Slide cấu trúc dữ liệu phương pháp chia để trị

Tư tưởng: chia nhỏ bài toán lớn thànhnhững bài toán con dễ giải quyết hơn.Để giải bài toán kích thước n:  Chia bài toán thành các bài toán con có kíchthước nhỏ hơn..  Bước 2: trị con

Phương pháp chia để trị

Devide and conquer

ThS Trương Phước Hải

Trương Phước Hải

Tư tưởng: chia nhỏ bài toán lớn thànhnhững bài toán con dễ giải quyết hơn.

Để giải bài toán kích thước n:

 Chia bài toán thành các bài toán con có kíchthước nhỏ hơn Có thể sử dụng kỹ thuật chia

để trị để tiếp tục chia nhỏ bài toán con

 Giải các bài toán con rồi tổng hợp lại để đượclời giải cho bài toán ban đầu

Phương pháp chia để trị

Trương Phước Hải

Mô hình tổng quát của kỹ thuật chia để trị

Các bước tiếp cận phương pháp chia đểtrị:

 Bước 1: chia (divide) bài toán thành 2 haynhiều bài toán con nhỏ hơn

 Bước 2: trị (conquer) (giải) các bài toán contheo phương pháp này một cách đệ quy

 Bước 3: gộp (combine) lời giải các bài toáncon để tạo thành lời giải cho bài toán banđầu

Phương pháp chia để trị

Trương Phước Hải

Giải thuật tổng quát

End If Cuối CDT

Phương pháp chia để trị

6

Giải thuật

Độ phức tạp của giải thuật:

 T(n): thời gian giải bài toán kích thước n

 a: số bài toán con; n/b: kích thước của các bàitoán con

 D(n): thời gian chia nhỏ bài toán ban đầu

 C(n): thời gian kết hợp các bài toán con

Trương Phước Hải

Cho dãy A gồm các phần tử được sắp thứ

tự không giảm Cho biết có tồn tại phần tử

x trong dãy A?

 Input: A[1…n], x

 Output: index với A[index] = x

Binary Search

Trương Phước Hải

Giải thuật chia để trị cho bài toán:

 Chia: chia dãy A thành 2 nửa dãy con

 Trị: dựa vào tính chất có thứ tự của A để xácđịnh nên tìm x trong nửa dãy con nào

 Gộp: không cần vì tìm ngay trên dãy A

Giải thuật chia để trị:

BinSearch (A[], l, r, x)

If (l > r) Then return -1

Else

m = [(l + r)/2]

If (A[m] = x) Then return m

Else If (x < A[m]) Then

return BinSearch(A, l, m-1, x)

Else

return BinSearch(A, m+1, r, x)

Cuối If Cuối If

Cuối BinSearch

Binary Search

Trương Phước Hải

Bài toán: cho dãy A gồm N phần tử, tìmcực trị (cực tiểu, cực đại) của dãy A.

Tư tưởng chia để trị:

 Chia dãy thành 2 dãy con và tìm cực trị trêntừng dãy con

 Tìm cực trị trên các giá trị cực trị của mỗi dãycon để tìm ra cực trị của dãy ban đầu

Tìm phần tử cực trị

Trương Phước Hải

Min = 3

Chia để trị cho bài toán tìm cực trị:

 Chia: chia dãy A[l r] thành 2 dãy con A[l m]

và A[m+1 r] với m = (l + r) div 2

 Trị: tìm cực trị của mỗi dãy con một cách đệquy Đặt left là cực trị của dãy A[l m], right làcực trị của dãy A[m+1 r]

 Gộp: so sánh giá trị của left và right để tìmcực trị cho dãy ban đầu

Tìm phần tử cực trị

Trương Phước Hải

Giải thuật tìm cực trị theo phương pháp chia

return (left < right)?left:right

Cuối CucTri

16

Giải thuật

Tìm phần tử cực trị

Trương Phước Hải

Ý tưởng phương pháp trộn tự nhiên:

 Tách và phân phối luân phiên các đườngchạy trên A vào 2 dãy B và C

 Trộn lần lượt từng cặp đường chạy trên B và

C vào A với mục đích giảm dần số đườngchạy trên A

Merge Sort

18

Giải thuật

Tách B: 4 6 8 13 15 16 22

C: 3 6 9 20Trộn A: 3 4 6 6 8 9 13 15 16 20 22

Merge Sort

Trương Phước Hải

Tư tưởng chia để trị của Merge Sort:

 Chia: phân phối các đường chạy từ dãy Asang 2 dãy con B và C theo nguyên tắc luânphiên

 Trị: áp dụng tư tưởng trên để tiếp tục phânchia các dãy B và C một cách đệ quy

 Gộp: trộn từng cặp đường chạy trên B và C

để tạo thành dãy A mới

Merge Sort

20

Giải thuật

Giải thuật trộn tự nhiên theo phương phápchia để trị:

Trương Phước Hải

Giải thuật phân phối đường chạy trên A:

PhanPhoi (A[], N, B[], &nB, C[], &nC)

nB = 0, nC = 0, i = 0, turn = True While (i < N) Do

If (turn = True ) Then

B[nB++] = A[i++]

Else

C[nC++] = A[i++]

Cuối If

If (A[i] < A[i-1]) Then

turn = NOT (turn) ‘chuyển dãy

Cuối If Cuối While

Cuối PhanPhoi

Merge Sort

22

Giải thuật

Giải thuật trộn các đường chạy:

Tron (B, nB, C, nC, A[], &N)

While (i < nB) Do A[n++] = B[i++]

While (j < nC) Do A[n++] = C[j++]

Cuối Tron

Merge Sort

Trương Phước Hải

Bài toán sắp xếp dãy A bằng phương phápQuickSort:

 Phân hoạch dãy A thành 3 dãy con:

• Dãy 1 gồm những phần tử có giá trị nhỏ hơn x.

• Dãy 2 gồm những phần tử có giá trị bằng x.

• Dãy 3 gồm những phần tử có giá trị lớn hơn x.

 Với x là một giá trị tùy ý thuộc dãy A

 Tiếp tục phân hoạch các dãy con một cách đệquy

Quick Sort

Trương Phước Hải

Ví dụ:

A: 2 2 8 16 4 6 13 15 6 20 3 5

Chọn x = 6 là tiêu chí phân hoạch (phần

tử giữa dãy), A được chia thành 3 dãy sau:

Tư tưởng chia để trị của Quick Sort:

 Chia: Phân hoạch A[l1 r1] thành 3 dãy con:A[l1 r2] < x, A[r2+1 l2-1] = x và A[l2 r1] > x

 Trị: tiếp tục phân hoạch các dãy con A[l1 r1]

Trương Phước Hải

Giải thuật Quick Sort:

Giải thuật phân hoạch:

PhanHoach (A[], l1, r1, &l2, &r2)

Cuối If Cuối While

Cuối PhanHoach

Quick Sort

Trương Phước Hải

Bài toán: cho 2 ma trận A (n x n) và B (n

x n), tìm ma trận tích C = A x B

 Công thức tính phần tử 𝑐𝑖𝑗 của ma trận C:

 Độ phức tạp của công thức: O(n3)

Giải thuật Strassen

𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗

𝑛−1

𝑘=0

Trương Phước Hải

Giải thuật Strassen (đề xuất năm 1969)cho tích 2 ma trận vuông cấp n:

 Giả sử n là lũy thừa của 2

 Chia mỗi ma trận thành 4 ma trận vuông con:

Trương Phước Hải

Công thức Strassen đề xuất:

Với 𝑀𝑖 là các ma trận con sau:

độ phức tạp: O(n log7 ) ≈ O(n 2.81 )

Giải thuật Strassen

Phương pháp chia để trị cho giải thuậtStrassen:

 Chia: chia ma trận A, B thành từng 4 ma trậncon 𝐴𝑖𝑗, 𝐵𝑖𝑗

 Trị: tìm ma trận con kết quả 𝐶𝑖𝑗 theo công thứcStrassen

 Gộp: ghép các ma trận con kết quả để tạothành ma trận kết quả C

Giải thuật Strassen

Trương Phước Hải

Nếu n không phải là lũy thừa của 2:

 Thêm các cột và dòng đệm giá trị 0 vào matrận

Giải thuật Strassen