Tài liệu chuyên toán hình học 10

Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Tài liệu chuyên toán hình học 10

ðOÀN QUỲNH (Chủ biên) - VÃN NHƯ CƯƠNG-JRAN NAM DŨNG 1

NGUYỄN MINH HÀ - ðỖ THANH SƠN - LÊ BÁ KHÁNH TRÌNH B

TÀI LIỆU CHUYÊN TOÁN

H Ì N H H Ọ C * 1 0

ổ

(Tải bản lần thứ hai)

Công ty cổ phán Dịch vụ xuất bản Giáo dục Hà Nội - Nhà xuấỉ bản Gỉáo dục Việt Nam

giũ quyên công bố tác phầm.

t è ặ ờ i n ó i ự ầ u

Từ hơn 40 năm nay, hệ chuyên toán ở nước ta là một hệ học chứih thống bên cạnh hệ ựại trà Tuy nhiên gần ựây, Bộ Giáo ựục và đào tạo mới ban hành chắnh thức chương trình chuyên Toán ỉớp 10 và ựang xét duyệt chương trình chuyên Toán lớp 11,12 bên cạnh chương trình Toán THPT ựã ựược ban hành năm 2006.Chúng tôi nhận thấy cần biên soạn một bộ tài ỉiặu chuyên Toán bậc THPT vói các mục ựắch sail:

- Phục vụ Việc dạy và học ở hệ chuyên Toán thể hiện ựược tinh thần của chương trình lióỉ trên, khá gẩn với chương trình và sách giáo khoa (SGK) Toán ,

nâng cao nhằm giúp học sinh có thể chuyển ựổi từ việc học ờ hệ chuyên sang hệ

không chuyên và ngược lại

- Làm một tài liệu giáo khoa cho giáo viên dạy các lớp chuyên Toán '

-; - - Giúp học sinh các lóp chuyên tự học ; giúp học sinh khá giỏi ồ các lớp ựại

ựà có tài ỈỊệu ựể có thể tự học, tự bổi dưỡng ỉhèm (bên cạnh SGK nâng cao)

Chúng tòi ựã mời ựược nhiều thẩy dạy ở cắc trường chuyên, lớp chuyên (dạy

các lớp bổi dưỡng thỉ toán quốc ỉế cũng như trong nước, dạy các khối chuyên ở các trường ựại học, ) tham gia biên sọạn ựể tài liệu sật với thực tiễii giảng dạy hệ chuyên ở nước ta, ựồng thời giới thiệu ựược phần nào ựồi nét giảng dạy ở hệ chuyên Toán của các trường ựó

Bộ sách Tài liệu chuyên Toán lớp 10 bao gổm 4 cuốn:

- Tài liệu chuyên Toán - đại sộ' 10

- Tài liệu chuyên Toán - Hình học 10

- Tài liệu chuyên Toán - Bài tập đại số 10

- Tài liệu chuyên Toáh - Bài tập Hình học 10

.Các tác giả viết cuốn Tài liệu chuyên Toán - Hình học 10 này là :

- Thầy Nguyễn Minh Hà (Khối chuyên'Toán, Trường ðHSP Hà Nội) :

Chươhg Ị và Bài ñọc thêm

- Thầy Lè Bá Khánh Trừih (Trường ðHKHTN Tp Hỗ Chí Minh): Chươíĩg ỉỉ

- Thầy Vàn N hư Cương (Trường Lương Thế Vinh, Hà N ội): Chương ỉỉỉ

- Thầy ðỗ Thanh Sơn (Khối chuyên toán Trường ðHKHTN Hà Nội) : Chương IV

Thầy Trần Nạm,Dũfig(Tmờng iðHKHỊỊsí Tp Hồ Chí Minh): Chuyên ñề

-Từng tác giả chịu trách- nhiệm: về bài viết của mình- Chủ biên và biên tập viên tôn irọrig' 'Văn phóng" củá từng ĩầc giả (người trình bày chi tiết, chặt chẽ ; người trình bày dựa nhiều vậọ trực giạc.; người; tỊÌnh bày phần lí thuyết phong phú, sâu sắc ; ngưòi chú trọng phần úng dụng, bài tập.„) Chúng tôi chủ yếu sửa chữa những ]pi bịêụ tập, phối hợp các phận biên span của những tác giả khác nhau ñể chúng trợ thành một; thể thong nhặt theo, ñủng khuộn kho của chương trình

• •: Trong tài, Ịiệu này chi trình bày- một chuyên ñề bạt buộc của chương trình là

chuyên ñề Hình học phẳng Tác giả ñã chọn giải một số bài toán "ñiển hình” của

hình học phậng chủ yếu dựa vào các kiến thức hình học ở THCS mà hầụ như tất cả học sinh chuyên ñều cần biết Trong từng chương, các tác giẳ ñã cố gắng tuân thù thệó sẵp xếp cúà;chriờng trmtil Có một sổ ñịểu cần lừ u ý ià r ’

Trong chương I (Vecỉỡ), tầc giả ñã cho nhiều ví dụ và bài tập về hình học

phảng'có ằử dậng còng cạ vectớ (chưa ñề cập ñến tích vố hướng), có nói ñến tâm tỉ

cự, tì sổ kép của hàng’và tĩ số kép của chùm Tác giả cũng ñầ viết bấi ñọc thêm về

góc ñịnh hừớng vời ñịnh lí Ceva, vofi tì số kép ñật vào cuối chương n

, Trong chương II (Tích 'vô hướng và ứng dụng), bên canh giá trị ĩượng giác củạ

các góc có mối liên quạn ñặc biệt, sách có giới thiệu các cống thức lượng giác ñể

Trong chương m {Phuơng phấp tọa ñộ ỉrọng mặt phẳng) cò trình bày thêm

một số nội dung mà SGK Hình, học 10 riầng cao không nói ñến, chẳng hạn như tiếp tuyến của các ñường cônic, tứứichất quạhg họccủacầcñưefng cônic

Trong chương IV (Cúc phép biến-hình trọng- mặt phẳng)r theọ ñúng tinh thần

ì của chương trình, tác giả ñe cập ñến từng phép dời hình, ñổng dạng (tịnh tiến? ñối xứng, quay, vị tự), chưa ñi sâu vào hợp thấnh (tích) của chúng

4

Trọng từng chương.ẹó-nhiều ví dụ, nhiệu bài tập, bài toán (kể cà bài thi của hệ chuỵên, thi học sinh giỏi, Toán qụôc gia, quốc tế ) Các bài tập ñều có lời giải

hoặc hương dẫn giải ñầy ñủ trong cuốn Tài liệu chuyên Toan - Bài tập Hỉnh học ỉ'0 Các tác giả cùng chủ biên và biên tập viên ñã rất cố gắng phối hợp'biên soạn

tài liệu chuyên Toần này Tuy nhiên, chúng tồi biết bộ sách vẫn còn nhiều thiếu sót bởi vì viết tài liệu dạy và học ñầu tiên cho hệ òhủyên Tóán là một ñiểu rất khó khăn Trong bộ sách, có thể ñầy ñó vẫn còn dùng những kí hiệu khác nhau ñể chỉ cùng một ñối tượng (nhưng không gây hiểu nhầm gì), ñôi chỗ có nhũng, bài tập trùng lặp (thường với những ý tưởng giải khác nhau) và cũng có thể có ñổi chỗ chưa ñầy ñủ chi tiết như mong muốn Chúng tôi mòng ñởc giả lương thứ về các ñiều ñỏ và hy vọng các thầy cô và các em học sinh trong quá trình dạy, học, ñọc tài lịệu nàý ñóng góp ý kiến cho chúng tôi ñể lần tái bản sau, sách phục vụ ñược tốt

hơn Các góp ý xin gửi về : Ban Toán, Công ty cổ phần Dịch vụ xuất bản Giáo dục

Hà Nội, Nhả xuất bẩn Giáo dục Việt Nam, ỉ87,GiẩngVổ, Hà Nội.

Chúng tôi rất cám ơn eác tác giả ñã nhiệt tình tham, gia biên soạn tài liệu trong khi bề bộn bao công việc khác và ñã buộc phải biên soạn trong một khuôn khổ chương trình nhất ñịnh, phải phối hợp với nhiều tác giả khác (có thể với những ý

tưởng biên soạn không hoàn toàn giống nhau) Chúng tôi rất cám ơn Tiến sĩ Trần

Phương Dung ñã ñứa rà ý tưỏrrig-về' bọ-isẩch va giúp ñỡ' triền'khai' •viết bộ sách này

Chúng tôi ñặc biệt cám ơn biến tập viên Phan Thị Minh Nguyệt, người ñã giúp các

tác giả và chủ biên sửa chữa các sai sổt, sắp xếp phối hợp các phần của các tác giả khác nhau, khắc phục các khó khăn ñể bộ sách ñược xuất bản ñúng thời hạn, kịp thời phục vụ bạn ñọc Mong muốri duy nhất của chúng ta là bộ sách này thực sự

bố ích cho cẩc học sinh ham thích và họe giỏi môn Toán, ñặc biệt giúp học sinh chuyên toán có tài liệu học tập riêng cho hệ chụyên của mình

Chủ biên ðOÀN QUỲNH

BẢNG PHIÊN ÂM TẼN MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC NÊU TRONG SÁCH Phiên âm La-tinh Phiên âm Tiếng Việt

LƯU Ý MỘT SỐ KÍ HIỆU ðược DÙNG TRONG SÁCH

(AB, A C ) góc ñịnh hướng giữa hai vectơ

(A B ,A C ) góc ñịnh huớng giữa hai tia

góc lượng giác giữa hai tiá

(AB A C ) góc ñịnh hướng giữa hai ñường thẳng

II IT V 11, V còng phương khạc hướng

(ABC) hoặc {A, B, o tỉ số ñơn của A, B, c nếu A, B c thẳng hàng

(ABC) ñường tròn ngoại tiếp ĩam giác ABC nếu A, B, c không

thắng hàng

(ABCD) hoặc (A, s , c , D) tì số kép của 4 ñiểm thẳng hàng boặc Èủa 4 diểm trên

ñường tròn

S(ABCD) hoặc S(SA, SB, se, SD) ti số kệp của 4 ñường thẳng SA, SB, s c , SD'

dt(ASC) hoặc SABC ñiện tích tam giác ABC

6

Chương I

V E C T Ơ

81 VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1 ðại cương vể vectơ

a)V ectơ

Vectơ là một ñoạn thẳng mà ta ñã chỉ rõ ñiểm mút nào ỉà ñiểm ñầu, ñiểm mứt

ðiểm ñẫu và ñiểm cuối của vectơ theo thứ tự ñược gọi là gốc và ngọn củavectơ

Hừớng từ gốc tới ngọn của vectơ ñược là gọi là hướng của vectớ

Vecíơ có gốc A, ngọn B ñược kí hiệu là A B

ðộ dài của vectơ AS chính là ñộ dài ñoạn thẳng AB ðộ dài của vectơ AB ñược kí hiệu là AB ðương nhiên A b Ị =AB.

Vectơ có gốc và ngọn trùng nhau ñược gọì làvectơ-không Vectơ-không có ñộ dài bằng 0 và có hướng tuỳ ý

Khi muốn chỉ rõ một vectơ nào ñó có ñộ dài kihác 0, ta dùng thuật ngữ "vector khác không"

Khi muốn chỉ rõ một véctơ nào ñó có ñô dài bằng 1, ta dùng thuật ngữ "vectơ ñơn vị”

Giá của vectơ-khác không AB là ñường thẳng AB Giá của vectơ-không AA

là ñường thẳng bất kì ñi quạ A;

Hai vectơ ñược gọi là cùng phượng nếu giá của chúng hoặc song song hoặc trùng nhau ðương nhiên, veetơ-không cùng phương vói mọi vectơ ðể biểu

thị hai vectơ AB và CD cùng phương, ta viết: ABỊỊCD:

Nếu giá của vecta AS hoặc song song hoặc trừng với ñường thẳng A thì ta

cũng viết ABỊỊ A

Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng, có thể ngược hướng

' • ; ; >■:Ai , V ' •;

ðể biểu thị hai vectơ AB, CD cùng hướng, ta viết: /45 t t CD (h.1.1).

ðể biểu thị hai vectơ AB, CD ngược hướng, ta viết: A B ti CD (h.ĩ.2)

Với hai vectơ-khác không AB, Cð, ta có :

Hai vectơ ñựợc gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng ñộ dài

ðể biểu thị hai vectơ AB, CD bằng nhau, ta viết: AB - CD

ðương nhiên tất cả các vectở-không bằng nhau Do ñộ, người ta dung kí hiệu

- Các tổng a + ịh + c j , {a + + r ñược viết ñơn giản là à + b + c

- Quy tắc ba ñiểm ñược mở rộng thành quy tắc n ñiểm :

ÁxAn ■= A ỵ A2 + A2Á3 + + An_xAn

b) Phép trừ hai vectơ

Vectơ b ñược gọi là vectơ ñối của vectơ a khi và chỉ khi b t ị a và \b\ ~ \a\

ðể biểu thị vectơ b là vectơ ñối của vectơ a , ta viết: b = - a

ðường nhiên vectơ b là vectơ ñối của vectơ a khi và chỉ khi vectơ a là vectơ ñối của vectơ b Nói cách khác, -(-ứ) = a

Vì lí dọ trên, khi b = - a <=> a - - b , ta n ó i: a và b là hai vectơ ñối nhau.

Hiệu của vectơ a và vectờ b ỉà một vectơ, kí hiệu là a - b , xác ñịnh như sau :

Tích của số thực k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là k a , xác ñịnh như sau :

• Nếu k - 0 hoặc ữ = 0 thì ỉca = 5.

• Nếu k > 0 và a õ thì ka tT a và \ỊĨa\ = k\a\.

• Nếu k < 0 và a * 0 thì ka T ị a và Ika\ = -k\a\.

Từ ñịnh nghĩa trên, ta có ngay các hệ quả sau :

Ví dụ 2 Nếu M, N theo thứ tự là trung ñiểm của các ñoạn AD, BC th ì:

ẶĨN = Ỉ(ĂỖ + DC) = j( Ẵ C + DB) Giải Chú ý rằng + MD = õ; /V# + iVC = 0, ta c ó :

Giẩi (h 1.5) Gọi E, F theo thứ tự là trung ñiểm của AC, BD.

Thuận Giả sà í thọả mãn ñỉềú kiện ñề bài.

Từ (2) và (3) suy ra / thuộc ñoạn EF

ðảo Giả sử./ thuộc ñoạn EF,

Từ (1), dễ thấy tồn tại các ñiểm M, N theo thứ tự thuộc cắc ñoạn AD, CB sao

=> ĨM[+ ĨN = 2ĨÈ + (ẼẴ + ẼC) + k(ÃD + CB)

= 2IE + 0 + k.2ẼF= 0,

ðiều ñó có nghĩa Ị là trung ñiểm-của ñoạn MTV.

Kết luận Quỹ tích ñiểm / là ñoạn EF.

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC và ñiểm G Các mệnh ñề sau tương ñương :

a) G là trọng tâm của tam- giác ABC.

b) GẦ + GB + *GC = õ

c) MA + m + MC = 3MG VM.

Giải.

(a => b) Gọi A' là giáo ñiểm của AG VỐA BC Ta c ố : GA + 2GÀ' - 0 (i).

Mặt khác, vì A ỉà trung ñiểm của BC nên theo VD I : GB + GC = 2GA' (2).

Từ (1) và (2) suy ra : GA + GB + GC = ố ^

(£.=> à) Gọi A', B' theo thứ tự là trung ñiểm của BC, 'CA.

VÍ GẴ + GB + GC = õ nên theo VD ỉ : GA + 2GA' = õ ; GB + 2GB' = õ

Suy ra : G thuộc AA' và

Do ñó, ƠTà trọng tấỵn củạ tam giác ABC.

(b « • c) Ta có :

~MẢ + ĨắB + MC =ĨMG V M □

Ví dụ 5 Chứng minh rằng các tam giác ABC, A'B'C' có cùng trọng tâm khi và chỉ khi AA' + BB' + CC' = ọ

Giải Gọi G, G' theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC, A'B'C'.

Ví dụ 6 Cho M, N, p, Q, R, S‘ lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, BC,

CD, DE, EF, FA của lực giác ABCDEF Chứng minh rằng các lam giác MPR, NQS có cùng trọng tâm.

Ví dụ 7 Với ba vectơ a, b, c bất kì, chứng minh rằng :

a) \a + b\< Ịữị + \b\ ðẳng thức xảy ra ó a TT b.

b) Ị|ứỊ - \b\\ < \ơ - b\ ðẳng thức xảỵ ra <=> a T f b.

Giải.

a) Lấy các ñiểmv4, B, c sao cho AB = a , BC = b

Theo ñình nghĩa phép cộng vectơ: AC - a + b.

Ví dụ 8 Cho hai ñường tròn ( 0 j ; /?j), (ỡ 2 ; Rỷ Cảc ñiểm M ị , M2 theo thứ tự

thay ñổi trên (ƠJ; /?ị), (ơ2 ; /??)- Tìm quỹ tích thing ñiểm M của MỊ/Vf2.

Giải, (h.1.7)

Thuận Gọi 0 là trung ñiểm của o j0 2.

Giả sử M thoả mân ñiểu kiện ñề bài.

Từ ñó, theo VD7 : i Ị õ ìMíj+ 0 2M ^j > |ỡm| > ị OịMịỊ - \ m 20 2

14

Suy ra : M thuộc hình vành khăn ự/í)

xác ñính bởi hai ñường tròn

hai giao ñiểm của chúng là N Nếu các ñường tròn ; ^-/?j j vă M ; ị R2 j

tiếp xúc với nhau thì tá gọi tiếp ñiểm của chúng là N.

Trên tia 0 2N lấy ñiểm M ị sao cho N là trung ñiểm của của 0 2Mị Trên tia

Vì ON là ñường trang'bình của tain giác Ọ $L \0\ nên OịMị - 2ON = Rị (vì

N thuộc o ; ị R ị |) Suy raAfj thuộc (Oị ; R{). (2)

Vì NM là ñường trung bình của tam giác M\M20 2 nên Ớ2A^2 - 2NM - R2 (vì

N thuôc M ; ^rR2 ) Suy ra M2 thuộc (ỡ 2 ; #2)- (3)

Tữ (1), (2), (3) suy ra M thoả mãn ñiều kiện ñề bài.

Kết luận Quỹ tích M là hình vành khăn (Jíf) □

\

Ví dụ 9 Cho ñiểm M nằm trên cạnh BC của tam giác ABC Chứng minh rằng :

Giải (h 1.8) Gọi N là ñiểm trên cạnh AB sao cho MN Ị Ị ẠC Ta có :

a) (h.l 9) Gọi A' là giao ñiểm của Ạ1 yà BC

Theo Ưnh chất của ñửờng phân giác, ta có

Từ ñó, chú ý tới câu a), ta cồ : aỉD + blE + CĨF = õ □

VI dụ 11 Cho ña giác lồi AịA2 A„ và các vectơ ñơn vị €ị (1 < i < n) theo

thứ tự vuông góc với AịAi+l (xem An+l = Ax), hướng ra phía ngoài ña giác.

Chứng minh rằng:

+ Ả 2 A3e2 + + AnAlert = 0 (ñịnh lí con nhím).

Giải, (h.1.11) Từ câu b) trong VD 10, dễ thấy ñịnh lí con nhím ñúng ñôi với

tam giác (1)

Giả sử ñịnh lí con nhím ñúng với (« - 1) - giác lồi (n 2 4) (2).

Dụng vectơ ñơn vị e vuông góc với Ả ịA ^ ị,

hướng ra phía ngoài tam giác AỉAn_ỉAn.

Áp dụng (1), (2) tương ứng cho tam giác

A ^ ị \ và.(« - 1) - giác AlA2 AỊI_ĩ , ta

có :

+ K A\ẽ*n+ Ai \ - i ĩ = 3

[ A ^ I -+ ^2A3e2 + —+ An- ỉA\(~e) - 3.

Suy r a : AjA2et + A2À3e2 + + A„_ịAnen^ + AnAị7n = ồ

ðiều ñó có nghĩa ỉà ñịnh lí con nhím ñúng với /2-giác lồi

Vậy, theo nguyên lí quy nạp, ñịnh ư con nhím ñúng với mọi ña giác lồi

a 2

Hình 1.12

Ví dụ 12 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp ñường tròn

(/) Hai ñiểm E, F theo thứ tự là trung ñiểm của AC,

BD Chứng minh rằng /, E, F cùng thuộc một ñường

thẳng

Giải, (h.1.12) Gọi M, N, p, Q theo thứ tự là tiếp

ñiểm của (/) với AB, BC, CD, DA ; X , y, z, ỉ là khoảng

cách ữ A ,B , c , D tới các tiếp ñiểm tương ứng.

Ví dụ 13 Về phía ngoài tam giác ABC, ta dựng các tam giác ñồng dạng XBC,

YCA, ZAB Chứng minh rằng cáo tam giác ABC, XYZ có cùng trọng tâm.

Giỏi (h 1.13) Gọi H, K, L theo thứ tự là hình chiếu củaX, Y, z trẽn BC, CA, AB.

Gọi ea, eb, ec là các vectơ ñơn vi, hướng ra ngoài tam giáệ ABC và theo thứ tự vuông góc với BC„ CA, AB.

Vì các tam giác XBC, YCA, ZAB ñồng dạng nên ;

= m(BC + CA + AB) + n(BCeữ + CAeb + ABec)

• = n(BCeữ + CAeb + ABec)

Từ ñó, theo ñịnh lí con nhỉm, BX + CY + KL = 0

Vậy, theo VD 5, các tam giác ABC, x y z có cùng trọng tâm □

Ví dụ 14] cho tam giác ABC và ñiểm M nằm trong tam giác Gọi Sữ, sb, Sc theo thứ tự là diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB Chứng minh rằng:

SaMA + SbMB + ScMC = Õ.

Giải, (h.1.14)

Gọi A' là giao ñiểm của các ñường thẳng AM, BC.

Trong tam giác MBC, theo VD 9 :

1 Cho M trùng vói trọng tâm G hoặc tâm ñường tròn nội tiếp / của tam giác

ABC, ta nhận lại ñược các kết quả quen thuộc:

GÃ + GB + GC = 0 ; ÕĨẴ + bĨB + c ĩẽ = 0

2 Nếu M nằm ngoài tam giầc ABC, ta có kết quả tương tự :

~Sa MA + sb MB + Sc MC = 0 (khi M thuộc góc BAC và góc ñốì (tình của nó) SaMA - SbMB + ScMC = ồ (khi M thuộc góc CBA va góc ñối ñỉnh của nó)

Sa MA + sb MB - ScMC = õ (khi M thuộc gộc ACB và góc ñốì tình của nó).

Ví dụ 15 Cho tam giác ñều ABC tâm 0 M là ñiểm bất kì trong tam giác D,

E, F lần lươt là hình, chiếu của M trên BC, CA, AB Chứng minh rằng :

MD + ME + MF =

2

Giải:

Cách 1 (h.l 15) Gọi s, Sa,S bỊ Sc tương ứng là diện

tích các tam giác ABC, MBC, MCA, MAB Gọi A\ B\

c lần lượt ìà hình chiếu củ&A, B, C trên BC, CA, AB.

song song với BC, 'CA, AB Chúng tưang ứng cắt các

r ’ £/;T,X

Dễ thấy MTAƯ, MVBX MYCZ là các hình bình hành

Ví dụ 16 Cho các ñiểm M, N theo thứ tự thuộc ñoạn AD, BC sao cho

MD = Arc = §• Chứng minh rằng: ^ = T ^ {yAB + xDC) ■

Giải.

= xMN + yÃ/Ã?

=(yŨẮ + xMD) - XyNB + xNC) + (yÂệ + xDC) (1)

Từ (I) và (2) suy ra : ~MN - —í— (ỹÃB + xDC) □

Nhận xét VD 16 là sự mở rộng của VD 2.

Ví dụ 17 Cho tam giác ABC ðiểm M nằm trọng tam giác, tì, K, L tương ứng

là hình chiếu của M trên BC, CA, AB Tìm quỹ tích các ñiểm M sao cho

MH - MK + ML.

Giải Gọi BE; CF là các ñường phân giác kẻ từ B, c của tam giác ABC.

Thuận, (h 1.17) Giả SỬ M thoả mãn ñiều kiện ñề bài.

Gọi Sa, Sh, Sc tương ứng ỉà diện tích của các tam

giác MBC, MCA, MAB Theo VD 14, ta có :

Suy r a : aFA + bFB = ổ ; aEA + cEC = ố

£>ờớ (h.L18) Giả sử Af thuộc ñoạn £F Gọi X K

theo thứ tự là hình chiếu của E trên BC, BA ; Z ,T

theo thứ tự là hình chỉếu của F trên CB, CA,

Kểt luận Quỹ tích các ñiểm M thoả mãn ñiều kiộn ñề bài là ñoạn EF □

Ví dụ 18 Cho hai ñiểm A, B phân biệt và hai số ữ, p thoả mãn ñiếu kiện

a + p * 0 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ñiểm M sao cho aMA+/3MB=0 Giai Ta c ó :

aM A + PMB = Ổ <=> ~ ã m + y?(ÃS - ÃM) = õ

(a + ậ)ÃM = J3AB

<=> Ã ữ = —Ế—rÃB

a + 0 ðẳng thức trên chứng tỏ sự tồn tại duy nhất của ñiểm M □

Nhận xét Khi a + Ị5 = 0 , không tồn tạì ñiểm M sao cho a MA + /3MB = õ

22

Ví dụ 19 Cho tam giác ABC và ba số a , /?, Ỵ thoả mãn diều kiên

a + p+ ỵ ^ 0 Chứng minh rằng tồn tại diiy nhất ñiểmM sao cho

a M A + j m B + r M C = 0

Giải.

Cách ỉ Vì a + /?+ Ỵ * 0 nên(cr + /0 + 0# + / ) + ( / + or) V 0 Do ñó, một trong ba số c« + /?), (/?+ Ỳ), (ỵ + a) khác không.

Không mất tính tổng quát già sỏ, a + p 5É 0 Theo VD 18, tồn tại duy nhất ñiểm E sao cho : aEA + p E B

Nhận xét.

I Khi a + p + ỵ = 0„ khòng tồn tại ñiểm M sao cho

ÕMẴ + Ị3MB+ ỵMC — õ

2 Trong khá nhiều trường hợp, lời giải 1 cho ta cách xác ñịnh ñiểm M rất

hiệu quả

3 Với các ñiểm Ạ2,—, AjVà các số a x, a2, , a.n thoả mãn ñiều kiện

5* 0, ta có kết quả tổng quát sau :

n Tồn tại duy nhất ñiểm M sao cho: ^ ữ ịM A ị = 0.

Í=I

ðiểm M xác ñịnh như trên ñược gọi là tâm tỉ cự của hệ ñiểm ÍA}, A2, , An)

' ••• ■ ■

với các hệ số tương úng là Ịữj, a2,‘:r <xn\ • \

Khi a-ị = a z thay cho cầch nói "M là tâm tỉ cự của hệ ñiểm {i4j, A2, y An} với các hệ số tương ứng là {«J, «2’”*’ an} r ó i tè

/rợng tâm của hệ ñiểm {Aị, A2, ,

Nếu Af là tâm ti cự của hệ ñiểm [Aị, A2 An] với các hệ số tương ứng là

Í=1

Ví dụ 20 Cho tam giác ABC, trọng tâm G và 'ñiểm M Gọì A \ B \ c theo thứ

tự là ñiểm ñối xứng với M qua trung ñiểm của các âom BC, CA, AB Chứng

minh rằng:

a) AA', BB\ c c ñồng quy tại trung ñiểm của mỗi ñoạn.

b) ðiểm ñồng quy nói trong câu a) thuộc MG

Giải, (h.1.19)

a) Dễ thấy A', ư , c ỉần lượt là tâm tí cựcủa các hệ ñiểm c , M} ; Ịc, A, M] ; (a, B, M} với các hệ số tương úng là Ịl, 1, -1 }

Gọi Ả- là tâm tỉ cự của hệ ñiểm Ịa, B, c, A/} với

Nói cách khác : K là trung ñiểm của AA\

Tương tự : K là trung ñiểm của các ñoạn BB, c c

Như vậy : AA\ BB't CC' ñồng quy tại trung ñiểm mỗi ñoạn

(ñiểm70-b) Từ ñẳng thức KA + KB + KC - KM = õ , chú ý r ầ n g s + GB + GC = õ, theo công thức thú gọn, ta eó : (1 + ỉ + Ỉ)KG - KM = õ

Suy ra 3KG “ ĨCM - 5 .

Do ñó K thuộc MG -□

Ví dụ 21 Cho ñường tròn (ỡ) và các ñường tròn (ỡj), (ỡ 2), (O3) cùng tiếp

xúc trong vởi (ơ) và ñôi một tiếp xúc ngoài vófi nhau Các ñiểm Aịy A2, A3

theo thứ tự là tiếp ñiểm của (0) với (ơ|), (Ớ2), (03) Các ñiểm Bị, B2, ^3 theo thứ tự là tiếp ñiểm của các cặp ñường tròn (02), (Ơ3) ; (ơ3), (ớị) ; (ơ|), (02)

-Vậy K thuộc A^Bị,

Tương tự, K thuộc A2B2, A3By

Như vậy, AịẸị, A2B2i A3^3 ñồng quy (tại K) □

3 Cho tứ giác ABCD có AD - BC về phía ngoài tứ giác, ta dựng các tam giác bằng nhau ADE, BCF Chứng minh rằng trung ñiểm của các ñoạn AB> CD, EF

cùng thuộc một ñường thẳng!

4 Cho hai tam giác ABC, A^B^Cị Gọi A2y ổ2, ^ 2 t^leo tirá tự tè trọng tâm các

tam giác AjBC, B}CA, CịAB, G, Gị, G2 theo thứ tự là trọng tâm các tam giác

ABC, A-ịBịC^ A2B2C2 Chứng minh rằng G, Gị, G2 thẳng hàng

5 Cho tứ giác ABCD Gọi X Y, z, T theo thứ tự là ữọng tâm các tam giác BCD,

CD A, DAB, ABC Chứng minh rằng AX, BY, c z , DT ñồng quy tại một ñiểm và

ñiểm ñó chia mỗi ñoạn theo cùng một tỉ số

kúi ABCA và chia ñường gấp khúc này thành hai phần có ñộ ñài bằng nhau Tim quỹ tích trung ñiểm / của MN.

7 Cho tứ giác ABCD không phải là hình thang Các ñiểm M, N, p, Q theo thứ tự thay ñổi trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho MNPQ là hình bình hành Tìm quỹ tích giao ñiểm / của MP, NQ.

8 Cho lục giác ABCDEF Các ñiểm M, N, p, Q, R, s theo thứ tự thay ñổi trên các cạnh AB, BC, CD, ðE, EF, FA sao eho:

AM _ w _ CP _ ðQ _ ER _ FS

AB ~.BC ~ CD ~ DE " EF " F A '

Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác MPR, NQS luôn ñối xúng vói

nhau qua một ñiểin cố ñịnh

9 Cho tam giác ABC và ñiểm o nằm trong tam giác Gọi A h Bị, Cj theo thứ tự

là hình chiếu của o trên BC, CA, AB Trên cầc tia CMị, OBịi OCị theo thứ tự lấy các ñiểm A2, B 2 i c 2 sao cho : 0A2 = BC ; OB2 - CA ; 0 C 2 = AB Chứng minh rằng o là trọng tâm của tam giác A 2 B 2 C 2

10 Q10 tam giác ABC có BAC = 60° và ỉ là tâm ñường ứòn nội tiếp Trên các tia

BA, CA theo ứiứ tự lấy các ñiểm E, F sao cho BE = CF = BC Chúng minh

rằng /, E, F thẳng hàng.

11 Ch.o tam giác ABC không ñều BC là cạnh nhỏ nhất ðường tròn nội tiếp (/) của tam giác theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB tại X Y, z Gọi G là trọng tâm tam giác XYZ Trên các tia BA, CA theo thứ tự lấy các ñiểm E, F sao cho

BE = CF - BC Chứng minh rằng ỈG ± E F

12 Oio lục giác ABCDEF nội tiếp ñường tròn (O ; R) và AB = CD = EF Về phía ngoài lục giác, ta ñựng các tam giác ñồng dạng MAB, NBC, PCjữ, QDE, REF,

SFA theo thứ tự cân tại M, N, p, Q, R, s Gọi ỡ |, 0 2 theo ửiứ tự là trọng tâm

các tam giác MPR, NQS Chứng minh rằng : 0, Oj, 0 2 thẳng hàng .

13 Cho tam giác ABC và ñiểm M nằm trong tam giác Chứng minh rằng :

MA + MB + MC + min { m a , m b , MC} < BC + CA + AB

14 Cho hai tam giác AịBC, A2BC Gọi / j , ỉ 2 theo thứ tự là tâm ñường tròn nội tiếp của chúng Chứng minh rằng : /j /2 ầ .

'15 Cho ña giác lồi A ị A2 An và ñiểm M nằm trong ña giác ðặt a.ị bằng tổng các

khoảng cách từ Aị ñến các ñỉnh của ña giác Chứng minh rằng:

X MAi - {“ ;} ■

1 SÍ& Isís"

16 Cho tam giác ñều ABC và ñiểm M nằm trong tam giác Các ñiểm Aj, Bị, C ị

theo thứ tự là ñiểm ñối xứng vqfi M qua BC, CA, AB Qúrng minh rằng các tam

17 Cho tứ giác ABCD và các ñiểm M, N, P ,Q ; các số khác không m, n, p, q thoả

CR = RS = 5D'; D ơ = ơ v = VA KP theo thứ tự cắt MS', M? tại Xt Y QU theo

thứ tự cắt N/?, MS tại Z, r Chứng mình Tằng diện tích tứ giác XKZT bằng

^ diện tích tứ giác ABCD.

7

19 ðường tròn nội tiếp ự) của tam giẩc ABC theo thứ tự tiếp xúc với cầc cạnh BC,

CA, AB tại X, Ý ,£ ðặt M■ = BY n x z ; N = c z ộ XY Gọi E, F theo thứ tự

là trung ñiểm của MY, NZ Chứng minh rằng Al, YF, ZE ñồng quy.

20 Cho tam giác ABC và ñiểm M nằm trong tam giác Cẩc ñường thẳng AM, BM,

CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại Aỵ, B], Cị Gọi X, Y, z, X], Y ị , Z ị theo thứ

tự là trung ñiểm của BC, CA, AB, £jCị, Chứng minh rằng : x x h

YYị, ZZị ñồng quy.

21 Cho tam giác ABC và các ñường tròn (Oị), (ỡ2X (Oỷ nằm trong tam giác, ñôi

một tiếp xúc ngoài với nhau, theo thứ tự tiếp xúc với hai cạnh của các

gócBAC, CBA, ACB Gọi Tị, r 2, 7*3 theo thứ tự là tiếp ñiểm của các cặp ñường tròn (O 2 ), (0 3) ; (ỡ3), (ơị) ; (Oị), (O 2) Chóng minh rằng :-ATlyET2t

CT 3 ñồng quy.

28

§2 Sự BIỂU THỊ VECTƠ PHÉP CHIẾU VECTƠ

L Các ñịnh ií cơ bản về sự biểu thị vectơ

a) ðịnh lí th ứ nh ất

Trong § 1, ta ñã ñịnh nghĩa hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng Bây giờ, ta hãy xem xét kĩ hơn vẵn ñề này ñể thấy rõ hơn những ứng dụng quan trong cùa nó.

ðịnh lí L Cho vectơ <2 ^ 0, vectơ b tuỳ ý Khi ñó :

b//a <^> 3k G M :b = ka.

Số k xác ñịnh như trên là duy nhất.

Chứng minh: Giả sử b = k a Theo ñịnh nghĩa phép nhân số thực với vectơ, ta

Hệ quả I Cho hai vectơ ứ, b tuỳ ý Khi ñó :

bỊỊa <=> e R, không ñồng thời bằng 0 sao cho : ứa 4- ph = 0.

Hệ quả 2 Nếu hai vectơ-khác không ứ, b thoả mãn các ñiều kiện :

aa + /3b = 0 ; a'a + fi'b = õ thì 3£ e R :a = k.a' ; /7 =

29

Hệ quả 3 Cho ba ñiểm A, B, c ñôi một phân biệt Khi ñó :

Vói hai vectơ không cùng phương, ñịnh lí sau ñây rấPĨỊHạn trọng

ðịnh lí 2 Cho hai vectơ a, b không cùng phương và vectơ c bất kì Khi ñó : tồn tại duy nhất cặp số thực (m, n) sao cho *, C — ma + nb.

Chứng minh, (h.1.21)

OA — a ; OB = b ; o c = C Vì a,b không

cùng phương nên các ñường thẳng OA, OB

không trùng nhau Qua c , vẽ các ñường thẳng

song song với OA, OB Các ñường thẳng này v & B theo thứ tự cắt các ñường thẳng OB, ọA tại B\ A \ Hình Ị 2 Ỉ

Theo quy tắc hình bình hành : o c - OA' + OB'

Mặt khác, vì OA \ OB ’ theo thứ tự cúng phương với OA, OB nên theo ñịnh lí 1, tồn tại các số m > n sao cho : OA' = mOA ; OB' = nOB.

Vậy ỠC = mOA + nOB.

ðiều ñó có nghĩa là : C = mạ + nb.

Giả sử rrì, n' ỉà các số thực tíioả mãn ñiéù kiện c = m'a + n'b

Ta có : m a + n'b - mả + nb=> (m - m')ữ -h(n - n')b = 0.

Nếu trong hai số m - m\ n - rì có một số khác 0, giả sử m - trì * 0 thì.

a = b Theo ñịnh lí 1, bỊịxi Mâu thuẫn !

m - m

Vậy, cả hai số m ~m \ n - r ì cùng bằng 0 Nói cách khác :m ~ m ' \n = n\ Tóm lại, hai số m, n xác ñịnh như trên là ñuy nhất □

Hệ quả 1 Nếu hai vectơ a, b không cùng phương và thoả mãn ñiều kiện

Cho ñường thẳng A và ñưòng thẳng / không

song song với A Gọi V là tập hợp các vectơ trên

mặt phẳng : V(A) là tập hợp các vectơ có giá

hoặc song song hoặc trùng với A Phép chiếu A

vectơ theo phương / xuống A là một ánh xạ,-kí

hiệu là Ch^A), ñi từ V tói V(A), xác ñịnh như Hinh Ị 2 2

sau : Ch/(A)(AB) = Ã7? ; trong ñó : J a 'HBB'HI (h.1.22).

Vectơ A'B' ñược gọi lậ hình chiếu của vectơ AB qua phép chiếu vectơ theo phương l (phương chỉếu) lên ñưòng thẳng A (ñường thẳng chiếu).

Khi phương chiếu / vuông góc với ñường thẳng chiếu A, thay cho thuật ngữ

"phép chiếu vectơ theo phương 7 xúống ñường thẳng A", ta dùng thuật ngữ

"phép chiếu vectơ xuống ñường thẳng A "; thay cho kí hiệu CfyA, ta dùng kí hiệu ChA

Từ ñinh nghĩa trên, ta có ngay các hệ quả hiển nhiên sau:

• Ch,A(Õ) = õ

• Ch7A(a) = õ <=> aỊỊỈ.

• Ch/A(ứ) = a <=> a ll A.

b) Tính ch ất

Với mọi vectơ a, b ta có :

a) Ch;A(a+ S) = ChjACfl) + Ch/ACò)

b) Ch/ÁC^a) = K3i/A(a)

31

Chứng minh.

a) (h 1.23) Lấy ñiểm A bất kì Lấy các ñiểm B,

C' trên A sao cho : ÁA'// BB'ỊỊC C 'ỊỊl Ta có :

= Ã7? ’ = Ã7? + F c ' = Ch;A(a) + Ch;A(S)

b) (h.1.24) Lấy ñiểm /1 bất kì Lấy các ñiểm 5, D

sao cho : AB=a ; A D -k A B -k a Lấy các ñiểm

zr, £>' trên A sao cho ÃA'n BB 'IID D 'lll.

Theo ñịnh lí Thales : A'D ' = kA 'B \ Vậy, ta c ó :

[AM= aAB + pAC

Hệ quả Cho tam giác ABC và ñiểm M thoả mãn ñiều kiện xAM =yAB+zAC

Khi ñó : M thuộc ñường thẳng BC khí và chỉ khi X - y + z.

32

Ví dụ 2 Cho góc xOy và hai số dương a, b Các ñiểm /1, B theo thứ tự thay

luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh

Giải Trên Ox, Oy theo thứ tự lấy các ñiểm X y sao cho O X - a ; OY - b.

-Vì = 1 nên theo VD 1, các ñiểm A, B, K thẳng hàng ðiều ñó có

nghta là ñường thẳng AB luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh (ñiểm K) □

Ví dụ 3 ciio tam giác ABC và các ñiểm M, N, p thoậ mãn ñiều kiện :

Chứng minh rằng M ,N ,P thẳng hàng khi và chỉ khi a(ĨY = 1 •

Nhận xét Kết quả trên chính ỉà dạng vectơ của ñịnh lí Menelaus Trong

mục 1, §3, ta sẽ gặp ỉậi ñịnh lí này dưới dạng thông thường

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC, ðường tròn nội tiếp (/) thẹo thứ tự tiếp xúc vói

BC, CA, AB tại D, E, F ðường thẳng Dỉ cắt EF tại N Chứng minh rằng ñường thẳng AN ñi qua trung ñiểm của BC.

Nói cách khác, AN ñi qụa trung ñiểm cầâ BC □

Ví dụ 5 Cho tam giác ABC với cáe trung tuyến AM BN, CP và tam giác A'B'Ơ với các trung túyến CP' Chứng minh rằng BC, CA, AB theo thứ tự cùng phương với B 'C \ C 'A \ A'B ' khi và chỉ khị AM BN, CP theo thứ tự cùng phương với A 'M \ B 'N \C 'P '\

Giải Chứng minh ñiều kiện cẩn.

Vì BCy CA, AB theo thứ tự cùng phương với B ' C \ C ' A V A1B' nên :

BC - a W c \ CẦ = ậ C \A \ ÃB = y à l ĩ' Suy ra: a l ỹ c ' + p T ỹ ĩ ' + ỷ à rB > = BC + CA-f AB = 0 (1)34

3B-CT HỈNH HỌC 10

Tương tự như vậy : B N ỊỊB rìĩ\C P Ị lC rP '

Chứng minh ñiều kiện ñủ.

Gọi G, G' theọ thứ tự.Iàtrọng tâm của các tam giác ABC, Ạ'B'C

Vì AM, BN, CP theo thứ tự cùng phượng với Ả' M \ B 'N \ C 'p ' nên

ÃG, BG, CG theo thứ tự cùrig phương với Ã7^ , £'G ', C ‘G'‘.

Tương tự như vậy : CẴỊỊC~Ã\\ Ã B //Ã 1P □

Ví dụ 6 Cho tam giác ABC và ñiểm M nằm trong tam giác Các ñiểm //, /, K theo thứ tự là hình chiếu của.Á/ trẽn các ñưòng thẳng BC, CA, AẼ Chứng minh rằng M là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

Giấi (h.l 29) Chứng minh ñiều kiện cần.

ngoài lục giác MNPQRS và theo thứ tự vuông góc với

Nội cách khác, tam giác XYZ ñều.

Chứng minh ñiều kiện ñủ:

Hoàn toàn tương tự phép chứrig minh ñiều kiện cần

Hình ì 29

Ví dụ 8 Cho tam giáe ABC và ñiểm M Chứng minh ràng M nằm trong tam giấcABC khi và chỉ khi tổn tại duy nhất bộ ba số (a, Ị3,ỵ) sao cho :

a , p , Ỵ > Ó

aMA + pM B + ỵ MC — 0.

Giải Chứng minh ñiều kiện cần.

Giả sử M nằm trong tam giác ABC.

Theo VD 14, § ỉ, ta có : SaMA + SfyMB + StJ4C = õ.

Gọi s ỉà diện tích tam giác ABC.

Tính duy nhất của bộ ba số {a, p , y) ñã ñược chứng minh.

Giả sử M thoả mãn ñiều kiộn (*)

Lấy A\ thoầ mãn ñiều kiện p A 'B + ỵ A ‘c - õ ( ỉ )

Vì J5 >ừyỵ > 0 nên A' thuộc ñoạn BC (2)

Từ ựó, ựo a > 0 ; p + Ỵ > 0, nên M thuộc ựoạn 'ẠA' (3).

Từ (2) và (3) suy ra M nằm trong tam giác ABC □

Nhận xét đôi khi kết quả trên ựược phát biểủ ựơn giản hơn :

M nằm trong tam giác ABC o 3 ứr, p, Ỵ > 0 : aMA + ỊỈMB + ỵMC = 0.

Vắ dụ 9 Cho tam giác ABC và ựiểrn M nằm trong tam giác AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A \ Ẹ, c \ Chứng minh rằng A/là trọng, tâm tam giác

ABC khi và chỉ khi M là trọng tâm tam giác A'B'C\

Giải (h.1.31) Vì M nằm irong tam giác ABC nên tềa^tại các số a, p, y khác

không sao cho :

Xét phép chiếu vectơ ChỔCA 4', ta có :

0 \ b c AA\ạMẴ + p MB + yMC) = ChBCA4Ỗ(0)

c / Xj\ i KÁ

\ \ b '

z \ \

B t ì A'

Hình ỉ 3 2

Ví dụ 10 Cho tam giác ABC và ñiểm M thay ñổi trong tam giác H, ỉ, ÍT theo

tứ tự là hình chiếu của M trên các ñường, thẳng BC, CA, AB Tìm quỹ tích trọng tâm G của tạm giác HIK.

Giải, (h.1.32) Gọi AA', BB, c c là, các ñường cao

của tam giác ABC Lấy các ñiểm X, Y, z sao cho:

2XA + XA' = 2ỸB + ỸB' = 2ZC + ZC' = 0.(1)

Thuận Giả sử G thoả mãn ñiều kiện ñề bài Vì M

nằm trong tam giác ABC nên tồn tại các số

a(HX + XÁ') + p e r n + ỸB) + yỢ ỈỈ + ZC ) - 5

a (p í+ m + p ỹ ỉ + ỸÌỈ^ + y ( ã + Z£) = ồ '

cc (KX + XA) + Ạ Ã T + ỸB) + y(KZ + ZC) = õ

Cộng vế vớỉ vế của bâ ñẳng thức trên và chú ý tởi (1), ta có :

a(HX + DC + / 5 ) + P ĨH Ĩ + ĨY + KY) + / ( 7 5 + /z + £Z) = õ

Từ ñộ, với chú ý rằng GH + Gỉ + GK = 0, theo công thức thu gọn, suy ra :

Từ (2), chú ỷ rang a, /3, ỵ > ỏ , tìieò nhận xét sau VD 8, G nằm t^ong tam

giác xyz.

ðảỡ Giị sử G nằm trong tam giác Jơz Theo nhận xét sau VD 8, tổn tại các

số a, /?, ỵ > 0 sao cho: aGX-+ pGY + ỵG Z ■= 0.

Vì a, fĩ, y > 0 nên a +/S +ỵ 5* O.-.Do ñó, thẹo VD 19, §1-, tồn tại ñiểm M sao cho: aM A + /3MB + ỵMC = õ