Sổ tay toán 11 FULL

Công thức nghiệm đặc biệt đối với 1 hàm số lượng giác Phương trình lượng dạng đa thức Phương trình lượng giác đơn giản 4 phương trình lượng giác cơ bản 15.. Phương trình đa thức đối với

LỚP TOÁN THẦY NGÔ LONG – QUẢNG OAI

Học phí lớp đông: 200k/tháng(8 buổi) Ưu tiên Ngô Quyền, Sơn Tây 160k

Học thử 1 tháng, chỉ nộp học phí khi học sinh hài lòng và tiếp tục theo học

Nếu bạn không thích lớp đông, bạn có thể đăng kí học lớp nhỏ 20hs, học phí 400k/tháng

Tác giả Lê Hồng Quốc tặng thầy Ngô Long

Phần 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Hàm số y sinx

● Tập xác định D , có nghĩa xác định với mọi x ;

● Tập giá trị T 1;1 , có nghĩa 1 sinx 1;

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa sin x k2 sinx với k ;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

2 k 2 k và nghịch biến trên mỗi khoảng 3

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

2 Hàm số y cosx

● Tập xác định D , có nghĩa xác định với mọi x ;

● Tập giá trị T 1;1 , có nghĩa 1 cosx 1;

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cos x k2 cosx với k ;

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11

Tac HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; 2k và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 ;k k2 ,

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan x k tanx với k ;

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

4 Hàm số y cotx

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan x k tanx với k ;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k , k ;

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

5 Hàm số chẵn, lẻ: Cho hàm số y f x có tập xác định là D Với mọi x và x thuộc D Nếu

● f x f x thì hàm số y f x là hàm số chẵn

● f x f x thì hàm số y f x là hàm số lẻ

● f x f x và f x f x thì hàm số y f x là hàm số không chẵn, không lẻ

Phần 2 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Bảng giá trị lượng giác

0

23

34

3

2

22

1

12

22

2 Cung liên kết: COS đối, SIN bù, PHỤ chéo, TAN – COT hơn kém

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau Góc hơn kém Góc hơn kém

2

cos

a a

4 Công thức cộng

 cos a b cos cosa b sin sina b  cos a b cos cosa b sin sina b

 sin a b sin cosa b sin cosb a  sin a b sin cosa b sin cosb a

5 Công thức nhân đôi

 tan 2 2 tan2

1 tan

a a

 tan2 1 cos2

1 cos2

a a

2 2

1cos

1

t a

2tan

1

t a

2

1cot

2

t a

13 Công thức nghiệm đặc biệt

đối với 1 hàm số lượng giác Phương trình lượng dạng đa thức Phương trình lượng giác đơn giản

4 phương trình lượng giác cơ bản

15 Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác

 Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng chỉ chứa một hàm số lượng giác

phương trình cơ bản

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

 asin2 x bsinx c 0, a 0 PP Đa ̣t t sinx, điều kiê ̣n 1 t 1

 acos2x bcosx c 0, a 0 PP Đa ̣t t cosx, điều kiê ̣n 1 t 1

 atan2 x btanx c 0, a 0 PP Đa ̣t t tanx, điều kiê ̣n cosx 0

 acot2x bcotx c 0, a 0 PP Đa ̣t t cotx, điều kiê ̣n sinx 0

16 Phương trình bậc nhất theo sin và cos

 Dạng: sin a x bcosx c a b c, , và a2 b2 0

Phương pháp giải:

 Bước 1: Kiểm tra

+) Nếu a2 b2 c2 phương trình vô nghiệm

+) Nếu a2 b2 c2 khi đó phương trình có nghiệm, ta thực hiện tiếp bước 2

 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình * cho a2 b2, ta được:

 asinu bcosu a2 b2sinv

 asinu bcosu a2 b2cosv

 sina u bcosu a sinv b cosv với a2 b2 a 2 b2

17 Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai

 Dạng: a.sin2x b.sin cosx x c.cos2x d 1 a b c d, , ,

Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Bước 1: Kiểm tra cos x 0có là nghiệm hay không, nếu có thì nhận nghiệm này

+) Bước 2: Nếu cos x 0thì chia cả hai vế cho cos x2 đưa về phương trình bậc hai theo tan x:

Đưa phương trình đã cho về phương trình: sin 2b x c a cos 2x d c a

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

18 Phương trình lượng giác đối xứng

rồi giải phương trình bậc 2 ẩn t

rồi giải phương trình bậc 2 ẩn t

Phần 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I QUI TẮC CỘNG:

1 Định nghĩa

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B Nếu phương án

A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong

phương án A thì công việc đó có m n cách thực hiện

Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động A A A1, 2, 3, , A Nếu hành k

Nếu các tập A A1, 2, ,A đôi một rời nhau Khi đó: n A1 A2 A n A1 A2 A n

II QUY TẮC NHÂN

2 Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập A A1, 2, ,A đôi một rời nhau Khi đó: n A1 A2 A n A A1 2 A n

Số các hoán vị lặp cấp n kiểu n n1, 2, ,n k của k phần tử là:

2

1 2 1

n

4 Hoán vị vòng quanh (Thường gặp trong bài toán xếp người trên bàn tròn)

Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Q n n– 1 !

1 Chỉnh hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A 1 k n theo một thứ tự nào

đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A

!

k n

Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại

nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần

1 n k 1 n k

2 Tổ hợp lặp

Cho tập A a a1; ; ;2 a n và số tự nhiên k bất kì Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp

gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A

+) Không thứ tự, không hoàn lại: C n k

+) Có thứ tự, không hoàn lại: A n k

+) Có thứ tự, có hoàn lại: k

n

A

Phần 2 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP

I Phương pháp giải bài toán đếm

Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau:

Phương án 1: Đếm trực tiếp

 Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm

 Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó

 Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên

Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)

Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán:

 Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án

 Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án Khi đó

số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a b

Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

Khi lập một số tự nhiên x a a1 n ta cần lưu ý: a i 0,1,2, ,9 và a1 0

Một số dấu hiệu chia hết:

 x chia hết cho 2 a là số chẵn Khi giải bài toán tìm số chữ số chẵn nếu bài toán chứa chữ số 0 n

thì ta nên chia 2 trường hợp: a n 0, a n 0

 x là số lẻ a là số lẻ n

 x chia hết cho 3 a1 a2 a chia hết cho 3 n

 x chia hết cho 4 a a n 1 n chia hết cho 4

 x chia hết cho 5 a n 0,5

 x chia hết cho 6 x là số chẵn và chia hết cho 3

 x chia hết cho 8 a a a n 2 n 1 n chia hết cho 8

 x chia hết cho 9 a1 a2 a chia hết cho 9 n

 x chia hết cho 11 tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11

 x chia hết cho 25 hai chữ số tận cùng là 00,25,50,75

Các kết quả thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến hình học

 Cho n điểm trong không gian, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng

 Số đường thẳng đi qua 2 điểm: 2 1

2

n

n n

 Số vêctơ nối hai điểm bất kì: n2

 Số vêctơ khác 0 nối hai điểm bất kì: A n2 n n 1

 Cho đa giác lồi n đỉnh:

2

n

n n

 Số đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh của đa giác: n 3

 Nếu không có 3 đường chéo nào đồng qui thì số giao điểm giữa các đường chéo

 Số tam giác vuông :

+) Khi n chẵn: số tam giác vuông là 2

 Số tam giác nhọn số tam giác (số tam giác vuông số tam giác tù)

+) Khi n chẵn: số tam giác nhọn là 3 2 2 2

 Cho đa giác đều 2n đỉnh n 2 :

 Số đường chéo xuyên qua tâm số hình chữ nhật: 2 1

2

n

n n

 Số tam giác vuông: 2n 2 C n2

Một số kết quả hay gặp về tam giác

1 Công thức khai triển nhị thức Newton:

Với mọi số thực a b, và mọi n ta có

a) Số các số hạng của khai triển bằng n 1

b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0 , số mũ của b tăng dần từ 0 đến n Tổng các

số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

c) Số hạng tổng quát thứ k 1 có dạng: T k 1 C a n k n k k b , k 0, 1, 2, , n

NHỊ THỨC NEWTON

d) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: C n k C n n k

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật:

- Đỉnh được ghi số 1 Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1

- Nếu biết hàng thứ n n 1 thì hàng thứ n 1 tiếp thêo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng

- Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n 1 số 0, 1, 2, , n 1, n

n n n n n

Phần 2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN

1 Tìm hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển ax p bx q n

Phương pháp: Cho khai triển:

Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển không chứa x m, hệ số phải tìm bằng 0

Lưu ý: Tìm số hạng không chứa x thì ta đi tìm giá trị k thỏa np pk qk 0

2 Tìm hệ số của số hạng trong khai triển P x ax t bx p cx q n (Nâng cao)

Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển P x ax t bx p cx q n

Bước 2: Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx p cx q k thành một đa thức theo luỹ thừa của x

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m

3 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton (Nâng cao)

 Bước 1: Tính hệ số a theo k và k n Giả sử sau khi khai triển ta được đa thức

 Bước 3: Giải hệ bất phương trình với ẩn số k

 Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên lớn nhất thoả mãn bất phương trình

Đến đây thay x a, bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm

Lưu ý: Có nhiều bài toán chúng ta phải nhân x vào 2 vế có thể trước hoặc sau đạo hàm để có hệ số phù hợp về đề toán

MỘT SỐ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT SỬ DỤNG NHỊ THỨC NEWTON

1 Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có

1

n i n i

i i k C thì ta nhân hai vế với x k, rồi lấy đạo hàm

a C thì ta chọn giá trị của x a thích hợp

 Trong biểu thức có

1

11

n

i n i

C

i thì ta lấy tích phân xác định trên ;a b thích hợp

 Nếu bài toán cho khai triển

• Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử

• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A Suy ra A

• Biến cố không:

• Biến cố chắc chắn:

• Biến cố đối của A: A \A

• Hợp hai biến cố: A B

• Giao hai biến cố: A B (hoặc A B )

• Hai biến cố xung khắc: A B

• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia

• P A 1 P A ( ,A A là hai biến cố đối nhau)

• Qui tắc nhân: Nếu A B, độc lập thì P A B P A P B

XÁC SUẤT

I Dãy số

1 Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n 1

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n k tuỳ ý k 1 , chứng minh rằng mệnh

đề đúng với n k 1

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A n là đúng với với mọi số nguyên dương n p thì:

+) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p ;

+) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n k 1

2 Dãy số

:

u

n u n Dạng khai triển: u n u u1, 2, ,u n,

3 Dãy số tăng, dãy số giảm (Cách chứng minh một dãy tăng hoặc giảm)

 u n là dãy số tăng u n 1 u với n n

3 Tính chất các số hạng: 1 1

2

k k k

n ; limn k với k nguyên dương

 lim c c; limq n 0 nếu q 1; limq n nếu q 1

2 Giới hạn hữu hạn:

a (Định lý giới hạn kẹp)

Cho dãy số u n , v n và w n có : v n u n w n n và lim v n lim w n a lim u n a

b Nếu limu n a; limv n b thì: lim u n v n a b; lim u v n n a b ; lim n 0

n

b

c Nếu u n 0; limu n a thì lim u n a

d Nếu limu n a; limv n thì lim n 0

n

u

3 Giới hạn vô cực:

a Quy tắc 1 Nếu limu n ; limv n thì:

limu n limv n lim u v n n

b Quy tắc 2 Nếu limu n ; limv n L 0 thì:

limu n Dấu của L lim u v n. n

c Quy tắc 3 Nếu limu n L 0; limv n 0 thì:

n

u v

GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

0 (dấu )

0 (dấu )

0 (dấu )

0 (dấu )

4 Cấp số nhân lùi vô hạn:

 Cấp số nhân lùi vô hạn: là cấp số nhân có công bội q thõa mãn q 1

 Nếu degP degQ k (deg là bậc của đa thức), hệ số cao nhất của P là a , hệ số cao nhất của 0

0

b

 Nếu degP degQ k, thì chia tử và mẫu cho n để đi đến kết quả: lim k u n 0

 Nếu k degP degQ, chia tử và mẫu cho n k để đi đến kết quả: lim u n

 Dạng 2 Giới hạn của dãy số dạng: u n f n

g n , f và g là các biển thức chứa căn

 Chia tử và mẫu cho n k với k chọn thích hợp

 Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp

x x f x L x x f x x x f x L (Chứng minh hàm số tồn tại giời hạn)

Dấu của L limx x0g x

 Nếu f x , g x là các hàm đa thức thì có thể chia tử số, mẫu số cho x a hoặc x a 2

 Nếu f x , g x là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp

 Dạng 2 Giới hạn của hàm số dạng: lim

x

f x

g x

 Chia tử và mẫu cho x k với k chọn thích hợp Chú ý rằng nếu x thì coi như x 0, nếu

x thì coi như x 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn

 Dạng 3 Giới hạn của hàm số dạng: lim 0.

 Hàm số y f x liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

 Hàm số y f x liên tục trên ;a b nếu nó liên tục trên ;a b và

limlim

 Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định

 Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục tại x thì cũng liên tục tại 0 x 0

 Nếu hàm số y f x và y g x liên tục tại x và 0 g x0 0 thì hàm số y f x

 Dạng 2 Xét tính liên tục của hàm số dạng:

0 0 0

khi khi khi

0

 Dạng 3 Chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm trong khoảng ;a b

 Chứng tỏ f x liên tục trên đoạn ;a b

 Chứng tỏ f a f b 0 Khi đó f x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ;a b

Lưu ý: Nếu chưa có ; a b thì ta cần tính các giá trị f x để tìm a và b Muốn chứng minh f x 0

có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f x 0 đều có nghiệm

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ;a b và x0 a b; , đạo hàm của hàm số tại điểm x là: 0

0

0 0

 Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó 0

2 Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y f x có đồ thị C

 f x0 là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị C của hàm số y f x tại M x y0 0; 0 C

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M x y0 0, 0 C là:

 Cường độ tức thời của điện lượng Q Q t tại thời điểm t là: 0 I t0 Q t0

3 Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

 Dạng 1 Tìm đạo hàm theo định nghĩa

Phương pháp: Để tìm đạo hàm thêo định nghĩa ta có 2 cách sau :

Cách 1: Theo quy tắc

Bước 1 : Cho x một số gia x và tìm số gia y tìm y f x x f x Lập tỉ số y

x Bước 2 : Tìm giới hạn

Chú ý: Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm, đặc biệt là

đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác

 Dạng 1 Phương trình tiếp tuyến của đường cong C :y f x tại tiếp điểm M x y0; 0 có dạng:

:

Trong đó:  f x0 là hệ số góc của tiếp tuyến

 x là hoành độ của tiếp điểm 0

 y là tung độ của tiếp điểm 0

Áp dụng trong các trường hợp sau:

1 Viết phương trình tiếp tuyến d của

C tại điểm M x y0; 0 Hệ số góc: f x0

2 Viết phương trình tiếp tuyến d của

C tại điểm có hoành độ x x 0

Hệ số góc: f x0

Tung đo ̣ tiếp điểm y0 f x0 Từ 0 0

0

f x x

f x

3 Viết phương trình tiếp tuyến d của

C tại điểm có tung độ y y 0

Hoành độ tiếp điểm x 0

Hệ số góc: f x0

Giải phương trình

4 Viết phương trình tiếp tuyến d của C

, biết hệ số góc k của tiếp tuyến d

Hoành độ tiếp điểm x 0

Tung độ tiếp điểm y0 f x0

Giải phương trình

0

Chú ý: Gọi k là hệ số góc của đường thẳng 1 d và 1 k là hệ số góc của đường thẳng 2 d 2

 Nếu d song song với 1 d thì 2 k1 k 2

 Nếu d vuông góc với 1 d thì 2 k k1 2 1

 Dạng 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong C đi qua điểm A x y A; A

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng tiếp tuyến tại

Bước 1: Gọi tiếp điểm là M x y0; 0

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M là: y f x0 x x0 y0

Bước 3: Vì tiếp tuyến đi qua điểm A nên ta có phương trình y A f x0 x A x0 y0

Giải phương trình trên, tìm các nghiệm x , sau đó thay các nghiệm 0 x tìm được vào 0 ta tìm được các phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc k

:

Bước 2: Tìm điều kiện để d là tiếp tuyến của đường cong C :