BÀI TẬP * Một số bài tập về ba cạnh của tam giác.[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC
A MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN:
1) Bất đẳng thức cauchy cho hai, ba số khơng âm
2
x y
xy
(hoặc
2
x y
xy
) dấu = xảy ra khi x = y
3
3
x y z
xyz
(hoặc
3
x y z
xyz
) dấu = xảy ra khi x = y = z
2) Một số hệ quả của BĐT cauchy
a)
1 1
x y
hoặc
x yx y b)
1 1 1
x y z
hoặc
x y z x y z c)
3 2
y z z x x y hoặc
2
x y z
y z z x x y
d)
2
a b a b
hoặc
2
a b c a b c
x y
y x ; x2 + y2 + z2 xy + yz + xz
f) (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) g) x2 + y2 + z2 (x + y + z)2 3(x2 + y2 + z2)
* Chú ý : Nếu a + b + c = 0 thì
3
3
a b c abc và
abc
a b c
3) Bất đẳng thức Bunhia-copxki:
a) (a2b2)(x2y2) ( ax by )2 dấu = xảy ra khi
x y
a b
b) (a2b2c2)(x2y2z2) ( ax by cz )2 dấu = xảy ra khi
x y z
a b c
4) Bất đẳng thức Svacsơ
x y z x y z
a b c a b c
trong đĩ a, b, c > 0 dấu = xảy ra khi
x y z
a b c
B BÀI TẬP
* Một số bài tập về ba cạnh của tam giác Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác
Bài 1: a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca)
Bài 2: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 với a + b + c = 2
Bài 3: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) < abc
Bài 4: a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3
b c a c a b a b c
Bài 6:
26
b c a c a b a b c
Bài 7:
3
2
b c a c a b
< 2
Trang 2Bài 8: A =
2
p a p b p c a b c
a b c
) Bài 9: B = (p – a)(p – b)(p – c) 8
abc
p b p c p a
p a p b p c
b a c b a c
p b p c p a
ab bc ac
p
p c p a p b Bài 14: p p a p b p c 3p
CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH KHÁC
Bài 1: Cho 2 số dương a , b có a + b = 1 Chứng minh rằng:
a) 2 2
ab a b ; b) 2 2
ab a b ; c) 2 2
4ab 11
a b ab
d) 2 2
; e)
a b ; f)
2
g) 3 3
4 2 3
a b ab h)
a b
ab
m) Bài 2: Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1 Chứng minh: 2 2 2
a b c b a c c a b Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1 Chứng minh: 3 3 3
3
a b c b a c c a b Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc + ca = 1 Chứng minh:
2
a b b c c a Bài 5: Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc + ca 3 Chứng minh:
b c c a a b
Bài 6: Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 Chứng minh:
3 (1 ) (1 ) (1 ) 2
Bài 7: Cho a, b, c >
1
4 Chứng minh: 2 1 2 1 2 1 3
b c a Bài 7: Cho a, b, c > 0 Chứng minh: 1 1 1 12
b c a Bài 8: Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1 Chứng minh:
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
Bài 9: Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc+ ca = 1 chứng minh 2 2 2
3 2
Trang 3Bài 10: Cho a, b, c > 0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3 chứng minh 3 3 3
1 8 a 1 8 b 1 8 c
Bài 11: Cho a, b, c > 0 thỏa ab bc ca1 chứng minh:
2
b c c a a b Bài 12: Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 6 chứng minh: 3
ab bc ca
a b b c a c Bài 13: Cho a, b, c dương thỏa a + b + c = 1 chứng minh: 2 2 2
30
a b c ab bc ca
Bài 14: Cho a,b,c là 3 số dương Chứng minh: 4
Bài 15: Cho a,b,c là 3 số dương Chứng minh:
3
a b b c c a Bài 16: Cho a,b,c là 3 số dương Chứng minh: 2 2 2
9
b c c a a b a b c Bài 17: Cho a, b, c dương chứng minh:
a b c
ab bc ca
b c a
Bài 18: Cho a, b, c dương chứng minh:
a ab b b bc c c ac a
Bài 19: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn abc = 1 Chứng minh
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4
a b b c c a Bài 20 : Cho ba số dương a, b, c chứng minh:
2a b c a 2b c a b 2c a b c Bài 21: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh 2 2 2 2 2 2 1
a b c Bài 22: Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = abc chứng minh
a b c a b c a b c Bài 23: Cho a,b,c > 0 thỏa
1 1 1
4
a b c chứng minh:
1
2a b c a 2b c a b 2c Bài 24: Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 chứng minh 1
b a c b a c
Bài 25: Cho x, y > 0 thỏa xy = 1 chứng minh
(x y 1)(x y ) 8
x y
Bài 26: Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1 chứng minh
3
x y z Bài 27: Cho a, b, c > 0 chứng minh:
a b b c c a a b c
Bài 28: Cho a, b, c > 0 chứng minh: 3 3 3 3 3 3
abc
a b abc b c abc c a abc
Bài 29: Cho a, b, c > 0 chứng minh:
(1 ) (1 ) (1 ) 1
a b b c c a abc
Bài 30: Cho a, b, c > và a + b + c = 3 chứng minh: 2 2 2
Trang 4Bài 31: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh:
p
p a p b p c
p a p b p c
Bài 32: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6 Chứng minh:
Bài 33: Cho a, b, c > và a + b + c = 1 chứng minh:
-