Tài liệu Chuong 12-08 doc

Các thanh cong thường gặp trong thực tế như: ρ h 1 Các thông số hình học của thanh cong ρ: Bán kính cong của trục thanh h: Chiều cao mặt cắt ngang của thanh Khi h/ρ≤1/10 ta tính như th

Chương 12: Thanh cong phẳng

13.1 Khái niệm

Trong thực tế, nhiều chi tiết máy là những thanh cong, vì vậy việc áp dụng các công thức đã xây dựng trong các chương trước không còn đúng nữa Vì vậy ta phải nghiên cứu

phương pháp tính toán riêng đối với các thanh cong

Các thanh cong thường gặp trong thực tế như:

ρ

h

1

Các thông số hình học của thanh cong

ρ: Bán kính cong của trục thanh

h: Chiều cao mặt cắt ngang của

thanh

Khi h/ρ≤1/10 ta tính như thanh thẳng

Khi h/ρ≥1/10 ta mới tính như thanh cong

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

Ta gọi thanh cong chịu uốn thuần tuý khi: Trên các mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là mô men uốn Mx.

Dựa vào sự cân bằng của đoạn thanh

tách ra ta tính được: Qy=0;

Mx=M

Dấu của mô men uốn được quy định: Mx

dương khi nó làm căng các thớ về phía

dương của trục y (làm thanh cong thêm)

Thí dụ: Xét thanh cong có bán kính

cong r, ngàm một đầu, chịu mô men M

ở dầu thanh (hình vẽ)

M

r

1 1

α

M

r

1 1

α

Mx

Qy

Các giá trị này đúng trên tất cả các mặt cắt ngang của thanh; Như vậy Thanh chịu uốn phẳng thuần tuý.

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.2 Các giả thiết khi tính thanh cong chịu uốn thuần tuý

+ Trong quá trình biến dạng, các mặt cắt ngang phẳng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh

+ Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không có tác động lẫn nhau (không đẩy xa nhau và cũng không chèn ép lên

nhau)

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.3 Công thức tính ứng suất trong thanh cong cong chịu uốn thuần tuý

Xét thanh cong phẳng chịu uốn

thuần tuý Trên mặt cắt ngang nào

đó, ta lập hệ trục Cxyz:

Với: + C là tâm mặt cắt ngang;

+ Cz trùng với tiếp tuyến của trục thanh

+ Cy trùng với trục đối xứng của mặt cắt, có chiều đi từ trong ra

ngoài;

+ Cx vuông góc với Cy, nằm trên mặt cắt ngang

y

x z C

σz

ρ

r

Mx

rth

Đường trung hoà

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.3 Công thức tính ứng suất trong thanh cong cong chịu uốn thuần tuý

+ Khác với thanh thẳng, khi chịu uốn,

đường trung hoà không đi qua tâm của

mặt cắt ngang mà dịch về phía trong (gần

tâm cong )

+ Trên mặt cắt chỉ có ứng

suất pháp σz được tính theo

công thức:

Với: + Mx là mô men uốn trên mặt cắt;

+ F là diện tích mặt cắt ngang;

+ a là khoảng cách từ đường trung hoà đến tâm mặt cắt; + r là bán kính cong của thớ đi qua điểm tìm ứng suất;

y

x z C

σz

ρ

r

Mx

rth

Đường trung hoà

(1)

th

F

F r

dF r

=

∫

.

x th z

F a r

Các thớ trung hoà có bán

kính cong rth được tính

theo công thức:

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.3 Công thức tính ứng suất trong thanh cong cong chịu uốn thuần tuý

- Từ công thức (2) ta thấy:

+ Ứng suất tại các điểm

trên cùng một đường thẳng

song song với đường trung

hoà có trị số bằng nhau;

Theo trục y, Ứng suất phân

bố theo quy luật hypecbon

+ Đường hypecbon ứng suất

có hai tiệm cận vuông góc

với nhau là:

y

σ

ρ

r1

rth

r2

rth

ρ

C C

* Đường đi qua tâm cong đồng thời song song với pháp tuyến của mặt cắt;

* Đường thẳng có đường tiệm cận song song với trục

x

M

F a

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.3 Công thức tính ứng suất trong thanh cong cong chịu uốn thuần tuý

- Nhìn vào biểu đồ ứng suất ta thấy:

+Ứng suất tăng chậm

theo chiều cao của mắt

cắt khi đi từ thớ trung

hoà ra phía ngoài và tăng

nhanh khi đi vào trong

tâm cong;

+Những điểm ở mép ngoài và mép trong có trị số ứng suất nén hoặc kéo lớn nhất;

y

σ

ρ

r1

rth

r2

rth

ρ

C C

+Nếu mặt cắt ngang có bề rộng không đổi thì trị số tuyệt đối của ứng suất ở mép trong sẽ lớn hơn mép ngoài rất nhiều Để giảm

sự chênh lệch này người ta thường làm thanh có kích thước

ngang lớn về phía tâm cong

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.4 Xác định bán kính cong của thớ trung hoà

Để tìm được ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh cong

chịu uốn thuần tuý, ta phải tìm được bán kính cong của thớ trung hoà

Ở đây chúng ta nghiên cứu việc tính bán kính cong thớ trung hoà đối với một số mặt cắt đơn giản theo công thức (1), còn với mặt cắt phức tạp ta dùng phương pháp gần đúng hoặc tra bảng

Ở đây chúng ta xây dựng công thức để tính bán kính cong thớ trung hoà đối với:

13.2.4.1 Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật 13.2.4.2 Thanh có mặt cắt ngang hình tròn

13.2.4.3 Thanh có mặt cắt ngang hình thang 13.2,4.4 Phương pháp gần đúng

13.2.4.5 Phương pháp tra bảng

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.4 Xác định bán kính cong của thớ trung hoà

13.2.4.1 Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật

Xét thanh có mặt cắt ngang hình chữ

nhật, có các cạnh h và b (hình vẽ)

Tại thớ có bán kính cong r, ta lấy một

dải diện tích dF theo phương vuông

góc với mặt phẳng thanh và có chiểu

dày dr ta có:

Diện tích: dF=bdr

Diện tích mặt cắt ngang: F=bh

r1

r2

rth

ρ

r

dr

x

y

C

h b

Thay các giá trị trên vào (1) ta có:

1

2

1 2

ln

r

b

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.4 Xác định bán kính cong của thớ trung hoà

13.2.4.2 Thanh có mặt cắt ngang hình tròn

Xét thanh có mặt cắt ngang hình tròn

(hình vẽ):

Tương tự như với hình chữ nhật ta có:

dF=b-r.dr Theo hình vẽ ta có: br=dcosϕ

Từ đó ta có:

Thay các giá trị trên vào (1)

và rút gọn ta được:

r2

rth

ρ

r

dr

x

br

O

dF

ϕ

2

4

d

F = π

sin 2

d

s 2

r

d

2

d

dF = co ϕ ϕ d

2

2 2

th

d r

d

=

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.4 Xác định bán kính cong của thớ trung hoà

13.2.4.3 Thanh có mặt cắt ngang hình thang

Xét thanh có mặt cắt ngang hình

thang (hình vẽ)

Tương tự như hình chữ nhật ta có:

dF=br.dr

Thay các giá trị trên vào (1) ta được:

Diện tích mặt cắt ngang: F=bh

Thay các giá trị trên vào (1) ta có:

1 2

2

b b

1

r

r r

b b b b

r r

−

= + −

−

1 2

2

2

th

b b

h r

+

r1

r2

rth

ρ

r

dr

x

y

C

dF

h

b1

b2

br

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.4 Xác định bán kính cong của thớ trung hoà

13.2.4.1 Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật

Từ công thức trên ta thấy:

+ Khi b1 = b2 (hình chữ nhật) thì công

thức trở về công thức của hình chữ

nhật

+ Khi b1=0, b2=b (hình tam giác) thì ta

có:

1 1

2

th

bh r

r

b

=

−

r1

r2

rth

ρ

r

dr

x

y

C

dF

h

b1

b2

br

13.2 Thanh cong chịu uốn thuần tuý

13.2.4 Xác định bán kính cong của thớ trung hoà

13.2.4.5 Phương pháp tra bảng

Đối với một số mặt cắt ngang thường gặp, người ta tính toán bán kính cong của thớ trung hoà dưới dạng: rth=k.ρ

Ở đây: + ρ là bán kính cong của trục thanh;

+ k là hệ số phụ thuộc vào tỷ số (a là khoảng cách

từ mép trong của thanh đến tâm mặt cắt) và được xác định trong các bảng sau:

13.3 Thanh cong chịu lực phức tạp

13.2.4 Xác định bán kính cong của thớ trung hoà

Xét thanh cong phẳng chịu lực phức tạp (hình vẽ)

Trong trường hợp này, nội lực trên

mặt cắt ngang của nó có nhiều nhất

là ba thành phần là: Mx, Nz, Qy

Cũng tương tự như thanh thẳng, lực

cắt Qy có ảnh hưởng rất ít đén độ bền

của thanh, nên ta thường bỏ qua

Như vậy trên mặt cắt ngang của

thanh chỉ còn mô men uốn Mx và lực

dọc Nz

y

x z

ρ

Mx

rth

Đường trung hoà

Áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng ta có:

)

x th

z z

N

13.3 Kiểm tra bền thanh cong phẳng

Khi chịu lực, trên mặt cắt ngang của thanh cong phẳng chỉ có ứng suất pháp

Như vậy điều kiện bền của nó cũng giống như thanh thẳng chịu uốn:

Trong đó σmax và σmin tính theo các công thức trên

ax

min

n

≤

≤