tranvantoancv.violet.vn PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC: 2016 - 2017.. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.[r]
Trang 1Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD tranvantoancv.violet.vn
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
NĂM HỌC: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức:
P
1 4x
x ; x
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
b) Cho x 35 2 13 35 2 13
Tính giá trị của biểu thức A = x2015 – x2016 + 2017
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 3x 1 x 3 x2 1
b) Tìm các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn: 5x 3y2xy 11
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng n 4 4n là hợp số
b) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2cm Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AD, DC Gọi I, H thứ thự là giao điểm của AF với BE, BD Vẽ BIM 450
(M thuộc cạnh BC), O là giao điểm của IM và BD
a) Tính độ dài của AI, BI
b) Chứng minh 4 điểm B, I, H, M cùng thuộc một đường tròn
c) Chứng minh DH.BO = OH.BD
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:
3
3
-Hết -Họ và tên học sinh: Số báo danh:
Trang 2Họ và tên Giám thị: Chữ ký:
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN LỚP 9
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
Câu 1
(2 điểm)
a)
P
1 4x
2
2 x 1 (2 x 1)(2 x 1) 3 x 1
(2 x 1)(2 x 1) 3 x 1 1
2 x 1
3 x 1
2 x 1
Vậy
3 x 1 P
2 x 1
với x 0;
x ; x
0,25
0,25
Xét
Với x Z thì:
5
2 x 1
là số nguyên chẵn
5
2 x 1
là số nguyên lẻ
2 x 1 1;5
1) 2 x 1 1 x 0 (thỏa mãn ĐK) 2) 2 x 1 5 x 4 (thỏa mãn ĐK) Vậy x 0;4 là các giá trị cần tìm.
0,25
0,25
Ta có:
3
x x
Trang 3Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD tranvantoancv.violet.vn
3
3
10 9
x 1 x2 x 10 0
1
x
vì
2
x x x
, với mọi giá trị của x
Thay x = 1 vào biểu thức A ta được:
A = 12015 – 12016 + 2017 = 2017
0,25 0,25 0,25
Câu 2
(2 điểm)
a) x2 3x 1 x 3 x2 1
Đặt √x2+1 = t, với t > 0, ta có t2 + 3x = (x + 3).t
Từ đó giải được t = x; t = 3
Do đó:
+ Với t = x, ta có √x
2
+1
= x 2 2
x 0
vô nghiệm
+ Với t = 3, ta có √x2+1 = 3 x2 = 8 x = ± 2√2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = ± 2√2
0,25 0,25 0,25
0,25
b) Ta có: 5x – 3y = 2xy – 11
2xy + 3y = 5x + 11
y(2x + 3) = 5x + 11
Dễ thấy 2x + 3 0 (vì x nguyên) do đó
x y x
Để y Z ta phải có 5x + 11 2x + 3
2(5x11) 2 x3
10x22 2 x3
5(2x3) 7 2 x3
7 2 x3
2x + 3 là ước của 7
Ta có
Vậy cặp số (x; y) nguyên cần tìm là (-1; 6); (-2; -1); (2; 3); (-5; 2)
0,25
0,25
0,5
Câu 3
(2 điểm) a) Ta có n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc
n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn hơn 0
+ Với n = 2k, ta có:
2 k¿4+42 k
n4+ 4n= ¿ lớn hơn 2 và chia hết cho 2
Do đó n4+ 4n là hợp số
+ Với n = 2k + 1, tacó:
0,25
0,25
Trang 4
Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2 Vậy n4 + 4n là hợp số
Vậy n4 + 4n là hợp số với n là số tự nhiên lớn hơn 1
0,25 0,25
b) Ta có:
1 1
x
x x
1 1
y
y y
1 1
z
z z
=> P = 3 – ( x +11 + 1
y +1+
1
z+1 ) = 3 – Q
Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì
a b c a b c
Suy ra Q = x +11 + 1
y +1+
1
z+1
9 4
⇒ – Q −9
4 nên P = 3 – Q 3 – 94 = 34 Dấu “=” xảy ra x = y = z = 13
Vậy GTLN của P = 34 khi x = y = z = 13
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD tranvantoancv.violet.vn
Câu 4
(3 điểm)
O H I
F
E
M
B A
0,25
a) Chứng minh được ABEDAF
ABE DAF
Mà DAF BAF 900
ABE BAF 900
AIB 900
Xét tam giác ABE vuông tại A, theo định lý Pytago có:
Lại có AIBE, do đó:
AI.BE = AB.AE
5 5
AB AE AI
BE
(cm) BI.BE = AB2
2 2 2 4 5
5 5
AB BI BE
(cm)
0,25
0,25 0,25
b) Xét ABH và BIM có
ABH BIM 45 0
BAH IBM (cùng phụ với ABI )
Suy ra ABH BIM(g.g)
AB AH BH
BI BM IM (1)
Ta có HAB HFD
HD DF HF
2 2
BH BD
(cm);
5
AH AF
(cm)
Từ (1)
2 5 4 5
AH BI BM
AB
(cm)
Ta có
2 3
BC BD
BMH BCD (c.g.c)
0,25
0,25
Trang 6Do đó BMH BCD, mà hai góc này ở vị trí đồng vị
MH // CD
Mà BCCD
Ta có BIH và BMH là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền
BH, do đó 4 điểm B, I, H, M cùng thuộc đường tròn đường kính
BH
0,25 0,25
c) Ta có BIM MIF 450, do đó IM là phân giác của BIF
Ta lại có AF BE 5(cm)
5
IFAF AI
(cm) Suy ra
3 5 10
IF DF
BAAH
Suy ra IDF BAH (c.g.c) DIF ABH 450
Do đó ID là phân giác của EIF
Xét tam giác BIH có IO và ID là phân giác trong và ngoài
OH DH IH
OB DB IB
Suy ra DH.BO = OH.BD
0,25
0,25 0,25
0,25
Câu 5
(1 điểm)
Chứng minh rằng:
3
3
Vì a + b + c = 1 nên
1
Từ bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có:
3
a b c
abc abc
Đặt x abc , thì
1 0
27
x
Do đó
27 1 27
x
Suy ra
27
Mặt khác
a b c
Nên
3
10
P
Vậy
3
3
; dấu “=” xảy ra khi
1 3
a b c
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 7Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD tranvantoancv.violet.vn
* Lưu ý: HS làm cách khác đáp án mà đúng vẫn cho điểm tối đa.