xki Chú ý: Đây là các bất đẳng thức cơ bản, thường được dùng để chứng minh các bất đẳng thức khác.. Chứng minh các bất đẳng thức: a..[r]
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC
I Kiến thức cần nhớ:
Định nghĩa: Ta gọi hệ thức có dạng a > b (hoặc a < b;
a ≥ b ;a ≤ b ) là một bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức
a > b, ta xét hiệu a – b và chứng minh rằng hiệu đó là số dương
Tính chất:
1 Tính chất bắc cầu: a>b; b>c →a>c
2 Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:
a>b→ a+c>b+c
3 Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:
a>b; c>0→ ac >bc
a>b; c<0→ ac <bc
4 Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng
thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đa cho:
a>b , c>d → a+c >b+d
5 Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng
thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ:
a>b , c<d → a−c>b−d
6 Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương:
a>b , c>0→ ac >bc
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm và
đổi chiều của bất đẳng thức: a>b , c<0→ ac <bc
7 Nhân từng vế của bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế
không âm:
a>b≥ 0 , c >d ≥ 0→ ac >bd
8 Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng
thức:
a>b>0 → a n+b n
a> b↔ a n>b n với n lẻ
|a|>|b|↔ a n
>b n với n chẵn
9 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương:
Nếu m>n>0 thì: a>1 → a m>a n
a=1→ a m=a n
0<a<1→ a m<b n
Đẳng thức liên qua đến trị tuyệt đối
a) a2≥ 0≥ ;−a2≤ 0
Trang 2b) |a|≥ 0. Xảy ra đẳng thức khi a = 0
c) |a|≥ a Xảy ra bất đẳng thức khi a ≥ 0
d) |a+b|≤|a|+|b| Xảy ra bất đẳng thức khi ab ≥ 0
e) |a−b|≥|a|−|b| Xảy ra đẳng thức khi ab>0 và |a|≥|b|
II Bài tập:
Bài 1 Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
a) a2+b2≥ 2 ab
b) (a+b)2≥ 4 ab (bất đẳng thức Cô – si)
c) 1a+1
b ≥
4
a+b với a, b ¿0
d) a b+b
a ≥2 với a, b ¿0
e) (a2+b2)(x2+y2)≥(ax +by )2 (bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki)
Chú ý: Đây là các bất đẳng thức cơ bản, thường được dùng để chứng minh các bất đẳng thức khác.
Bài 2 Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a2+b2+c2≥ ab+bc +ca
b) a4+b4+c4+d4≥ 4 abcd
c) a2+b2+c2+d2+4 ≥ 2( a+b+c +d )
d) 3(a2+b2+c2)≥ (a+b +c )2
e) a (a−b)+b (b−c)+c (c−a) ≥0
f) a4+b4+c4≥ abc (a+b+c )
g) a8+b8+c8≥a2b2c2(ab+bc +ca )
h) a2+b2≥ ab
i) x2+xy + y2≥ 0
j) a (a+ b) (a+b+ c )+ b2c2≥ 0
k) (a2+b2)(a4+b4)≥(a3+b3)2
l) 8(a4+b4)≥( a+b)4
m) (a2
+b2
)2≥ ab(a+ b)2
Trang 3n) a2
+b2
+c2≥ ab (b+ c)
o) a2
+b2
+c2
+d2≥ a (b+c +d )
p) x4−4 x +5>0
q) x4−x +1
2>0 r) a2+b2+c2+3
4≥ a+b +c s) a4+b4+2≥ 4 ab
t) ( x−1) (x −3) (x −4 )( x−6)+9 ≥ 0
u) a2+4 b2+4 c2≥ 4 ab−4 ac+8 bc
v) 4 a4−4 a3+5 a2−2 a+1≥ 0
w) ab+bc+c¿2≥3 abc(a+b+c)
¿
x) 2(a8+b8)≥(a3+b3)(a5+b5)
y) 3(a8
+b8
+c8
)≥ (a3
+b3
+c3
)(a5
+b5
+c5
)
Bài 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi a , b>0 : a) 2(a3
+b3)≥ (a+b)(a2
+b2)
b) 4(a3+b3)≥ (a+b)3
c) a3+b3≥ a2b+a b2
Bài 3 Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi a , b , c >0 :
a) bc a +ac
b +
ab
c ≥ a+b+c
b) a+b ab + bc
b+c+
ca
c +a ≤
a+b+c
2
c) 1< a
a+b+
b b+c+
c
c +a<2
d) a2
b2+
b2
a2≥
a
b+
b a
e) a b2+b2
c +
c2
a ≥ a+b+c
f) a2
b+c+
b2
c +a+
c2 a+b ≥ a+b+c
2
Trang 4g) a3
b ≥ a
2
+ab−b2
h) a3
b+
b3
c +
c3
a ≥ ab+bc +ca
i) a b+b
c+
c
a ≥ 3
j) 8(a3
+b3
+c3)≥ (a+b)3+(b+c )3+(c +a)3
k) (a+b ) (b+c ) (c+ a) ≥ 8 abc
Bài 4 Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
a) a2
+b2
+c2<2 (ab+ bc+ca) b) a2(b+ c−a)+b2(c +a−b )+c2(a+ b−c )≤ 3 abc
c) a(b−c)2
+b(c−a)2
+c (a+b)2
>a3
+b3
+c3 d) a2(b+ c)+b2(c +a)+c2(a+b) ≤ a3
+b3
+c3 e) a3
+b3
+c3
<a2(b+c )+b2(c +a )+c2(a+ b)
f) a4
+b4
+c4−2 a2b2−2 a2c2−2b2c2
<0 g) (a+b +c )2≤ 9 bc với a ≤ b ≤ c
h) | (b a+
b
c+
c
a)−(a c+
c
b+
b
a) |<1 i) a+b−c1 + 1
b+c−a+
1
c+a−b ≥
1
a+
1
b+
1
c
j) abc ≥ (a+b−c )(b+c−a)(a+c−b)
k) a4
+b4
+c4<2(a2b2
+b2c2
+c2a2
)
Bài 5 Cho a , b , c là các số dương Chứng minh rằng:
a) (a+b)(1
a+
1
b)≥ 4
b) (a+b +c )(1a+
1
b+
1
c)≥ 9
c) b+c 2 a +b+c
2 a ≥2
d) b+c a + b
c +a+
c a+b ≥
3 2
Trang 5e) b+c a + b
c +a+
c a+b+
a+b
c +
b+c
a +
c+a
b ≥
15 2 f) ( x+ y+ z)(x + y1 +
1
y +z+
1
z +x)≥9
2 g) a2
b+c+
b2
c +a+
c2 a+b ≥
1
2(a+b+c ) h) a+b ab + bc
b+c+
ca
c +a ≤
1
2( a+b+ c)
Bài 6 Cho x , y , z ≥ 1 Chứng minh rằng:
a) 1
1+x2+
1
1+ y2≥
2
1+xy
b) 1
1+x2+
1
1+ y2+
1
1+z2≥
3
1+xyz
Bài 7 Cho a , b , c >0 và a+b +c=1 Chứng minh rằng:
a) ab+bc+ca<1
2 b) a2+b2+c2≥1
3 c) (1+a) (1+b)+(1+b )(1+ c)+(1+ c) (1+a)>5
d) b+c1 + 1
c +a+
1
a+b>4
e) a+2 b+c ≥ 4 (1−a)(1−b)(1−c)
Bài 8
a) Cho a , b , c >0 Chứng minh rằng: −a+b+c 2 a +a−b+c
2 b +
a+b−c
2 c ≥
3 2 b) Cho x , y , z >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P= x
y +z+
y z+ x+
z
x + y
Bài 9 Chứng minh rằng với mọi x ∈ R , ta có:
a) x4(x2−2 x +2)−2 x3+2 x2−2 x +1 ≥0
b) x8
−x7
+x6 +x5
−x4 +x3 +x2
−x +1>0
Trang 6c) x8
−x7
+x5
−x4
+x3
−x+1>0
d) ( x+ 4 )( x +7) ( x+ 8) ( x+11 )+ 36 ≥0
e) x4
+x3
+x2
+x +1>0
f) x8
−x7
+x4
−x +1>0
g) x8−x7+x2−x+1>0
Bài 10 Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi a , b , c ≥ 0 :
a) a (a−b) (a−c )+b (b−c ) (b−a)+c (c−a)(c−b)≥ 0
b) a6+b6+c6≥a5b+b5c+c5a
Bài 11 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a , b , c chu vi 2 p Chứng minh:
a) p−a1 + 1
p−b+
1
p−c ≥ 2(1a+
1
b+
1
c)
b) abc8 ≥( p−a)( p−b)( p−c)
Bài 12 Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn 0 ≤ a , b , c ≤ 1 Chứng minh rằng:
a) a2+b2+c2≤ 1+a2b+b2c +c2a
b) 2(a3+b3+c3)≤ 3+a2b+b2c+c2a
c) bc+1 a + b
ca+1+
c ab+1<2
Bài 13 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh của tam giác là a , b , c
và có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2 abc <2
Bài 14 Cho các số thực a , b , c thỏa mãn điều kiện {ac+bc+ ca>0 a+b+ c >0
abc>0
Chứng minh rằng cả ba số a , b , c đều dương
Bài 15 Cho a+b +c +d=2 Chứng minh rằng: a2+b2+c2+d2≥ 1
Trang 7Bài 16 Chứng minh rằng tông tại một trong các số
a−b¿2, (b−c )2,(c−a)2
¿ không lớn hơn a+b+c2 .
Bài 17 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 12+2
22+
3
23+
4
24+…+
100
2100<2
b) 313+ 1
43+
1
53+…+
1
n3<
1
12(n∈ N ;n ≥3)
c) 13+2
32+ 3
33+…+100
3100<3 4
n+1+
1
n+2+
1
n+3+…+
1
3 n+1<2¿ nguyên dương) e) 35< 1
2004+
1
2005+
1
2006+…+
1
4006<
3 4
HẾT