C1 co so ly thuyet do luong

Giá trị chính xác giá trị đúng của đại lượng đo thường không biết trước, cho nên khi đánh giá sai số của phép đo thường ta sử dụng giá trị thực Xth là giá trị đại lượng đo xác định được

Chương 1

Cơ sở lý thuyết đo lường

1.1.KHÁI NIỆM CHUNG

1 Khái niệm cơ bản

Đo lường là quá trình xác định các đại lượng vật lý khác nhau bằng dụng cụ đo Nội dung nghiên cứu của đo lường bao gồm: Xác định sai số dụng cụ đo và phép đo; Các phương pháp đo lường; Sử dụng dụng cụ đo

+ Đo:

Phép đo một đại lượng vật lí là phép so sánh nó với đại lượng cùng loại được quy ước làm đơn vị Công cụ để thực hiện việc so sánh nói trên gọi là dụng cụ đo, phép so sánh trực tiếp thông qua dụng cụ đo gọi là phép đo trực tiếp

Số đo X = A/ a A: Đại lượng vật lý

+ Thiết bị đo: Dụng cụ cần thiết để hoàn thành phép đo Thường chia thành 3 khâu:

Hình 1.1 Sơ đồ cơ bản của một thiết bị đo

a, Thu nhận tín hiệu: Nhiệm vụ thu nhận và biến đổi từ dạng đại lượng vật lý

này đến đại lượng vật lý khác Đại lượng cần đo có thể là đại lượng không điện, qua đầu đo được biến đổi thành đại lượng điện

b, Xử lý tín hiệu: Truyền và biến đổi nguồn thông tin nhận được từ khâu đầu

đến khâu cuối cho thích hợp

c, Hiện thị kết quả: Đây chính là đồng hồ đo hay chỉ thị tùy theo kết quả cuối-

thiết bị tương tự- thiết bị số

Yêu cầu quá trình đo: Tăng độ chính xác, độ nhạy Tăng khả năng tự động hóa quá trình đo lường

2 Thông số cơ bản của dụng cụ đo

a, Độ nhạy: k bằng tỷ số giữa góc dịch chuyển kim chỉ của đồng hồ đo và lượng

biến thiên đại lượng cần đo gây nên dịch chuyển đó

X

k





(thang đo chia đều) Nếu thang đo chia không đều: Đánh giá bằng độ nhạy tức thời

Thu nhận tín hiệu

Xử

lý tín hiệu

Hiể

n thị kết quả

b, Độ chính xác: Thường đánh giá bằng sai số của dụng cụ đo

- Sai số tuyệt đối: 

- Sai số tương đối

X

 = 

c, Cấp chính xác của dụng cụ đo: Là tỷ số giữa sai số tuyệt đối lớn nhất của

dụng cụ đo và giới hạn trên thang đo x 100%

Dụng cụ đo thường chia 2 loại: - Dụng cụ dùng để đo - Dụng cụ dùng để kiểm,

có độ chính xác lớn thường dùng kiểm tra, hiệu chỉnh dụng cụ đo khác

Tính chất dụng cụ đo Cấp chính xác

d, Độ tin cậy của dụng cụ đo: Khả năng làm việc chắc chắn không hỏng trong

một thời gian của dụng cụ đo

3 Các phương pháp đo

a, Đo trực tiếp:

+ Xác định trực tiếp đại lượng cần đo

+ Xác định bằng phương pháp hiệu số

+ Xác định bằng phương pháp cân bằng trên cơ sở xét cân bằng cơ cấu nào đó dưới tác dụng đại lượng quan sát và đại lượng đã biết

b, Đo gián tiếp:

Thông qua việc đo các đại lượng có liên quan biểu thức toán học với đại lượng quan sát Nhiều đại lượng vật lí có thể đo trực tiếp như chiều dài, khối lượng, thời gian, trong khi những đại lượng vật lí khác như gia tốc, khối lượng riêng, thể tích riêng, không có sẵn dụng cụ đo để đo trực tiếp, nhưng có thể xác định thông qua một công thức liên hệ với các đại lượng đo trực tiếp

Ví dụ, gia tốc rơi tự do g có thể xác định theo công thức g = 2s/ t2 , thông qua hai phép đo trực tiếp là phép đo độ dài quãng đường s và thời gian rơi t Phép đo như thế gọi là phép đo gián tiếp

4 Hệ đơn vị đo

Một hệ thống các đơn vị đo các đại lượng vật lí đã được quy định thống nhất áp dụng tại nhiều nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam, gọi là hệ SI Hệ SI quy định 7 đơn vị cơ bản, đó là:

• Đơn vị độ dài: mét (m);

• Đơn vị thời gian: giây (s);

• Đơn vị khối lượng: kilôgam (kg);

• Đơn vị nhiệt độ: kenvin (K);

• Đơn vị cường độ dòng điện: ampe (A);

• Đơn vị cường độ sáng: canđela (Cd);

• Đơn vị lượng chất: mol (mol)

Ngoài 7 đơn vị cơ bản, các đơn vị khác là những đơn vị dẫn xuất, được suy ra

từ các đơn vị cơ bản theo một công thức, ví dụ: đơn vị lực F là niutơn (N), được định nghĩa: 1 N = 1 kg.m/s2

1.2 SAI SỐ ĐO

1 Khái niệm

Ngoài sai số của dụng cụ đo, việc thực hiện quá trình đo cũng gây nhiều sai số Những sai số này gây ra bởi những yếu tố chính sau đây:

- Phương pháp đo được chọn

- Mức độ cẩn thận khi đo

Do vậy mà kết quả đo lường không đúng với giá trị chính xác của đại lượng đo

mà thường có sai số Đó là sai số của phép đo

Giá trị chính xác (giá trị đúng) của đại lượng đo thường không biết trước, cho nên khi đánh giá sai số của phép đo thường ta sử dụng giá trị thực Xth là giá trị đại lượng đo xác định được với một độ chính xác nào đó Tức là ta chỉ có sự đánh giá gần đúng về kết quả của phép đo mà thôi

Xác định sai số của phép đo tức là xác định độ tin tưởng của kết quả đo, là một trong những nhiệm vụ cơ bản của đo lường học

2 Phân loại các sai số

Ta có thể phân loại sai số của phép đo như sau:

a Theo cách thể hiện bằng số

a) Sai số tuyệt đối: là hiệu giữa giá trị đại lượng đo X và giá trị thực Xth

b) Sai số tương đối X được tính bằng phần trăm của tỉ số sai số tuyệt đối và giá trị thực

x

th

 =     

Vì Xth và X gần bằng nhau

Sai số tương đối đặc trưng cho chất lượng của phép đo

Độ chính xác của phép đo được định nghĩa như là một đại lượng nghịch đảo của sai số tương đối

x

th X

X





=

Sai số của phép đo bằng 10-5 thì độ chính xác bằng 105

b Theo nguồn gây ra sai số

+ Sai số phương pháp là sai số sinh ra do sự không hoàn thiện của phương pháp

đo và sự không chính xác biểu thức lí thuyết cho ta kết quả của đại lượng đo

Sai số phương pháp bao gồm sai số do sự tác động của dụng cụ đo lên đối tượng đo, sai số liên quan đến sự không xác định của các thông số của đối tượng đo.v.v…

+ Sai số thiết bị là sai số của thiết bị đo sử dụng trong phép đo, nó liên quan đến cấu trúc và mạch đo của dụng cụ đo không được hoàn chỉnh, tình trạng của dụng cụ

đo

+ Sai số chủ quan: là sai số gây ra do người sử dụng Ví dụ: do mắt kém, do đọc chệch, do sự lơ đễnh, do cẩu thả.v.v…Khi sử dụng dụng cụ đo chỉ thị số, sai số này hầu như không mắc phải

+ Sai số bên ngoài (hay sai số khách quan) Là sai số gây ra do ảnh hưởng của điều kiện bên ngoài lên đối tượng đo cũng như dụng cụ đo Ví dụ: sự biến động của nhiệt độ bên ngoài, áp suất, độ ẩm.v.v…vượt quá điều kiện tiêu chuẩn

c Theo quy luật xuất hiện

+ Sai số hệ thống : Là thành phần sai số của phép đo luôn không đổi hay là thay

đổi có quy luật khi đo nhiều lần một đại lượng đo Quy luật thay đổi có thể là một phía (dương hay âm), có chu kì hay theo một quy luật phức tạp nào đó

Sai số hệ thống không đổi bao gồm sai số do khắc độ thang đo, sai số do hiệu chỉnh dụng cụ đo không chính xác (chỉnh “0” không đúng), sai số nhiệt độ tại thời điểm đo.v.v…

Sai số hệ thống thay đổi có thể là sai số do sự biến động của nguồn cung cấp (pin bị yếu đi) do ảnh hưởng của các trường điện từ hay những yếu tố khác

Việc phân tích các nguyên nhân có thể xuất hiện sai số hệ thống tức là tìm phương pháp phát hiện và loại trừ chúng là một trong những nhiệm vụ cơ bản của mỗi phép đo chính xác

Việc phát hiện sai số hệ thống là phức tạp, nhưng nếu đã phát hiện được thì việc đánh giá và loại trừ nó sẽ không khó khăn

Việc loại trừ sai số hệ thống có thể tiến hành bằng cách: phân tích lý thuyết; kiểm tra dụng cụ đo trước khi sử dụng nó; chuẩn trước khi đo; chỉnh “0” trước khi đo; tiến hành nhiều phép đo bằng các phương pháp khác nhau; sử dụng phương pháp thế;

sử dụng cách bù sai số ngược dấu (cho một lượng hiệu chỉnh với dấu ngược lại); trong

trường hợp sai số hệ thống không đổi thì có thể loại được bằng cách đưa vào một lượng hiệu chỉnh hay một hệ số hiệu chỉnh

Lượng hiệu chỉnh là giá trị cùng loại với đại lượng đo được đưa thêm vào kết quả đo nhằm loại sai số hệ thống

Hệ số hiệu chỉnh là số được nhân với kết quả đo nhằm loại sai số hệ thống Trong thực tế không thể loại hoàn toàn sai số hệ thống Việc giảm ảnh hưởng sai số hệ thống có thể thực hiện bằng cách chuyển thành sai số ngẫu nhiên

+ Sai số ngẫu nhiên : là thành phần sai số của phép đo thay đổi không theo một

quy luật nào cả mà ngẫu nhiên khi nhắc lại phép đo nhiều lần một đại lượng duy nhất Giá trị và dấu của sai số ngẫu nhiên không thể xác định được, vì sai số ngẫu nhiên gây

ra do những nguyên nhân mà tác động của chúng không giống nhau trong mỗi lần đo cũng như không thể xác định được Để phát hiện sai số ngẫu nhiên người ta nhắc lại nhiều lần đo cùng một đại lượng và vì thế để xét ảnh hưởng của nó đến kết quả đo người ta sử dụng toán học thống kê và lí thuyết xác suất

Sai số ngẫu nhiên còn chứa cả sai số thô là loại sai số vượt quá kì vọng toán học của sai số trong điều kiện đã cho Nó thường xuất hiện khi có sự thay đổi rất lớn các yếu tố ảnh hưởng đến kết quả của phép đo

Như vậy sai số của phép đo gồm hai thành phần  là sai số ngẫu nhiên, thay đổi một cách ngẫu nhiên khi đo nhiều lần cùng một giá trị đại lượng đo và sai số hệ thống

 là thành phần sai số không đổi hay thay đổi có quy luật khi đo nhiều lần

Trong quá trình đo các sai số hệ thống và ngẫu nhiên xuất hiện đồng thời và sai

số phép đo được biểu diễn dưới dạng tổng của hai thành phần đó:

Để nhận được các kết quả sai lệch ít nhất so với giá trị thực của đại lượng đo người ta tiến hành đo đại lượng đo nhiều lần và thực hiện gia công toán học các số liệu nhận được sau khi đo

1.3 TÍNH TOÁN SAI SỐ NGẪU NHIÊN

(https://voer.edu.vn/m/nhung-khai-niem-co-ban-ve-do-luong/6a959cf7)

Sai số ngẫu nhiên xuất hiện khi đo nhiều lần một điểm đo, nghĩa là khi thực hiện phép đo theo cùng một phương pháp bằng những thiết bị có độ chính xác như nhau với điều kiện bên ngoài không đổi

Dựa vào số lớn các giá trị đo được ta có thể xác định được quy luật thay đổi của sai số ngẫu nhiên nhờ sử dụng các phương pháp toán học thống kê và lí thuyết xác suất

Nhiệm vụ của việc tính toán sai số ngẫu nhiên là phát hiện sự biến động của kết quả nhận được tức là chỉ rõ giới hạn thay đổi của sai số của kết quả đo khi nhắc lại phép đo nhiều lần

Đặc tính chung nhất cho sai số ngẫu nhiên và đại lượng ngẫu nhiên bất kì nào là luật phân bố xác suất của chúng, nó được xác định bởi các giá trị có thể của sai số ngẫu nhiên và xác suất xuất hiện của chúng

Phần lớn các phép đo các đại lượng vật lí có sai số ngẫu nhiên tuân theo luật phân bố chuẩn - luật Gauxơ (Gause) Nó dựa trên giả thuyết rằng: Các sai số ngẫu nhiên có cùng giá trị (độ lớn) thì có cùng xác suất; có giá trị nhỏ thì xác suất xuất hiện lớn và giá trị lớn thì xác suất nhỏ Nếu sai số ngẫu nhiên vượt quá một giá trị nào đó thì xác suất xuất hiện sẽ hầu như bằng không và giá trị trung bình của tất cả sai số ngẫu nhiên sẽ tiến tới “không” khi số lượng các lần đo tăng lên đến vô cùng

Sai số ngẫu nhiên  của lần đo thứ i có thể coi là hiệu giữa kết quả đo X và kì vọng toán học mx của nó

Hàm phân bố vi phân thường dễ dùng hơn hàm phân bố tích phân bởi vì điểm cực đại của hàm phân bố vi phân thường trùng với giá trị thực của đại lượng cần đo Hàm phân bố mật độ xác suất chuẩn của sai số ngẫu nhiên w() được biểu diễn bởi công thức:

2 2

2

( )

0.5 2

( )

x

X m



 

ở đây  - Sai số ngẫu nhiên tuyệt đối

 - Độ lệch bình phương

Hình 1.2 Phân bố xác suất của sai số ngẫu nhiên

P

+

-

Phương sai D của sai số ngẫu nhiên bằng phương sai của các kết quả đo, nó được định nghĩa là kì vọng toán học của bình phương sai số ngẫu nhiên và nó đặc trưng cho sự sai lệch của kết quả đo vì có sai số ngẫu nhiên



+



−







=

(1-7) Trong thực tế thường sử dụng khái niệm độ lệch bình quân phương  =  Dcó thứ nguyên của đại lượng ngẫu nhiên

Từ công thức (1-6) và các đường cong phân bố đối với hai giá trị  1 và  2 được vẽ ở hình (1-2) Rõ ràng là khi  giảm thì sẽ tăng các giá trị đo có sai số nhỏ, tức là càng gần đến giá trị thực của đại lượng đo hay là càng giảm tán xạ của kết quả

đo

Xác suất của sai số ngẫu nhiên rơi vào trong một khoảng nào đó cho trước  1

và  2 bằng:









 

−







=





1

2 2

1

5 0

2

1 )

w





(1-8) Xác suất rơi của kết quả đo hay là sai số ngẫu nhiên vào khoảng cho trước sẽ bằng diện tích bao bọc bởi đường cong phân bố, trục hoành và các đường thẳng đứng giới hạn khoảng đó Việc tính xác suất theo (1-8) gặp phải khó khăn Vì vậy trong thực

tế người ta sử dụng luật phân bố chuẩn

Nếu ta đưa vào một hệ số 1,2

k





= , sau đó lập bảng các giá trị xác suất đáng tin

P (là xác suất của khoảng sai số, hệ số tin cậy) là một hàm của hệ số k, được tính theo biểu thức:

dt e k

P

k t

=



=

0 2

2

2 )

(

Như vậy để tính được sai số ngẫu nhiên  1,2 =  2 -  1 nhất thiết phải tìm được các giá trị  và k Hệ số k thường được xác định bằng xác suất đã cho P và dạng luật phân bố xác suất của sai số ngẫu nhiên

Giá trị lý thuyết của hệ số k khi luật phân bố của sai số ngẫu nhiên là chuẩn có các giá trị sau đây tuỳ thuộc vào xác suất P (Bảng 1-1)

Bảng 1-1

Để tính sai số ngẫu nhiên người ta thường chọn:

- 1,2 =  nghĩa là k = 1

- Hoặc 1,2 = (2/3)  , tức k = 0,667 đối với một số phép đo

- Sai số lớn nhất có thể mắc phải là 1,2 = 3 tức k = 3

Khi 1,2=(2/3) nghĩa là sự xuất hiện của sai số ngẫu nhiên trong và ngoài khoảng (2/3) sẽ đồng xác suất, tức là 50% xác suất xuất hiện của sai số ngẫu nhiên

sẽ có giá trị nhỏ hơn (2/3) còn 50% sẽ lớn hơn (2/3)

Còn khi  =1,2 3nghĩa là số giá trị sai số ngẫu nhiên lớn hơn 3 chỉ chiếm 0,3% còn số nhỏ hơn chiếm 99,7% Vì thế khoảng 3 trong trường hợp phân bố chuẩn là khoảng đủ để cho kết quả đo đáng tin cậy Nghĩa là trong thực tế kĩ thuật đo việc xuất hiện sai số lớn hơn 3 hầu như không có

Trong thực tế của kĩ thuật đo người ta còn dùng luật phân bố đều của sai số ngẫu nhiên, tức là hàm mật độ phân bố w() không đổi trong khoảng (+,-) và bằng “0” ngoài khoảng đó

1.4 XỬ LÝ KẾT QUẢ ĐO

Trong khi xử lý coi như chỉ còn lại sai số ngẫu nhiên Phép đo được tiến hành nhiều lần

1 Ước lượng giá trị thật của đại lượng đo

Đo n lần có độ chính xác như sau : x1,x2,….xn giá trị trung bình cộng X cho ước lượng tốt nhất của kết quả đo Tổng bình phương các sai lệch đối với nó là nhỏ nhất Sự phân tán kết quả đo xung quanh X do sai số ngẫu nhiên

2 Các chỉ tiêu đánh giá sự phân tán của kết quả đo

a, Đánh giá bằng khoảng biến thiên (L)

Xmax và Xmin so với X Khi đó

L

X X



=

b, Đánh giá bằng sai số xác xuất (r)

Nếu số liệu đo nằm trong khoảng X+r và X-r khi đó r gọi là sai số xác suất Giá trị của r tuân theo phân bố chuẩn Gaux:

1 6745

, 0

2

−

−



n

X X

c, Đánh giá bằng sai số tiêu chuẩn và sai số bình quân phương trung bình

Sai số tiêu chuẩn: ( )

1

2

−

−

n

X

X i t



Sai số bình quân phương trung bình: ( )

n

X

X i

=

2



Khi tính toán sai số ngẫu nhiên, người ta thường sử dụng các đặc tính số của chúng, đó là kì vọng toán học và độ lệch trung bình Các đặc trưng thống kê này đủ để đánh giá sai số của kết quả đo Việc tính các đặc tính số này là nội dung cơ bản trong quá trình gia công kết quả đo

Để tính kì vọng toán học và độ lệch trung bình ta phải có số lượng các phép đo rất lớn Tuy nhiên trong thực tế số lượng các phép đo n là có hạn, vì thế ta chỉ tìm được ước lượng của kì vọng toán học và độ lệch trung bình Thường các ước lượng này đối với các đại lượng đo vật lí có các tính chất cơ bản là các ước lượng có căn cứ, không chệch và có hiệu quả

Nếu gọi * là ước lượng của đặc tính thống kê  thì:

- Nếu ta tăng số lượng N các giá trị đo và nếu với  > 0 mà ta có

lim *−  =



thì ước lượng * được gọi là ước lượng có căn cứ

Nếu lấy trung bình ước lượng mà ta có:

Thì ước lượng * được gọi là ước lượng không chệch

- Nếu lấy trung bình bình phương độ sai lệch (phương sai) của một ước lượng

đã cho *

1

 nào đó không lớn hơn trung bình bình phương độ sai lệch của bất kì ước lượng thứ i nào *

i

 , thì ước lượng đó được gọi là có hiệu quả

M[( *

1

 -)2]  M[( *

i

Ví dụ: Kì vọng toán học của các giá trị một điểm đo X có ước lượng là *

X

m theo (1-11) ta có:

i

i N

i i N

i i

N X M N X M N

X N M m











=













=

=

=

1 1

1 1

1 1

1

*

(1-13) Như vậy ước lượng kì vọng toán học *

X

m là ước lượng không chệch

Tương tự ta có thể chứng minh được rằng:

M[D*

X ] = Dx = 2

X

Tức là ước lượng của phương sai D*

X của các giá trị điểm đo X là một ước lượng không chệch

Giả sử ta tiến hành n phép đo cùng một giá trị X Giá trị đáng tin nhất đại diện cho đại lượng đo X là giá trị trung bình đại số của dãy các phép đo như nhau X :



=

= +

+ +

i

i n

n

X n

x x x x

X

1

3 2

(

(1-14b)

x1, x2,…, xn - kết quả của các phép đo riêng biệt

n - số các phép đo

Ước lượng của kì vọng toán học m*

x của đại lượng đo sẽ bằng X Nếu không

có sai số hệ thống thì X sẽ là giá trị thực của đại lượng đo Tất cả các giá trị của kết quả đo sẽ phân tán xung quanh giá trị X này

Độ lệch của kết quả mỗi lần đo so với giá trị trung bình (theo giá trị số và theo dấu) được xác định từ biểu thức:

vi – là sai số dư

Sai số dư có các tính chất sau đây:

- Tổng tất cả các sai số dư bằng “0”

0

1

=



=

n

i

i

v

Tổng của bình phương của chúng có giá trị nhỏ nhất

min

1

2 =



=

n

i

i

v

Những tính chất này được sử dụng khi gia công kết quả đo để kiểm tra độ chính xác của việc tính X

Theo tổng bình phương của tất cả sai số dư người ta xác định ước lượng độ lệch bình quân phương  *, tiêu biểu cho mức độ ảnh hưởng của sai số ngẫu nhiên đến kết quả đo

Theo lí thuyết xác suất việc tính  * được thực hiện theo công thức Bessel

1

1

2

*

−

=

n

v n

i i

Ước lượng này không chệch, có căn cứ và có hiệu quả

Việc chia tổng bình phương sai số dư cho n – 1 thay cho n có thể chấp nhận được vì kết quả gần bằng nhau và n càng lớn thì sự sai lệch càng nhỏ

Ước lượng độ lệch bình quân phương  * đặc trưng cho độ chính xác của một dãy các phép đo và được xác định bởi một tập các điều kiện đo (các đặc tính kĩ thuật của dụng cụ đo, các đặc điểm của người làm thí nghiệm, các yếu tố bên ngoài ảnh hưởng đến phép đo) Ước lượng  * đặc trưng cho độ phân tán của kết quả đo xung quanh giá trị trung bình đại số của nó

Vì giá trị trung bình đại số còn có một sai số ngẫu nhiên nào đó, nên ta đưa ra khái niệm ước lượng độ lệch bình quân phương của giá trị trung bình đại số: