Tài liệu CHƯƠNG III: Vuông góc docx

BẢNG TỔNG KẾT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 2STT KHÁI NIỆM QUY TẮC,TÍNH CHẤT,CÁCH CHỨNG MINH 1 2 3 4 5 Vec tơ là đoạn thẳng định hướng,một điểm là một đầu,điểm kia là điểm cuối Ba vec tơ gọi là đồng

BẢNG TỔNG KẾT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 2

STT KHÁI NIỆM QUY TẮC,TÍNH CHẤT,CÁCH CHỨNG MINH

1

2

3

4

5

Vec tơ là đoạn thẳng định

hướng,một điểm là một

đầu,điểm kia là điểm cuối

Ba vec tơ gọi là đồng

phẳng nếu giá của chúng

cùng song song với một

mặt phẳng

Hai đường thẳng vuông

góc khi và chỉ khi góc

Đường thẳng vuông góc

với mặt phẳng nếu nó

vuông góc với mọi

đường thẳng nằm trong

mặt phẳng đó

Liên hệ giữa quan hệ

song song và vuông góc

của đường thẳng và mặt

phẳng

 Qui tắc ba điểm:              AB BC                                           AC OA OB BA              ,                

 Qui tắc hình bình hành ABCD:              AB AD AC                             

  

 

1 2

  

 G là trọng tâm tam giác ABC:  GA GB GC                                                         0

0

    

, ,

a b c

  

cho: c ma nb  

tơ d

ta tìm được bộ số (m,n,p) duy nhất sao cho : d ma nb pc  

   

  a b,  c d , ; , c d  90 0   a b ,  90 0

 a ( ),P b ( )P  ab

P

 

thẳng cắt nhau,cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P)

vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia

một đường thẳng thì song song với nhau

vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia

một mặt phẳng thì song song với nhau

7

8

9

Góc giữa hai mặt

phẳng:Là góc giữa hai

đường thẳng lần lượt

vuông góc với hai mặt

phẳng đó

Hai mặt phẳng vuông góc

với nhau nếu góc giữa

Hình lăng trụ đứng:Là

hình lăng trụ có cạnh bên

vuông góc với đáy

Hình lăng trụ đều :là hình

lăng trụ đứng có đáy là

đa giác đều

thì cũng vuông góc với (P)

(không chứa đường thẳng đó)cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau

trên hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của chúng tại một điểm

diện tích hình chiếu (H/) của (H) trên (P/) thì: S=S/cos,với  là góc giữa (P) và (P/)

vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau

thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia

 ( ) ( ),P  Q A ( )P ,đường thẳng a qua A và vuông góc với (Q) thì a nằm trong (P)

mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng sẽ vuông góc với mặt phẳng thứ ba

phẳng (P) có duy nhất mặt phẳng (Q) vuông góc với mp(P)

11

12

13

14

Hình hộp đứng:là hình

lăng trụ đứng có đáy là

hình bình hành

Hình hộp chữ nhật:là

hình hộp đứng có đáy là

hình hộp chữ nhật

Hình lập phương :Là

hình hộp chữ nhật có tất

cả các cạnh bằng nhau

Hình chóp đều:Là hình

chóp có đáy là đa giác

đều và các cạnh bên bằng

nhau

Hình chóp cụt đều:Phần

hình chóp đều nằm giữa

đáy và thiết diện song

song với đáy

mặt phẳng hoặc đường thẳng

16

17

18

19

Khoảng cách từ một

điểm đến một mặt phẳng

hoặc một đường thẳng

Khoảng cách giữa hai

mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường

thẳng và mặt phẳng song

song

Khoảng cách giữa hai

đường thẳng chéo nhau

Cách xác định thiết diện

của hình chóp,hình lăng

trụ cắt bởi mặt phẳng (P)

kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

kỳ của đường thẳng tới mặt phẳng

đường thẳng chéo nhau đó

tuyến của mặt phẳng (P) với từng mặt bên,mặt đáy của hình chóp,hình lăng trụ

BÀI TẬP LÀM THEO CHỦ ĐỀ

CHỦ ĐỀ 1: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

A.PHƯƠNG PHÁP:

Để biểu diễn một véc tơ qua các véc tơ khác ,chứng minh một đẳng thức véc tơ,chứng minh hai véc tơ vuông góc hay ba véc tơ đồng phẳng …,ta sử dụng các quy tắc :ba điểm,hình bình hành,trung tuyến,trung điểm,trọng tâm tam giác,trọng tâm tứ diện,đường chéo hình hộp

B.Ví dụ:

Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Chứng minh rằng:

)2

)

2 Tìm điểm G sao cho GS GA GB GC GD O        

.Hãy biểu diễn các vec tơ BD A C B D DO C O , ,  ,  ,

    

theo , ,a b c  

Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD,G là trọng tâm tam giác BCD,I là trung điểm AG,M là điểm bất kỳ.Chứng minh rằng:

)3

b IA IB IC ID O

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD A B C D     có tâm hai đáy lần lượt là O và O/.M là trung

.Hãy biểu diễn các vec tơ , , , , ,

     

theo , ,a b c  ,rồi suy ra các bộ ba vec tơ đồng phẳng :

AD O O CB ,  ,  ; BA C D O M ,   ,  

     

C.BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hình hộp ABCD A B C D    .AB a AC b AA ,  , c

C/,K là giao điểm của A/I và B/D/.Hãy biểu diễn các vec tơ   AI AK DK, , theo , ,a b c   Bài 2:Cho tứ diện OABC có OA=OB=OC.Kẻ các tia phân giác OM,ON,OP của các góc AOB,BOC,COA.Chứng minh rằng:Nếu trong ba tia OM,ON,OP có hai tia vuông góc thì từng cặp tia còn lại cũng vuông góc từng đôi một

Bài 3:Cho tứ diện ABCD.Chứng minh rằng:

2

b AB CD AC DB AD BC O

 

2)Nếu AB vuông góc với CD và AC vuông góc với DB thì AD vuông góc với BC

1

)

3

Bài 5:Trong không gian cho ba vec tơ , ,a b c   không đồng phẳng

a)Gọi x a  2 ,b y 3b c z , 2c 3a

 Chứng minh ba vec tơ , ,x y z   đồng phẳng

b)Chứng minh ba vec tơ la mb nb lc mc na  ,  ,   đồng phẳng

A/BD và B/CD

b)Tính AC/ theo AA/=a,AB=b,AC=c, BAD,DAA ,BAA 

CHỦ ĐỀ 2 TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

A.PHƯƠNG PHÁP:

Để tính góc giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau trong không gian ta có thể áp dụng một trong hai cách sau:

thẳng a,b;đưa vào một tam giác,sử dụng các hệ thức trong tam giác (đặc biệt là định lý cosin)

 Lấy các vec tơ ;u v  cùng phương với a,b ,biểu diễn ;u v  qua các vec tơ đã biết,tính cos( , )u v  rồi suy ra góc (a,b)

B.Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình hộpABCD A B C D    có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a,



 A B AC , ,AC BC, ,B O DC , ,DO AC , 

a)Tính AC BD, 

C.BÀI TẬP:

Bài 1:Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông cân ở đỉnh B,AB=a,tam giác ADC vuông cân ở đỉnh A,BD= a 3.Tính AB DC, ,AD BC , 

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A/B/C/ đáy là tam giác đều cạnh a , BAACAA 600

Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a;SAB,SAC,SAD là các tam giác vuông cân ở đỉnh A

a)Tính SA BC, ,SB DC , ,AB SD, ,SC AD  , 

b)Gọi E là điểm thuộc cạnh AD sao cho AE=b (0<b<a),(P) là mặt phẳng qua E và song song với mặt phẳng (SAB).Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P)

CHỦ ĐỀ 3.CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A.PHƯƠNG PHÁP:

Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng một trong hai cách sau:

B.VÍ DỤ:

Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BC và BD,tam giác BCD vuông tại C.kẻ BE vuông góc với AC,EF vuông góc với AC (F thuộc AD).Chứng minh:

Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD vuông góc từng đôi một.Gọi H là trực tâm

lần lượt là trung điểm của SB,SC.Chứng minh:

C.BÀI TẬP:

minh rằng:

Bài 2:Cho tứ diện ABCD có AC=AD và BC=BD.Gọi M là trung điểm của CD,H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác AMB.Chứng minh rằng:

và tam giác BCD.Chứng minh rằng:

Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,tam giác SAB đều.Gọi H,I lần

CHỦ ĐỀ 4:CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU A.PHƯƠNG PHÁP:

Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta có thể áp dụng một trong các cách sau:

B.VÍ DỤ:

a)Các cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi

b)Ba đường thẳng MB,MC,MD vuông góc với nhau từng đôi

Ví dụ 2:Cho hình tròn tâm O,đường kính AB nằm trong mặt phẳng (P).Trên đường

AB.Chứng minh rằng:

a)Các mặt tứ diện SABC là các tam giác vuông

C BÀI TẬP:

Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và

B,AD=2AB=2BC

a)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

SI.Chứng minh:

c)SC không vuông góc với AI

Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ,SA vuông góc với đáy Một mặt

c)Tìm diện tích thiết diện AMNP khi SA=AB=a

CHỦ ĐỀ 5 XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.

A.PHƯƠNG PHÁP:

trên (P)

*Chọn điểm M trên a,tìm hình chiếu H của M trên (P)

*Tìm giao điểm N của a và (P)

*NH chính là a/

Để tính góc MNP ta dùng hệ thức trong tam giác vuông MHN

B.Ví dụ:

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thang vuông tại A,SA vuông góc với

a)các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD)

b)SB,SC với mặt bên (SAD)

(B/AC)

Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AB và BC,tam giác ABC vuông cân

a)DB và (ABC)

b)CD và (ABD)

c)AC và (ABD)

C.BÀI TẬP:

Bài 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính góc giữa:

a)Các cạnh bên và mặt đáy

b)Cạnh SC và mặt bên (SAD)

c)Cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC)

Bài 2:Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA=SB=SC=a và cùng tạo với đáy (ABC) các góc bằng nhau,biết AB=AC=2BC=a.Tính góc giữa:

a)SA và mp(ABC)

SA và mp(SBC)

Bài 3:Cho tam giác đều ABC cạnh a.Từ trung điểm H của AB kẻ đường thẳng d vuông

2

a

a)SA với mp(ABC)

b)SC với mp(ABC)

c)SH với mp(SBC)

1200;A/B=A/D=A/A.Tính góc giữa A/A và A/C/ với mặt phẳng đáy

CHỦ ĐỀ 6: XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

A.PHƯƠNG PHÁP:

Cách thường dùng để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

*xác định giao tuyến  của (P) và (Q).

* AIB là góc cần tìm (còn gọi là góc phẳng của nhị diện ((P),(Q)).

Cách chứng minh hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau:

*Chứng minh (P) chứa một đường thẳng vuông góc với (Q)

B.Ví dụ:

Ví dụ 1:Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với AC và AB,ABC là tam giác đều

a)(BAD) và (CAD)

b)(ABC) và (DBC)

c)(ADC) và (BDC)

a)(SBC) và (ABCD)

b)(SBD) và (ABCD)

c)(SBC) và (SCD)

2

a

a)Các mặt bên và mặt đáy

b)Mặt (AA/B/B) và mặt (BB/C/C)

C.BÀI TẬP:

Bài 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC=a,góc

a)(SAB) và mặt đáy

b)(SBC) và mặt đáy

c)(SAB) và (SAC)

vuông góc với đáy ,SA=a.Tính góc:

a)Giữa (SAB) và (SAC)

b)Giữa (SBC) và (ABC),

c)Giữa (SBC) và (SAC)

Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,các mặt bên là những tam giác đều cạnh a.Tính góc

a)Giữa (SAB) và mặt đáy

b)Giữa (SCD) và (SBC)

3

b)Giữa (BA/C/) và (B/AC)

CHỦ ĐỀ 7: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP ,HÌNH LĂNG TRỤ.

A.PHƯƠNG PHÁP:

Xác định thiết diện của hình chóp,hình lăng trụ dựa trên quan hệ vuông góc thường dựa trên các nguyên tắc sau:

*Mặt phẳng chứa thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng thì chứa hai đường thẳng cắt nhau vuông góc với đường thẳng đó

* Mặt phẳng chứa thiết diện qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng thì chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó

Tính diện tích thiết diện:

*Chứng minh thiết diện là những đa giác đặc biệt ,đưa ra công thức tính diện tích đa giác đó,tính cạnh,đường cao thiết diện bằng cách xét các tam giác,thay vào công thức diện tích

thiết diện trên mặt phẳng đáy hình chóp hoặc hình lăng trụ;  là góc tạo bởi mặt phẳng thiết diện và mặt phẳng đáy hình chóp,hình lăng trụ)

B.Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B,cạnh AB=a,AD vuông góc với AB và AC,AD=a.Xác định và tính diện tích thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng:

a)Qua B và vuông góc với AC

b)Qua A và vuông góc với DC

Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,tâm O,SA vuông góc với đáy,SA=a,I là trung điểm của SA.Xác định và tính diện tích thiết diện:

a)Qua I và vuông góc với SA

b)Qua O và vuông góc với AC

c)Qua A và vuông góc với SB

d)Qua A và vuông góc với SC

mặt phẳng đáy lăng trụ

C.BÀI TẬP:

định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng:

a)Qua AB và vuông góc với (SCD)

b)Qua O và song song với (SCD)

Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,AB=a,BC=2a,tam giác SAB đều,nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng:

a)Qua S và vuông góc với AB

b)Qua AD và vuông góc với với SB

tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng:

a)Qua BC và vuông góc với SA

b)Qua A,vuông góc với (SBC) và song song với BC

Bài 4:Cho tam giác đều ABC cạnh a.Gọi I là trung điểm cạnh BC,H là trung điểm của

.Lấy điểm J thuộc đoạn IH sao cho IJ=m.Dựng thiết diện qua J và vuông góc với

IH.Tính diện tích thiết diện theo a và m.Tìm m để diện tích đó lớn nhất

CHỦ ĐỀ 8 KHOẢNG CÁCH

A.PHƯƠNG PHÁP:

Để tính khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng ,giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song ,giữa hai đường thẳng chéo nhau,trước hết ta phải xác định được các đoạn thẳng thỏa mãn tính chất của các loại khoảng cách

a)Khoảng cách từ điểm M tới mp(P):

-Các định đoạn MH vuông góc với (P) tại H

-Đôi khi có thể chuyển việc tính khoảng cách từ điểm M tới mp(P) sang việc tính

khoảng cách từ một điểm N thuộc mp (Q) qua M và song song với (P),tới mp(P)

b)Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a.

xác định đoạn MH vuông góc (P) với điểm M bất kỳ thuộc a

c)Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1:Tìm ra đoạn vuông góc chung của a và b (nếu đã có sẳn)

cách giữa a và (P) chính là khoảng cách giữa a và b

Cách 3:Chọn hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau lần lượt chứa b và a

Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa a và b

Bài toán:Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b:

-Chọn mp(P) chứa b và song song với a

-Trong (P) từ M/ kẻ a/ //a,cắt b tại B

vuông góc chung giữa a và b

Việc tính độ dài đoạn thẳng đã xác định được :Đưa đoạn thẳng đó vào các tam giác,dùng

hệ thức lượng trong tam giác,tính chất hai tam giác đồng dạng

B,Ví dụ:

Ví dụ 1:

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với AB và AC,tam giác ABC vuông ở

a)Từ A tới (SBC)

b)Từ B tới (SAC)

Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhất ABCD tâm

O,AB=2a,BC=a,SO vuông góc (ABCD).Gọi I,J là trung điểm AD,BC.Tính:

a)d(BC,(SAD))

b)d(IJ,(SAB))

a)Giữa (ABCD) và (A/B/C/D/)

b)Giữa (ABB/A/) và (DCC/D/)

c)Giữa (AD/A/) và (BCC/D/).

Ví dụ 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính khoảng cách giữa:

a)SA và BC

b)SD và BC

c)SC và BD

d)SB và AC

góc với đáy ,SA=a,Xác định và tính độ dài của đoạn vuông góc chung giữa:

a)SD và BC

b)SB và AC

C.BÀI TẬP:

Bài 1:Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD vuông góc từng đôi một,AD=a,DBC là tam

a)Từ B tới (ADC),từ C tới (ADB)

b)Từ A tới (DBC)

AD=h.Gọi I,J là trung điểm AB,DC

a)Tính IJ

b)Tìm mối liên hệ giữa a và h để IJ là đoạn vuông góc chung của AB,DC

Bài 3:Cho hình chữ nhật ABCD và hình vuông ADEF nằm trên hai mặt phẳng vuông góc,AB=2a,AD=a.Tính khoảng cách:

a)Từ A tới (BCEF)

b)Giữa AF và (DEB)

c)Giữa AC và EB

Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a,SAB là tam giác đều,

a)Từ H tới (SCD)

b)Giữa BC và (SAD)

c)Giữa AB và SD,dựng đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng này

(ABCD),SA=a.Tính khoảng cách:

a)Từ A tới (SDC)

b)Từ O tới (SDC)

c)Giữa SC và BD

chung giữa:

a)OO/ và CD/

c)BO/ và CD/

BÀI TẬP TỔNG HỢP

ABC.Chứng minh:

a)AB2+AC2-BC2 không đổi.

c)Trực tâm tam giác ABC cố định

Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông ở A và

b)Tính góc (AB,SC)

c)Tính d(A,(SBD))

d)Tính d(SD,BC)

a)Tính góc giữa mặt bên với đáy

b)Tính d(SA,BC)

Ví dụ 4:Cho hình chóp đều S.ABC tâm O,cạnh bên bằng a,đường cao bằng h.Tính: a)Diện tích thiết diện qua A và vuông góc với BC

b)d(O,(SBC))

c)d(BO,SA)

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên (SAB),(SAD) vuông

c)Gọi M,N là trung điểm BC,CD.Xác định thiết diện hình chóp đi qua M,N và song song với SC.Tính diện tích thiết diện

BÀI TẬP:

a)Tính độ dài đoạn MN theo a và y.Tìm t để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất

2

Bài 2:Cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến l.Trên l lấy đoạn AB=a.Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với l và nằm trong (P) lấy điểm M sao cho AM=b.Trên nửa đường thẳng Bt vuông góc với l và nằm trong mp(Q) lấy điểm N sao cho

2

a BN

b

a)Tính khoảng cách từ A đến mp(BMN) theo a,b

b)Tính MN theo a,b Với giá trị nào của b thì MN có độ dài nhỏ nhất?Tính độ dài đó Bài 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,SA vuông góc với

(ABC),SA=h