
Rõ ràng nếu là chữ số đáng tin thì những chữ số ở bên trái nó cũng là những chữ số đáng tin, nếu là chữ số nghi ngờ thì những chữ số ở bên phải nó cũng là những số nghi ngê.
1.2.3 Cách viết số xấp xỉ
Gọi số a là số xấp xỉ của số đúng A với sai số tuyệt đối giới hạn là . Số xấp xỉ a đợc viết theo hai cách dới đây:
Cách thứ nhất: viết số xấp xỉ a kèm theo sai số tuyệt đối giới hạn : .
VÝ dô: 99.999 0.001
Cách này thờng đợc dùng để biểu diễn các kết quả tính toán hoặc phép đo.
Cách thứ hai: viết số xấp xỉ a theo quy ớc: mọi chữ số có nghĩa đồng thời là những chữ số đáng tin. Điều đó có nghĩa là sai số tuyệt đối giới hạn không lớn hơn một nửa
đơn vị của chữ số ở hàng cuối cùng bên phải.
VÝ dô: 50.25 th× (1/2).10-2 .
Cách này thờng dùng trong các bảng số nh bảng các hàm số lợng giác, bảng lôgarit…
1.3 Sự quy tròn số và sai số quy tròn.
1.3.1 Khái niệm về sự quy tròn và sai số quy tròn
Sự quy tròn: trong trờng hợp số a có quá nhiều chữ số làm cho việc tính toán, ghi chép trở nên khó khăn, ngòi ta phải ngắt bỏ đi một vài chữ số ở cuối và nhận đợc số a1. Việc làm đó đợc gọi là sự quy tròn số.
Sai số quy tròn tuyệt đối : chính là trị tuyệt đối của hiệu a1-a, ký hiệu là .
Sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn của số đã quy tròn a1, ký hiệu
1.3.2 Nguyên tắc quy tròn
Phép quy tròn phải đảm bảo cho sai số quy tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị của chữ số ở hàng giữ lại cuối cùng bên phải.
Điều đó có nghĩa là: nếu chữ số bỏ đi đầu tiên 5 thì
thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng bên phải là một đơn vị; nếu chữ số bỏ di đầu tiên <5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng bên phải.
Ví dụ: quy tròn số =1.732050875688…đến chữ số có nghĩa thứ 6, thứ 5, thứ 4 là 1.73205, 1.7321, 1.732.
1.4 Các định lý về sai số
Xét các số xấp xỉ x1, x2, x3,…có các sai số tuyệt đối giới hạn là , , …, và sai số tơng đối giới hạn là , , ,…
1.4.1 Sai số của một tổng, hiệu Xét tổng(hiệu) sau:
Sai số tuyệt đối giới hạn của tổng(hiệu) trên là :
Sai số tơng đối giới hạn của tổng(hiệu) trên là : .
Chú ý hiện tợng mất chính xác khi trừ hai số, nếu trừ hai số xấp xỉ x1và x2 (x1>0, x2>0) có giá trị gần bằng nhau thì sai số tơng
đối giới hạn của hiệu có thể rất lớn, trong khi đó sai số tơng đối giới hạn của số trừ và của số bị trừ vẫn nhỏ.
1.4.2 Sai số của một tích XÐt tÝch sau:
Sai số tơng đối giới hạn của tích trên là : Sai số tuyệt đối giới hạn của tích trên là : 1.4.3 Sai số của một thơng
Xét thơng sau: với ( 0).
Sai số tơng đối giới hạn của thơng trên là : Sai số tuyệt đối giới hạn của thơng trên là : 1.4.4 Tổng quát
Xét trờng hợp tổng quát : u=f(x1, x2, x3,…,xn) trong đó f liên tục, khả vi theo các biến xi.
Sai số tuyệt đối giới hạn của u là :
1.5 Sai số phơng pháp_sai số tính toán.
Sai số phơng pháp sinh ra do dùng phơng pháp gần đúng.
Sai số tính toán sinh ra do quá tình tính phải làm tròn số. Sai số của bài toán là tổng hai sai số trên.
Ví dụ: tính chuỗi đan dấu B = Ta cã : B = = BN + RN
Tính BN bỏ RN thì bài toán có sai số phơng pháp.
Trong khi tính BN ta làm tròn số có sai số tính toán.
Sai số cuẩ bài toán trên là tổng sai số phơng pháp và sai số tính toán.