CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
VIII. Hoán vị lặp và Tổ hợp lặp
8.1 Hoán vị lặp
Trong các phần trên ta đã biết một hoán vị của n phần tử là một chỉnh hợp n chọn n của các phần tử đó và số hoán vị là n!. Tuy nhiên trong nhiều bài toán ta có thể gặp tình huống xét sự sắp xếp của một danh sách các phần tử mà trong đó có thể có các phần tử bằng nhau, chẳng hạn như trong ví dụ sau đây:
Ví dụ: Hãy tính xem có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau của 6 mẫu tự trong từ PEPPER.
Giải: Trước hết ta nhận xét rằng từ mỗi cách sắp xếp 6 mẫu tự đã cho, nếu ta phân biệt 3 mẫu tự P (tức là ta đánh chỉ số cho các
mẫu tự P và xem chúng khác nhau) thì ta sẽ có 3! = 6 cách sắp xếp khác nhau. Ví dụ 6 cách sắp xếp sau:
P1E P2P3E R, P1E P3P2E R, P2E P1P3E R, P2E P3P1E R, P3E P1P2E R, P3E P2P1E R.
Cả 6 cách sắp xếp nầy trùng với cách sắp xếp P E P P E R
nếu ta bỏ đi việc đánh chỉ số cho các mẫu tự P. Tiếp theo mỗi cách sắp xếp dãy 6 mẫu tự trong đó các mẫu tự P đã được đánh chỉ số ta sẽ có 2 cách sắp xếp khác nhau nếu các mẫu tự E được phân biệt bằng cách đánh chỉ số cho chúng. Chẳng hạn, Nếu phân biệt 2 mẫu tự E thì sự sắp xếp P1E P2P3E R có 2 cách sắp xếp tương ứng là P1E1P2P3E2R và P1E2P2P3E1
R. Từ đó chúng ta có:
(2!).(3!).(Số cách sắp xếp của các mẫu tự trong từ PEPPER)
= (Số hoán vị của 6 phần tử P1, E1, P2, P3, E2, R)
= 6!
Suy ra số cách sắp xếp của các mẫu tự trong từ PEPPER là 6! / (3! 2!) = 60
Một cách tổng quát, ta có số công thức về số hoán vị lặp của n phần tử được phát biểu trong định lý sau đây:
Định lý: Giả sử có n vật hay đối tượng trong đó có n1 đối tượng thuộc loại 1 (giống nhau), n2đối tượng thuộc loại 2, . . ., và nr
đối tượng thuộc loại thứ r, với n = n1+ n2+ . . . + nr. Khi ấy số cách sắp xếp n đối tượng trên thành dãy có thứ tự, hay số hoán vị của n đối tượng, là
n! / (n ! n ! . . . n!)
Ví dụ: Giả sử n và k là 2 số nguyên dương sao cho n = 2k. Chứng minh rằng n!/ 2klà một số nguyên.
Giải: Xét n ký hiệu x1, x1, x2, x2, . . ., xk, xk. Theo định lý trên ta có số hoán vị của n ký hiệu nầy là
n! / (2! 2! . . . 2!) = n!/ 2k Suy ra rằng n!/ 2klà một số nguyên.
Từ định lý trên, bằng cách lý luận tương tự như trong chứng minh định lý và công thức nhị thức Newton ta có thể chứng minh được ủũnh lyự sau ủaõy:
Định lý: Ta có:
(x1+ x2+ . . . + xm)n
= C(n, r1, …, rm) x r x r x r
m 2
11 2... m : 0rin, r1+ r2+ . . . + rm= n
trong đó các hệ số c(n, r1, …, rm) được tính theo công thức C(n, r1, …, rm) = n! / (r1! r2! . . . rm!)
Vớ duù: Tỡm heọ soỏ cuỷa x3y2z2trong khai trieồn cuỷa (x + 2y - 3z)7. Giải: Áp dụng định lý III.1 ta có: trong khai triển của (x + 2y - 3z)7, số hạng chứa x3y2z2có dạng
C(7, 3, 2, 2) x3(2y)2(-3z)2 Suy ra hệ số của x3y2z2là
C(7, 3, 2, 2) 22(-3)2 = 36 x 7! / (3! 2! 2!) = 7560
8.2 Tổ hợp lặp
Trong nhiều trường hợp khi thực hiện việc chọn lựa các phần tử ta được phép lặp lại sự chọn lựa đối với các phần tử như trong ví dụ sau ủaõy:
Ví dụ: Một người vào một cửa hàng ăn uống muốn chọn mua 7 phần ăn, mỗi phần ăn sẽ được chọn một trong 4 loại khác nhau: A, B, C, D. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 7 phần ăn.
Trong ví dụ trên, 7 phần ăn có thể được chọn là A, B, A, C, C, D, C trong đó gồm 2 phần loại A, một loại B, 3 loại C và một loại D. Bài toán trong ví dụ trên có thể phát biểu dưới dạng tập hợp như sau: Cho tập hợp X =A, B, C, Dcó 4 phần tử. Giải sử ta cần chọn 7 phần tử thuộc tập X, được phép chọn lặp lại và không phân biệt trình tự trước sau của việc chọn. Mỗi cách chọn 7 phần tử như thế được gọi là một tổ hợp lặp 4 chọn 7.
Một cách tổng quát, ta gọi mộttổ hợp lặp n chọn mlà một cách chọn m phần tử được phép lặp lại trong n phần tử cho trước và không phân biệt thứ tự đối với m phần tử được chọn.
Trở lại ví dụ trên về sự chọn lựa 7 phần ăn trong 4 loại khác nhau: A, B, C và D, ta thấy mỗi phép chọn có thể được biểu diễn bởi một dãy ký hiệu gồm 7 ký hiệu x và 3 ký hiệu | theo qui ước sau đây: số ký hiệu x bên trái ký hiệu | đầu tiên chỉ số phần ăn loại A được chọn, số ký hiệu x bên trái ký hiệu | thứ hai chỉ số phần ăn loại B được chọn, số ký hiệu x bên trái ký hiệu | thứ ba chỉ số phần ăn loại C được chọn, và số ký hiệu x bên phải ký hiệu | thứ ba chỉ số phần ăn loại D
được chọn. Bảng dưới đây liệt kê một số trường hợp của việc chọn lựa và sự biểu diễn tương ứng:
Phép chọn 7 phần ăn Biểu diễn của phép chọn A, A, B, B, C, C, D x x | x x | x x | x
A, A, A, A, B, C, D x x x x | x | x | x A, A, A, A, A, A, D x x x x x x | | | x B, C, C, D, D, D, D | x | x x | x x x x C, C, C, C, C, D, D | | x x x x x | x x
Ta có mỗi trường hợp của dãy 10 ký hiệu (gồm 7 ký hiệu x và 3 ký hiệu |) tương ứng với việc chọn lựa 3 trong 10 vị trí trong dãy cho 3 ký hiệu |, tức là ứng với việc chọn một tập hợp con 3 phần tử của tập hợp 10 phần tử1, 2, . . ., 10. Từ đó suy ra số cách chọn 7 phần ăn trong 4 loại là
C(10, 3) = 10x9x8 / 3! = 120
Trong cách biểu diễn trên của tổ hợp lặp 4 chọn 7 ta chú ý rằng số ký hiệu | là 3 = 4 - 1 và số tổ hợp lặp bằng C(7 + 3, 3). Từ đó ta có thể tổng quát hóa cho trường hợp tổng quát: tổ hợp lặp n chọn m, và có ủũnh lyự sau ủaõy:
Định lý: Số tổ hợp lặp n chọn m bằng
C (m + n -1, n -1) = C (n + m -1, m) =
1)!
- (n m!
1)!
- m (n
Hệ quả:
Soỏ nghieọm nguyeõn khoõng aõm x1, x2, . . ., xncuỷa phửụng trỡnh x1+ x2+ . . . + xn = m
là C(n + m - 1, m), vì mỗi trường hợp nghiệm của phương trình tương ứng với một phép chọn lựa m ký hiệu, được phép lặp lại, trong n ký hiệu x1, x2, . . ., xn, trong đó số lần chọn của xi
là giá trị của xivới i = 1, 2, …, n.
Số cách phân bố m vật (hay đối tượng) giống nhau vào n hộp phân biệt bằng C(n + m - 1, m), vì mỗi cách phân bố chính là một tổ hợp lặp chọn m từ n hộp.
Ví dụ 1: Từ hệ quả trên ta có số nghiệm nguyên không âm của phửụng trỡnh
x1+ x2+ . . . + x6 = 10
là C(6+10 -1, 10) = C(15, 10) = 3003. Bây giờ ta sẽ tính xem số nghieọm nguyeõn khoõng aõm cuỷa baỏt phửụng trỡnh
x1+ x2+ . . . + x6 < 10 (1) là bao nhiêu.
Giải: Đặt x7= 10 - (x1+ x2+ . . . + x6), ta có x7là một số nguyên dương nếu x1, x2, . . ., x6là nghiệm của bất phương trình (1) và soỏ nghieọm cuỷa baỏt phửụng trỡnh (1) baống soỏ nghieọm nguyeõn x1, x2, . . ., x6, x7cuỷa phửụng trỡnh
x1+ x2+ . . . + x6 + x7 = 10 (2) thỏa điều kiện
0xi (với i = 1, 2, …, 6), và 0 < x7 (*) Ta có số nghiệm nguyên của phươngnh (2) thỏa mãn điều kiện (*) bằng với số nghiệm nguyên không âm của phương trình
y + y + . . . + y + y = 9 (3)
với cách đổi biến yi= xiứng với i = 1, 2, …, 6, và y7= x7- 1.
Suy ra soỏ nghieọm baống
C(7 + 9 - 1, 9) = 5005.
Ví dụ 2: Xem đoạn cương trình PASCAL dưới đây, với i, j, k là các biến nguyên:
For i := 1 to 20 do For j := 1 to i do
For k := 1 to j do Writeln (i*j + k);
Hỏi lệnh Writeln được thực hiện bao nhiêu lần trong đoạn chương trình naày?
Giải: Ta có thể thấy rằng mỗi lần thực hiện lệnh Writeln ứng với một bộ giá trị của 3 biến i, j, k thỏa điều kiện 1kji 20, tức là ứng với một tổ hợp lặp chọn 3 từ tập hợp 20 phần tử
1, 2, …, 20. Suy ra số lần lệnh Writeln được thực hiện là C(20 + 3 -1, 3) = C(22, 3) = 1540.