Họ và tên:Nguyễn Công Hải-Lớp 8a3-Trường THCS Lâm Thao-Huyện Lâm Thao –Tỉnh Phú Thọ-học sinh thầy Nguyễn Minh Sang.. Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 2.[r]
Trang 1Họ và tên:Nguyễn Công Hải-Lớp 8a3-Trường THCS Lâm Thao-Huyện Lâm Thao –Tỉnh Phú Thọ-học sinh thầy Nguyễn Minh Sang
Bài tập Cho x y z, , là các số thực khác 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:
3 5
x y z y x z z y x
Bài làm Đặt P= x
2
x +( y +z)2+
y2
y2+( x+ z )2+
z2
z2+( y + x )2
Áp dụng bất đẳng thức (y+z) ❑2≤ 2(y2+z2) Đẳng thức xảy ra khi y=z
Do đó x ❑2+(y +z )2≤ x2+2(y2+z2)
Tương tự y y +x¿
2
≤ z2+2(y2+x2)
❑2+(x +z )2≤ y2+ 2(x2+z2); z2+ ¿ Suy ra P≥ x2
x2+ 2(y2+z2)+
y2
y2+ 2(x2+z2)+
z2
z2+2(y2+x2)
x2 +2(y2
+z2)+1+ y2
y2
+ 2(x2
+z2)+1+ z2
z2 +2(y2
+x2)+1
⇔ P+3 ≥ 2(x2
+y2
+z2
).(x2+2 y12+2 z2+
1
y2+2 x2+2 z2+
1
z2+2 y2+2 x2)
Áp dụng bất đẳng thức 1a+ 1
b+
1
c ≥
9
(Đẳng thức xảy ra khi a=b=c)
Suy ra
P+3 2(x2+y2+z2) ( 9
x2+2 y2+2 z2+y2+2 x2+2 z2+z2+2 y2+2 x2 )
=2 (x2+y2+z2). 9
5(x2
+y2
+z2) = 185
Do đó P 185 −3=3
5 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi
¿
y=z x=z y=x
x2+2 y2+2 z2=y2+2 x2+2 z2=z2+2 y2+2 x2
⇔ x= y=z
¿ { { {
¿