Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.

Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải chúng ta cĩ thể đặt t = f x và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phư

( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

0 0

3 2

0 3

≥

x x

x

x x

x

x x

x x

Bài 3: Giải phương trình: x+ − 4 1 − =x 1 2 − x

2 1 0 (2 1) 2 3 1

x x

x x

x x

Bài 5 Giải phương trình : 3− =x x 3+x

HD:Đk: 0 ≤ ≤x 3 khi đó pt đã cho tương đương: x3 + 3x2 + −x 3 0 =

Bài 6 Giải phương trình sau :2 x+ = 3 9x2 − −x 4

HD:Đk: x≥ − 3 phương trình tương đương :

+ Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2⇔ m2 ≥ 4 ⇔ m ≤ –2Tóm lại:– Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm x m2 4

2m +

=

– Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm

Bài 9 Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x2 − 3 =x−m

Bài 10 Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x − x = − m m

HD: Điều kiện: x ≥ 0

– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm

– Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) 0 − = ⇒ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − +x2 3x− = 2 2m x x+ − 2

Bài 4: Cho phương trình: 2

1

x − − =x m

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 5: Cho phương trình: 2

2x +mx− = − 3 x m

a) Giải phương trình khi m=3

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

Bài 6: Giải các phương trình sau:

II PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI

– Nếu x < 2: (1) ⇒ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm)

– Nếu x ≥ 2 : (1) ⇒ x – 2 = 8 – x ⇔ x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5

Bài 2: Giải phương trình: x 2 2 x 1+ + + + x 10 6 x 1+ − + =2 x 2 2 x 1+ − + (2)

– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)

Với y = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8

Bài 3:Giải phương trình: x− + 2 2x− + 5 x+ + 2 3 2x− = 5 7 2

HD:ĐK: 5

2

x≥

PT ⇔ 2x− + 5 2 2x− + + 5 1 2x− + 5 6 2x− + = 5 9 14

⇔ 2x− + + 5 1 2x− + = 5 3 14 ⇔ 2x− =5 5 ⇔ =x 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15

Bài 4:Giải phương trình: x+ 2 x− + 1 x− 2 x− = 1 2

HD:ĐK:x≥ 1

Pt ⇔ x− + 1 2 x− + + 1 1 x− − 1 2 x− + = 1 1 2 ⇔ x− + + 1 1 x− − = 1 1 2

Nếu x> 2 pt ⇔ x− + + 1 1 x− − = 1 1 2 ⇔ =x 2 (Loại)

Nếu x≤ 2 pt ⇔ x− + + − 1 1 1 x− = 1 2 ⇔ 0x= 0 (Luôn đúng với ∀x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ={x R∈ | 1 ≤ ≤x 2}

11/ x+ − 6 2 x+ + 2 x+ − 11 6 x+ = 2 1 12/ x− + 2 2x− + 5 x+ + 2 3 2x− = 5 7 213/ x2 + 2x− x2 + 2x+ − = 1 5 0 14/ 2x+ 4 + 6 2x− 5 + 2x− 4 − 2 2x− 5 = 415/ x2 − 4x+ + 4 2x= 10 16/ 2

2 1 2 8

x − x+ + x=17/ x+ x+ +12 x+ =14 2 18/ 41x2 +x+1− 6−2 5 =0

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường

Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải chúng ta cĩ thể đặt t = f x( ) và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa mợt biến tquan trọng hơn

ta cĩ thể giải được phương trình đĩ theo tthì việc đặt phụ xem như “hồn tồn ”

Bài 1 Giải phương trình: x− x2 − + 1 x+ x2 − = 1 2

HD:Điều kiện: x≥ 1

Nhận xét x− x2 − 1. x+ x2 − = 1 1

Đặt t = x− x2 − 1 thì phương trình cĩ dạng: t+ = ⇔ =1t 2 t 1 Thay vào tìm được x=1

Bài 2 Giải phương trình: 2x2 − 6x− = 1 4x+ 5

Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2 = − ± 1 2 2;t3,4 = ± 1 2 3

Do t≥ 0 nên chỉ nhận các gái trị t1= − + 1 2 2,t3= + 1 2 3

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x= − 1 2 vàx= + 2 3

Cách khác: Ta cĩ thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2x2 − 6x− ≥ 1 0

Ta được: x x2( − 3)2− − (x 1)2 = 0, từ đĩ ta tìm được nghiệm tương ứng

Đơn giản nhất là ta đặt : 2y− = 3 4x+ 5 và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài 3 Giải phương trình sau: x+ 5+ x− =1 6

Bài 6 Giải phương trình : x2 + 3 x4 −x2 = 2x+ 1

HD: x= 0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 1 3 1

y y

Với y = 1 ⇔ x2 + 7x+ = 7 1 ⇔  = −x x= −16 Là nghiệm của phương trình đã cho

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn

giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2 +αuv+βv2 = 0 (1) bằng cách

Xét v≠ 0 phương trình trở thành :

Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

Bài 3: Giải phương trình sau :2x2 + 5x− = 1 7 x3 − 1(*)

1 5 2

Bài 3 Giải phương trình : 5x2 − 14x+ − 9 x2 − −x 20 5 = x+ 1

HD:Đk x≥ 5 Chuyển vế bình phương ta được: 2x2 − 5x+ = 2 5 (x2 − −x 20) (x+ 1)

Nhận xét : Không tồn tại số α β, để : 2x2 − 5x+ = 2 α(x2 − −x 20) +β(x+ 1)

vậy ta không thể đặt :

2

20 1

Khi đó phương trình trở thnh : (x+ 1)t = x2 + 1 ⇔ x2 + − + 1 (x 1)t = 0

Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ chẵn :

Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = 0 ⇔(t - x)(t - 3) = 0⇔  =t t =3x

Nếu t = x ⇔ x2 + = 1 x (Vô lý) -Nếu t = 3 ⇔ x2 + = ⇔ = ± 1 3 x 2 2

Vậy:x= ± 2 2

4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô

tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

2 2

Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đặt u=α( )x v, =β( )x và tìm mối quan hệ giữa α( )x và β( )x từ đó tìm được hệ theo u,v

Bài 1 Giải phương trình: x3 35 −x x3( + 3 35 −x3) = 30

Bài 2 Giải phương trình: 2 1 4 41

2

4

1 1

2 2

Bài 3 Giải phương trình sau: x+ 5+ x− =1 6

HD:Với điều kiện: 3 2 3 2

Phương trình (1) trở thành u + v = 3

Ta có hệ phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

Bài 7 Giải phương trình:

2 2

x x

x x

3

2

1 1

v x

u x

2 2

3 3

−

=

− +

−

) ( 0 18

194 8

3

2

) ( 0 18

194 8

y

a y

y

• (b) vô nghiệm

• (a) có 2 nghiệm

3

3 2

97 1

; 2

3 2

97

1

2 1

2 2 2 1

1 1

y v

y u y v

y u

Vì u ≥ 0 nên ta chọn

3

3 2

97 1

3

3 2

97 1

97 1

=

x

Bài 8 Giải phương trình: 4 18 + 5x+ 4 64 − 5x = 4

HD:Với điều kiện

18 5

645

18 0

x x

x u

5 64

5 18 4

= +

82 ) ( 2 4 0

2 2 4

4

v v

uv v

u

v u

4 0

0 87 32

4

0 ,

0

82 2

2

4

2

2 2

2

P

P P S P

S

S

v

u v

(2) Với S = 4, P = 29 ⇒ không tồn tại u và v

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

1 2

17 5 63 5

5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : ( )

2 2

 việc giải hệ này

thì đơn giản

Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y= f x( ) sao cho (2) luôn đúng ,

x + x= x+ ta đặt lại như trên và đưa về hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : ( )

2 2

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :

(αx+β)n = p a x b n ' + + ' γ đặt αy+ =β n ax b+ để đưa về hệ , chú ý về dấu của α ???

Việc chọn α β; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :(αx+β)n = p a x b n ' + + ' γ

2 2

Cách 2: Đặt 2x− = + 1 t a⇒ 2x− = +1 t2 2at a+ 2

kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình:

2 2

Giải hệ này ta sẽ tìm được x

Bài 2 Giải phương trình: 2x2 − 6x− = 1 4x+ 5

4

x≥ −

2 2

Với x y+ − = ⇔ = − ⇔ − − = 1 0 y 1 x 2x 1 4x+ 5 (vô nghiệm)

Bài 3:Giải phương trình:x2 − x+ = 5 5

Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x = 4 9( 0)

28

x x

x

t at a

+

2 1

+ + + ≥Dấu ‘‘=’’ xảy ra ⇔ =a1 a2 = = a n

Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: (1)

nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình A B=

Ta có : 1 + +x 1 − ≤x 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x= 0 và 1 1 2

2 1

5 1

Bài 3 Giải phương trình: x3` − 3x2 − 8x+ 40 8 4 − 4 x+ = 4 0

Theo giả thiết dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi:x = 6

Vậy x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài 5: Giải phương trình: − +x2 3x− + 2 x+ = 1 2

Từ (1) và (3) Ta có x = 1 thế vào (2) thoả mãn.Vậy :x = 1

Bài 6:Giải phương trình : x 4x 1 2

x 4x 1

−

−HD: Điều kiện x 1

−

=

−

2 2

x 4x 1 0 (x 2) 3

x 2 3

⇔ − + =

⇔ − =

⇔ = ±Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 4x 1 − ⇔ x 2 − 4x 1 0 + =

Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1 − < 5x 1 − ⇒ vế trái luôn âm

Vế phải: 3x 2 − ≥ 1 ⇒ vế phải luôn dươngVậy: phương trình đã cho vô nghiệm

Cách 2 Với x ≥ 1, ta có:

x 1 − = 5x 1 − + 3x 2 −

⇔ x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2) − = − + − −

⇔ 2 7x 2 (5x 1)(3x 2) − = − −

Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 ⇒ phương trình vô nghiệm

Bài 8:Giải phương trình : 3x 2 + 6x 7 + + 5x 2 + 10x 14 4 2x x + = − − 2 (1)

Ta có: Vế trái ≥ 4 + 9 2 3 5 = + = Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1

Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

Bài 9:Giải phương trình : x 7 2

8 2x 2x 1

x 1 + + = + − +

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2

Bài 10:Giải phương trình : 6 8 6

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc

Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) =k

Bước 2: Xét hàm số y= f x( )

Bước 3: Nhận xét:

• Với x x= 0 ⇔ f x( ) = f x( ) 0 =k do đó x0 là nghiệm

• Với x x> 0 ⇔ f x( ) > f x( ) 0 =k do đó phương trình vô nghiệm

• Với x x< 0 ⇔ f x( ) < f x( ) 0 =k do đó phương trình vô nghiệm

• Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) = g x( )

Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f x( )và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định x0 sao cho f x( ) 0 =g x( ) 0

Bước 3: Vậy x0là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f u( ) = f v( )

Bước 2: Xét hàm số y= f x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

Bước 3: Khi đó f u( ) = f v( ) ⇔ =u v

Ví dụ: Giải phương trình : ( ) ( 2 ) ( 2 )

2x+ 1 2 + 4x + 4x+ 4 + 3 2x + 9x + 3 = 0HD:pt ( ) ( ( )2 ) ( ) ( ( )2 ) ( ) ( )

Ví Dụ 2: Giải phương trình: 3 x+ + 6 3 x+ + 2 3 x+ = 3 0

HD: nhận thấy x = -2 là một nghiệm của phương trình

Đặt f x( ) = 3 x+ + 6 3 x+ + 2 3 x+ 3

Với x1 < x2 ⇒ f x( )1 < f x( )2 vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.

Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài tập áp dụng:

Giải phương trình:

a) 4x− + 1 4x2 − = 1 1 c) x− = + − 1 3 x x2 e) x− + 1 x+ = 2 3

b) x− = − − 1 x3 4x+ 5 d) x = − 1 2x+ 2x2 −x3 f) 2x− + 1 x2 + = − 3 4 x

VI PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x như vậy phương trình luôn đưa 0

về được dạng tích (x x A x− 0) ( ) = 0 ta có thể giải phương trình A x( ) = 0 hoặc chứng minh( ) 0

A x = vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía( ) 0

C2: ĐK: x≤ − 2;x≥ 1

Nếu x ≥1 ta chia cả hai vế cho x ta được: (x+ 2) + (x− = 1) 2 x

Bình phương hai vế sau đó giải phương trình ta tìm được x

Nếu x≤-2 Đặt t = -x ⇒ ≥t 2Thay vào phương trình ta được

2 2

Chia cả hai vế cho t ta được (t− 2) + (t+ = 1) 2 t

Bình phương hai vế tìm được t

Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3

Bài 5:Giải phương trình sau:

Giải hệ trên ta tìm được x= 2

2 2

x x

BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất cả các số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn:

1 2

3 x− + x+ = x2 − x+ = 5 5

6 2

4 ).

2 ( 5 ) 4 )(

2

+

+ +

+ + +

x

x x

x x

25 − 2 − − 2 = x2 − 4x+ + 5 x2 − 4x+ + 8 x2 − 4x+ = + 9 3 5(7 ) 7 ( 5 ) 5

2x+ = 3 x x2 + 4x+ = 5 2 2x+ 3

1 x x 2

Giải phương trình sau:  3 1 + 3 2+ +  3 x3− =1  855

     

Bài 6:Cho phương trình:x2 6 −x+ 6 x+ 2 =x2 6 x+ 6 2 −x

Gọi tổng các nghiệm của phương trình là S,tính S15

Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

Bài 11: Giải phương trình:

Bài 12: Cho phương trình: 1 + +x 8 − +x (1 +x) (8 −x) =m

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 13: Cho phương trình: 1 1 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 14: Cho phương trình: ( 2 ) 2

2 x − 2x + x − 2x− − = 3 m 0a) Giải phương trình với m = 9

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 15:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

a/ Vế trái có 100 dấu căn

b/ Vế trái có n dấu căn

Bài 17:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

4 4 4 4 5

x+ x+ x+ + x+ x =x

(Vế trái có 100 dấu căn)

Bài 18:Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn: 3 2 7 20 3

a b −a b = −

Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn:( x2 + − 4 x)( y2 + − 4 y) = 4 Tính x + y

Bài 20:Giải phương trình:3 2x+ + 1 3 x = 1

Bài 21:Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện:

Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: 4y2 = + 2 199 −x2 − 2x

Bài 24:Tìm các số hữu tỉ a và b biết: a 7 − b 7 = 11 7 28 −

Bài 25:Giải phương trình: 1 2 2 1