CHƯƠNG 2 BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC
2.4 Khôi phục ảnh sau biến đổi wavelet
Các thành phần sau khi phân rã cA (thành phần xấp xỉ), cV (thành phần quét ngang), cH (thành phần quét dọc), cD (thành phần đường chéo) sẽ là ngõ vào của khối tái tạo cấu trúc của ảnh sau khi biến đổi (xử lý nhiễu, nén, dung hợp…). Các bộ lọc tái tạo
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 2 BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC (DWT)
cấu trúc lọc thông thấp ( ), lọc thông cao ( ) có mối liên hệ với các bộ lọc phân rã để đạt đƣợc sự khôi phục hoàn toàn,
( ) ( ) ( ) ( ) , (2.13)
( ) ( ) ( ) ( ) , (2.14) Điều kiện đầu để tránh sai số lấy mẫu tự do, điều kiện tứ hai để thành phần méo dạng có biên độ là 1. Các bộ lọc được sử dụng trong biến đổi wavelet thường là Haar và Daubechies (db1, db2, …)
Hình 2.8: Biến đổi DWT ngược đề khôi phục lại ảnh
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
CHƯƠNG 3
PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU BEMD
(Bidimensional Empirical Mode Decomposition- BEMD)
3.1 Tổng quan về phương pháp thực nghiệm phân hủy theo một chiều EMD (Empirical Mode Decomposition)
3.1.1 Giới thiệu về EMD
EMD phân rã các thành phần không gian - tần số thành một nhóm các hàm nội IMF (Instrinsic mode function), trong đó, các thành phần tần số cao nhất nằm trong IMF đầu tiên, và tần số của các thành phần giảm dần trong các IMF tương ứng kế tiếp. Các IMFs đơn giản là các hàm dao động nội với thành phần biên độ và tần số biến thiên, và có các đặc tính sau:
Trong suốt toàn bộ chiều dài của một IMF thi số cực trị và số zero-crossings phải bằng nhau hoặc chỉ hơn kém một.
Tại bất cứ vị trí nào của dữ liệu thì trị trung bình của đường bao xác định bởi các cực đại nội và đường bao được xác định bởi các cực tiểu nội bằng 0
Và theo nhƣ đặc điểm của IMF thì IMF cuối cùng chỉ chứa 1 hay không cực trị.
Điều kiện thứ hai nhằm đảm bảo cho tần số tức thời không có sự biến thiên không mong muốn gây ra bởi sự không đối xứng của các dạng sóng. Lý tưởng hóa cho điều kiện này là: trị trung bình của dữ liệu bằng 0. Đối với dữ liệu không ổn định, việc xác định một scale thời gian nội là không thể, nhƣng việc tính trung bình nội lại bao gồm scale thời gian đó. Nhƣ một sự thay thế, việc sử dụng trung bình nội đƣợc xác định bởi cực đại và cực tiểu nội nhằm áp đặt sự đối xứng nội thay thế lên dữ liệu.
IMFs chính là sự biểu diễn các kiểu dao động chứa trong dữ liệu. Với định nghĩa này, IMF trong mỗi chu kỳ, đƣợc định nghĩa bởi các zero-crossings mà chỉ chứa trong đó một kiểu dao động, không có các sóng liên hiệp cƣỡi lên nhau. Và với định nghĩa này, một IMF sẽ không bị giới hạn bởi dải tín hiệu hẹp, và nó có thể vừa điều chế biên độ vừa điều chế tần số.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
Hình 3.1: IMF với số zero-crossing và số cực trị bằng nhau, đường bao trên và đường bao dưới đối xứng tương ứng 0, tuy nhiên vẫn chưa có sự đối xứng.
Các đặc tính của EMD:
EMD là một phương pháp thích nghi dựa trên đặc tính nội của dữ liệu, và do đó nó thật sự hiệu quả với các dao động không tuyến tính và không ổn định.
EMD sẽ hoạt động nhƣ một cặp bộ lọc khi dữ liệu đƣợc thêm vào chuỗi nhiễu trắng (hay Gaussian).
EMD là phương pháp trực quan và trực tiếp, với các hàm cơ bản dựa trên các dữ liệu đầu vào trước đó, ví dụ IMF thứ hai được xác định dựa trên thành phần còn lại (phần dƣ) sau khi xác định IMF thứ nhất.
3.1.2 EMD trong phân tích tín hiệu
Để hiểu rõ bản chất cũng nhƣ tính năng của EMD, ta xét quá trình phân tích của EMD trên tín hiệu là thành phần một chiều. EMD đã đƣợc phát triển từ lâu kết hợp với phổ Hilbert (Hilbert spectrum-HS) trong việc phân tích tín hiệu thành các hàm nội IMF, cung cấp thông tìn về tần số của tín hiệu trong miền thời gian và các kiểu dao dộng trong các scale thời gian nội.
3.1.2.1 Biến đổi Hilbert
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
(3.1)
(3.2) ( ) ( ) ( )
Trong đó
( ) ∫ ( )
Với P là Cauchy principle value.
→ ( ) ( ) ( ) với ( ) √ ( ) ( ) và pha ( ) ( ( ) ( ))
Tần số tức thời đƣợc định nghĩa ( ( ))
( ) . Sau khi phân giải tín hiệu thành các IMFs bằng phương pháp EMD, vẫn duy trì được các đặc tính nội trong miền thời gian của tín hiệu, từ đó có thể tách thông tin nội trong miền tần số với biến đổi Hilbert dưới dạng biên độ và tần số tức thời tương ứng với thời gian của chúng.
Hình 3.2: Phổ Hilbert của IMF1 của tín hiệu, X-Y là thang thời gian và tần số, thanh cường độ màu tương ứng với biên độ tức thời.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
(3.3) 3.1.2.2 Giải thuật thực hiện EMD
Hầu hết tất cả các dữ liệu đều không phải là các IMFs, tại bất kỳ thời gian nào đƣợc đƣa ra thì dữ liệu có thể chứa trong nó nhiều hơn hai kiểu dao động, do đó một biến đổi Hilbert đơn giản không thể cung cấp đầy đủ sự mô tả nội dung tần số cho toàn dữ liệu. Ta phải phân giải dữ liệu thành các thành phần IMFs, phương pháp EMD phân tách các thành phần tần số của tín hiệu trong các scale thời gian thành các IMFs. Sau khi thành phần tần số cao nhất của tín hiệu được tách ra, thì quá trình tương tự được áp dụng cho phần tín hiệu còn lại (phần dƣ) để tách thành phần tần số cao nhất còn chứa trong phần dƣ đó, tín hiệu còn lại này đƣợc xem nhƣ một tín hiệu ngõ vào mới. Việc phân giải của EMD dựa trên các điều kiện sau:
Tín hiệu phải có ít nhất một cặp cực trị
Time scale đƣợc định nghĩa là khoảng thời gian giữa hai cực trị liên tiếp
Nếu nhƣ không có cực trị mà chỉ có một điểm uốn, thì tín hiệu có thể đƣợc lấy đạo hàm để xác định cực trị. Kết quả cuối cùng đạt đƣợc bằng sự kết hợp của các thành phần.
Đặc trưng chủ yếu của phương pháp này là xác định các kiểu dao động dựa trên các đặc tính scale thời gian trong dữ liệu một cách thực nghiệm. Nói cách khác, tín hiệu sẽ được phân giải một cách tuần tự từ thành phần tần số cao nhất, tương ứng với IMF đầu tiên, cho đến thành phần tần số thấp nhất và phần còn dƣ của tín hiệu.
( ) ∑ ( ) ( )
3.1.2.3 Quá trình lựa chọn trong phân giải tín hiệu hay dữ liệu bằng EMD
Dựa trên sự thuận lợi trong định nghĩa IMF, phương thức phân giải chỉ đơn giản là sử dụng các đường bao được xác định bởi các cực đại và cực tiểu nội một cách riêng biệt,
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
Đối với việc xác định IMF đầu tiên, dữ liệu ngõ vào chính là , trị trung bình của các đường bao là sẽ bị trừ với ta có thành phần đầu tiên ,
( )
sẽ đƣợc xem xét có đƣợc chọn là IMF hay không dựa trên các điều kiện về tính chất của một IMF, nếu không quá trình trên sẽ đƣợc lặp lại với tín hiệu đầu vào chính là và chính là trị trung bình của các đường bao tạo từ .
Quá trình chọn lựa tiếp tục cho đến khi thành phần dƣ là một hàm đơn điệu và không thể tách ra dc nữa, thì tìm đƣợc IMF đầu tiên
( ) IMF đầu tiên tìm đƣợc là ,
Quá trình lựa chọn trên làm giảm các búp sóng chồng lên nhau và làm cho tín hiệu trở nên đối xứng.
3.1.2.4 Chuẩn ngừng cho quá trình lựa chọn
Quá trình chọn lọc dựa trên việc xác định đường bao và dùng cubic spline sẽ làm cho các thành phần biên độ không đều trở nên mịn hơn. Nhƣng nếu quá trình lặp của việc chọn lọc quá lâu sẽ làm mất đi trị trung bình vật lý của các biến điệu biên độ và IMF nhận đƣợc sẽ chứa thành phần hằng số về biên độ (DC). Do đó, để duy trì trị trung bình vật lý của một IMF, trong quá trình điều chế biên độ và tần số, ta đƣa ra thông số về độ lệch chuẩn dựa trên chuẩn ngừng (mức ngƣỡng dừng). Độ lệch chuẩn SD (standard deviation) đƣợc tính toán từ hai kết quả chọn lọc liên tiếp và nếu SD nằm (3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
dưới mức ngưỡng quy định thì quá trình sẽ dừng lại, IMF được xác định, mức ngưỡng thường nằm trong khoảng 0.05 và 0.75.
∑ [| ( ) |
( )
]
IMF tiếp theo sẽ được xác định dựa trên tín hiệu vào là , quá trình thực hiện tương tự cho đến khi thành phần còn lại quá nhỏ để phân tách tiếp hoặc dựa trên chuẩn ngừng SD
Tín hiệu khôi phục dựa trên mối liên hệ,
̂( ) ∑
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
Hình 3.3: a-Dữ liệu gốc; b-Dữ liệu là đường liền nét mảnh với các đường bao trên và đường bao dưới là đường nét đứt, đường bao trung bình là đường liền nét đậm; c-
Phần còn lại sau khi trừ dữ liệu với trị trung bình.
Khoảng giữa của hai điểm 4.5 và 4.6 trên hình 3.3a tồn tại điểm uốn (điểm lồi), sau lần thứ nhất của quá trình lựa chọn, điểm lồi đó trở thành cực đại nội ở tại cùng vị trí thời gian nhƣ trong hình 3.3c. Cực trị mới đƣợc tạo ra theo cách này thực sự tái tạo lại các
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
mode bị mất trước đó trong lần kiểm tra đầu tiên. Thực vậy, quá trình lựa chọn có thể khôi phục lại các sóng chồng lấn với biên độ thấp.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
dựa trên việc xác định các cực trị (thành phần tần số cao và tần số thấp của ảnh), và IMF kế tiếp được xác định dựa trên thành phần dư của IMF trước đó, nên ta nhận thấy rằng, các IMFs đầu sẽ chứa các thành phần đường nét, cạnh nổi bật của ảnh (chứa thông tin chi tiết) nhiều hơn, và các IMFs sau chỉ chứa thành phần nền của ảnh hay các đường nét không rõ ràng.
Hình 3.5: Các IMFs của ảnh dựa trên phương pháp EMD
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
Một ví dụ khác, EMD trên ảnh hồng ngoại,
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
Hình 3.7: Các IMF từ 10 đến 15
3.1.4 Lọc ảnh dựa trên EMD
Nếu nhƣ ảnh có chứa nhiễu, thì quá trình chọn lọc của EMD sẽ phân tách thành phần tần số cao nhất trong mode 1 gần như tương ứng với nhiễu. Thông tin của nhiễu được chứa trong mode đầu tiên và phần ảnh còn dƣ, ngƣợc lại các thành phần chính của ảnh chỉ chứa trong thành phần dƣ.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
Hình 3.8: Hình võng mạc mắt, tương ứng với các mode sau khi phân giải.
Chính vì thế, sau khi phân giải ảnh thành các mode (IMFs), việc lọc nhiễu đƣợc thực hiện một cách dễ dàng bằng cách trừ ảnh gốc với một hay một vài mode đầu, phần dƣ chính là ảnh sau khi lọc.
3.1.5 Sự gián đoạn của tín hiệu (Intermittence)
Tín hiệu hay dữ liệu luôn có sự can thiệp của nhiễu, hơn nữa hầu hết dữ liệu không có tính ổn định, đây chính là nguyên nhân gây ra sự gián đoạn của dữ liệu trong các scale thời gian. Sự gián đoạn là nguyên nhân gây ra hiện tƣợng mode mixing (scale mixing), nghĩa là trong một IMF tồn tại các kiểu dao động khác nhau, hay cùng một kiểu dao động mà tồn tại trong hai IMF, và hậu quả của nó là aliaxing và mất đi trị trung bình vật lý của tín hiệu.
Huang et al. (2003) đã giải quyết hiện tượng trên bằng cách giới hạn kích thước của các scale. Một cách rõ ràng hơn thì đó chính là việc xem xét khoảng cách giới hạn của các cực đại liên tiếp trong một IMF, do đó, IMF chỉ kết hợp các sóng mà khoảng cách của các cực đại liên tiếp nằm trong giới hạn cho phép của chúng. Thực hiện tương tự đối với chiều dài của các zero-crossings để hạn chế ảnh hưởng của vấn đề gián đoạn trong tín hiệu.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
( ) { ( ) ( )
( )
Hình 3.9: Biểu diễn tín hiệu x(t) với , và các IMFs tương ứng.
IMF đầu tiên chứa thành phần scale tần số xuất hiện trong IMF thứ 2 giữa khoảng 1/30 và 2/30, do đó kết quả IMF xuất hiện mode mixing.
Với phương pháp của Huang et al. (1998, 2003), các thành phần sóng mà khoảng cách của các zero-crossings lớn hơn 0.0007 trong IMF đầu tiên của x(t) sẽ bị loại đi trong quá trình phân giải. Dựa vào biểu đồ dưới đây có thể chọn được khoảng cách thích hợp, loại bỏ các sóng có tần số thấp hơn trong IMF đầu tiên.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
Hình 3.10: Biểu đồ của quá trình phân hủy.
Sau khi xử lý hiện tƣợng gián đoạn thích hợp, kết quả của IMFs,
Hình 3.11: Phân giải tín hiệu x(t) thành hai IMFs sau khỉ xử lý thành phần gián đoạn.
3.2 Thực nghiệm phân hủy theo hai chiều BEMD
Có rất nhiều nghiên cứu phát triển EMD theo hai chiều (BEMD) và xa hơn nữa là đa chiều, và hướng xử lý đều áp dụng EMD trên từng chiều, sau đó kết hợp các IMF tương ứng để thu được IMF cuối cùng của ảnh phân giải. Hầu hết các nghiên cứu về
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY THEO HAI CHIỀU
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17) lượng tính toán lớn và phụ thuộc rất lớn vào kích thước của ma trận (kích thước ảnh).
Và BEMD không tránh khỏi hiện tƣợng mode mixing (scale mixing) và đây là khó khăn lớn nhất đối với BEMD và EMD.
Giả sử dữ liệu trong miền không gian- thời gian f( ⃗,t)
f(m,n)=(
)
Trong đó mỗi cột sẽ đƣợc xem nhƣ là dữ liệu ngõ vào của biến đổi EMD,
( ) (
)
Mỗi cột của dữ liệu gốc sau khi biến đổi EMD sẽ tạo ra một loạt các IMFs,
( ) ∑ ( ) ∑ (
)
Sau khi tất cả các cột của dữ liệu gốc đƣợc phân giải, ta sắp xếp lại các ngõ ra thành J ma trận, với ma trận thứ J,
( ) (
)
Theo cách này, ta đạt đƣợc J thành phần (ma trận) từ tín hiệu ban đầu f(m,n).
Hình (4.7) là kết quả phân giải theo phương pháp BEMD theo chiều dọc và theo chiều ngang. Kết quả cho thấy việc phân giải theo hai chiều sẽ cho kết quả khác nhau, đặc biệt là một số cạnh nét nổi bật của ảnh mà phân giải theo chiều dọc thì thấy rõ ràng nhƣng phân giải theo chiều ngang thì không có và ngƣợc lại.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CHƯƠNG 4 TẬP HỢP CÁC THỰC NGHIỆM PHÂN HỦY …