CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
IX. Nguyeân lyù chuoàng Boà caâu
Giả sử rằng ta có một chuồng Bồ câu được phân chia thành các ô để chứa chim bồ câu.Nguyên lý chuồng Bồ câunói rằng nếu số chim nhiều hơn số ô thì có ít nhất một ô chứa từ 2 con chim trở lên.
Nguyên lý mầy tất nhiên là có thể được áp dụng cho những trường hợp xét các đối tượng khác chuồng Bồ câu.
Định lý 1. Nếu ta đặt n đối tượng (hay phần tử) nào đó vào k hộp, và số hộp k nhỏ hơn số đối tượng n, thì có ít nhất một hộp chứa từ 2 đối tượng trở lên.
Chứng minh: Giả sử không có hộp nào trong k hộp chứa nhiều hơn 1 đối tượng. Khi đó số đối tượng đựng trong các hộp nhiều nhất là k, và điều nầy là mâu thuẩn vì n lớn hơn k.
Ghi chú : Nguyên lý nầy còn được gọi là nguyên lý Dirichlet, một nhà toán học người Đức. Dirichlet thường sử dụng nguyên lý nầy trong những nghiên cứu của mình.
Ví dụ 1. Trong một nhóm gồm 367 người sẽ có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh nhật vì số ngày khác nhau chỉ có thể là 366.
Ví dụ 2. Trong 27 từ tiếng Anh, có ít nhất 2 từ có mẫu tự đầu giống nhau vì tiếng Anh có 26 mẫu tự.
Ví dụ 3. Phải có bao nhiêu học sinh trong một lớp học để bảo đảm rằng có ít nhất 2 học sinh có điểm bằng nhau trong một kỳ thi. Điểm thi của mỗi học sinh là nguyên và từ 0 đến 100.
Lời giải. Có 101 trường hợp có thể xảy ra đối với điểm của một học sinh. Nguyên lý chuồng Bồ câu chỉ ra rằng phải có từ 102 học sinh trở lên thì mới bảo đảm rằng có ít nhất 2 học sinh có cuứng ủieồm.
Nguyên lý chuồng Bồ câu có thể được phát biểu dưới dạng tổng quát hụn nhử sau:
Định lý 2. Nếu đặt n phần tử vào một k hộp thì sẽ có một hộp chứa ít nhất làn/k phần tử.
Trong định lý trên, ký hiệu a dùng để chỉ số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng a. Chẳng hạn5 = 5, 4 / 3 = 2.
Chứng minh. Giả sử không có hộp nào chứa nhiều hơn n / k-1 phần tử. Thế thì số phần tử chứa trong k hộp nhiều nhất là baèng
k(n/k-1) < k( (n/k + 1) -1 ) = n,
trong đó ta đã sử dụng bất đẳng thức n / k < n/k + 1. Điều nầy là mâu thuẩn vì có tất cả là n phần tử.
Ví dụ 4. Trong 100 người có ít nhất 100 / 12 = 9 người sinh đồng tháng sinh.
Ví dụ 5. Trong một lớp học phải có ít nhất bao nhiêu học sinh để cho có ít nhất 6 học sinh có cùng thứ bậc học tập, biết rằng có 5 loại thứ bậc là A, B, C, D và E ?
Lời giải. Số học sinh thấp nhất để bảo đảm có ít nhất 6 học sinh có cùng thứ bậc là số nguyên N nhỏ nhất sao cho N / 5= 6.
Từ đó ta có N = 5.5 + 1 = 26. Vậy lớp phải có ít nhất là 26 học sinh.
Ví dụ 6. Trong suốt một tháng gồm 30 ngày, một đội bóng phải chơi mỗi ngày ít nhất một trận; nhưng trong tháng đó đội bóng không được chơi nhiều hơn 45 trận. Hãy chỉ ra rằng phải có
một giai đoạn gồm một số ngày liên tiếp mà trong giai đoạn đó đội phải chơi đúng 14 trận.
Lời giải. Đặt ajlà số trận mà đội bóng chơi cho đến hết ngày thứ j trong tháng. Ta có a1, a2, . . ., a30là một dãy số tăng gồm các số nguyên dương khác nhau từng đôi một và aj45. Hơn nữa, a1+14, a2+14, . . ., a30+ 14 cũng là một dãy số tăng gồm các số nguyên dương khác nhau với 15aj+ 1459.
60 soỏ nguyeõn dửụng a1, a2, . . ., a30, a1+14, a2+14, . . ., a30
+14 đều nhỏ hơn hoặc bằng 59. Do đó nguyên lý chuồng Bồ câu cho thấy có 2 số trong 60 số nguyên dương trên bằng nhau. Vì các số nguyên aj , j = 1, 2, ..., 30 là khác nhau từng đôi một, và các số nguyên dương aj +14, j = 1, 2, ..., 30 cũng khác nhau, nên phải có 2 chỉ số i và j sao cho ai= aj+14. Điều nầy có nghĩa là có đúng 14 trận được đội bóng chơi từ ngày thứ j+1 đến ngày thứ i.
Một áp dụng khá hay của nguyên lý chuồng Bồ câu sẽ chỉ ra rằng trong một dãy số sẽ tồn tại một dãy con tăng hoặc giảm gồm một số lượng các phần tử mong muốn nào đó. Trước hết ta nhắc lại định nghĩa của một dãy con. Giả sử a1, a2, . . ., aNlà một dãy số thực. Một dãy con của dãy nầy là một dãy có dạng ai1, ai2, ..., aik, trong đó 1i1
< i2< . . . < ikN. Nói cách khác, một dãy con là một dãy có được từ dãy ban đầu bằng cách loại bỏ một số phần tử.
Mệnh đề 3. Mọi dãy gồm n2+1 số thực phân biệt sẽ có một dãy con gồm n+1 phần tử tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt.
Việc chứng minh định lý nầy được dành cho phần bài tập.
BÀI TẬP
Câu 1: Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Giả sử p là ước số nguyên dương lớn hơn 1 nhỏ nhất của n. Chứng minh rằng p là một số nguyeân toá.
Caâu 2:
a/ Cho a,b,c là 3 số nguyên. Chứng minh rằng nếu (a,b) = 1 và (a,c) = 1 thì ta cũng có (a,bc) = 1. Nói cách khác, nếu a nguyên tố cùng nhau với b và với c thì a nguyên tố cùng nhau với tích bc.
b/ Cho a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng nếu an và bn thì ta có (a.b)n.
Câu 3: Giá trị của hàm Eulertại mỗi số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n mà nguyên tố cùng nhau với n.
a/ Hãy tính(4),(10), và(13).
b/ Chứng minh rằng một số nguyên dương n là nguyên tố khi và chổ khi(n) = n-1.
c/ Tìm giá trị của hàmtại pk, với p là một số nguyên tố (dương) và k là một số nguyên dương.
Câu 4: Phát biểu nguyên lý cộng và cho ví dụ minh họa.
Câu 5: Phát biểu nguyên lý nhân và cho ví dụ minh họa.
Câu 6: Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng 6 ? Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm đúng 3 ký số (thập phân)
a/ chia heát cho 7 ?
b/ chia heát cho 3 hay cho 4 ? c/ chia hết cho 3 hoặc cho 4 ?
d/ chia heỏt cho 3 nhửng khoõng chia heỏt cho 4 ? e/ chia hết cho 3 và cho 4 ?
f/ khoâng chia heát cho 4 ? g/ có 3 ký số như nhau ?
Câu 8: Giả sử A, B, C là các tập hợp hữu hạn. Hãy chứng minh rằng
| ABC | = | A | + | B | + | C | - ( | AB | + | AC | + | BC | ) + | ABC |
Caâu 9:
(a) Giả sử N là một hằng số cho trước. Xác định giá trị của biến nguyêncountersau khi thực hiện đoạn chương trình PASCAL dưới đây. (Ở đây i, j và k là các biến nguyên)
Counter := 0;
For i := 1 to N do For j := i to N do
For k := 1 to N do
Counter := Counter + 1;
(b) Nguyên lý đếm nào đã được sử dụng trong phần (a) ?
Câu 10: Xem đoạn chương trình PASCAL dưới đây, trong đó i, j, k là các biến nguyên.
For i := 1 to 12 do For j := 5 to 10 do
For k := 15 downto 8 do Writeln ( (i-j)*k );
(a) Lệnh Writeln được thực hiện bao nhiêu lần?
(b) Nguyên lý đếm nào đã được sử dụng trong phần (a) ?
Câu 11: Nêu định nghĩa và phát biểu các công thức về chỉnh hợp và tổ hợp. Cho ví dụ áp dụng.
Câu 12: Nêu định nghĩa và phát biểu các công thức về hoán vị lặp và tổ hợp lặp. Cho ví dụ áp dụng.
Câu 13: Phát biểu nguyên lý chuồng Bồ câu ở dạng tổng quát, và cho ví dụ áp dụng.
Câu 14: Có bao nhiêu ánh xạ khác nhau đi từ tập hợp 1, 2, ..., n
vào tập hợp0, 1?
Câu 15: Có bao nhiêu tập hợp con có nhiều hơn 1 phần tử của một hợp n phần tử?
Câu 16: Cho S = 3, 7, 9, 11, 24. Xác định số tập hợp con của S có tính chất sau : tổng của các phần tử trong tập hợp con nhỏ hơn 28.
Câu 17: Cho d là một số nguyên dương. Chứng minh rằng trong một nhóm gồm d+1 số nguyên sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho d.
Câu 18: Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng trong một tập hợp gồm n số nguyên liên tiếp sẽ có đúng một số chia hết cho n.
Câu 19: Chứng minh rằng trong n sớ thực có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng trung bình cộng của n số đó.
Câu 20: Tìm một dãy con tăng có độ dài lớn nhất và một dãy con giảm có độ dài lớn nhất trong dãy 22, 5, 7, 2, 23, 10, 15, 21, 3, 17.
Câu 21: Cho S và T là 2 tập hợp hữu hạn và f là một ánh xạ từ S vào T. Đặt m =|S| / |T|. Chứng minh rằng có các phần tử s1, s2, . . ., smtrong S sao cho f(s1) = f(s2) = . . . = f(sm).
Câu 22: Chứng minh định lý công thức nhị thức Newton bằng phương pháp qui nạp.