Xử lý tín hiệu ECG bằng Wavelet phần 5

Xử lý tín hiệu ECG bằng Wavelet

2.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ TÍN HIỆU TRƯỚC ĐÂY:

Xử lý tín hiệu :

- Trong miền thời gian: dùng bộ lọc

- Trong miền tần số: phương pháp Fourier Transform

- Trong miền thời gian và tần số: STFT( Short Time Fourier Transform)

2.4.1 Phương pháp Fourier:

2.4.1.1 Biến đổi Fourier:

Cho một hàm f(t) khả tích tuyệt đối, biến đổi Fourier của nó được định nghĩa:

F ω = ∞∫ j ω t = i ω t,

∞

−

Biến đổi Fourier ngược là:

∞

−

π F e ω d t

2

1

(2.15)

Giả sử rằng biến đổi Fourier và Fourier ngược của nó tồn tại, ta kí hiệu :

( )t F( )ω

f = là một cặp biến đổi Fourier

ü Biến đổi liên tục:

>

=<

⋅

=

⋅

=

∫

∫

∞

∞

−

−

∞

∞

−

t j t

j

t j

e t x d

e t x j

X

d e j X t

x

ω ω

ω

ω ω

ω ω

π

), ( )

( ) (

) ( 2

1 ) (

(2.16)

ü Rời rạc:

n j n

j

n j j

e n x e

X

e e X n

x

ω ω

π

ω ω

π

−

∞

−∞

=

∑

∫

⋅

=

⋅

=

] [ )

(

) ( 2

1 ] [

2

(2.17) www.bme.vn

2.4.1.2 Tính chất:

Dịch :Nếu trong miền thời gian nếu f(t) bị dịch đi một đoạn là t 0 thì trong miền tần

số biến đổi Fourier của nó được nhân với một hệ số pha:

0

t j

e t t

f − ↔ − ω Ngược lại, nếu trong miền tần số sẽ nhân một hệ số pha trong miền thời gian:

) (

ω f t ↔ F −

e j t

Tỷ lệ :Một tỷ lệ trong miền thời gian sẽ sinh ra một tỷ lệ nghịch trong miền tần số:











↔

a

F a at

Moment : Gọi mn là moment thứ n của F(t):

( )

∫

∞

∞

−

= t f t dt

m n n , n = 1,2 …

2.4.1.3 Chuỗi Fourier:

Cho hàm tuần hoàn F(t) với chu kỳ T:

F(t+T) = F(t)

Nó có thể được biểu diễn là một tổ hợp tuyến tính của các số mũ phức với tần số

n ω 0 , trong đó ω 0 = 2 π/T Khai triển chuỗi Fourier của F(t)

( ) ∑∞ ( )

−∞

=

=

k

t jk

e k F t

với ( ) ∫ ( )

−

−

2

0

1

T

T

t jk

dt e t f T k

• Phân tích liên tục:

>

<

=

⋅

=

⋅

=

=

=

∫

∫

∑

∑

−

−

∞

−∞

=

∞

−∞

=

t jk

T

t T jk

T

t jk k

k

t T jk k k

t jk k

e t x T

dt e

t x T dt e t x T a

e a e

a t

x

0 0 0

), ( 1

) (

1 )

( 1

) (

2 2

ω

π ω

π ω

(2.19)

• Phân tích rời rạc:

>

<

=

⋅

=

⋅

=

=

=

−

>

=<

−

>

=<

−

>

=<

>

=<

∑

∑

∑

∑

n jk

N n

n N jk

N n

n jk k

N k

n N jk k N

k

n jk k

e n x N

e n x N e

n x N a

e a e

a n

x

0 0 0

], [ 1

] [

1 ]

[ 1

] [

2 2

ω

π ω

π ω

(2.20)

Nhược điểm :

Khi biến đổi sang miền tần số thông tin thời gian bị mất Nếu thuộc tính tín hiệu không thay đổi nhiều theo thời gian thì nhược điểm là không đáng kể Tuy nhiều tín hiệu

có chứa các thông số động: trôi, nghiêng, biến đổi đột ngột, khởi đầu và kết thúc của sự kiện thì Fourier không phát hiện được

2.4.2 Phương pháp STFT:

Để đạt được một biến đổi Fourier cục bộ, chúng ta có thể định nghĩa một biến đổi Fourier cửa sổ Tín hiệu đầu vào được nhân với một hàm cửa sổ W (t - τ) và sau đó lấy biến đổi Fourier của nó Kết quả là một biến đổi hai chỉ số STFTf( ω,τ) được cho bởi:

=

t

t j

) (t−τ

W : hàm cửa sổ dùng để phân tích (tập trung tại t=τ)

t j

e− ω : hàm cơ bản (trọng số của FT) Khi đó ta thể biểu diễn dưới dạng tích trong:

( ) g ( ) ( )t f t STFT f ω,τ = ω,τ với ( ) ( ) j t

e t t

Mỗi hàm thành phần trong khai triển có cùng độ phân giải thời gian và tần số, một cách đơn giản là một sự định vị khác nhau ở miền thời gian – tần số

f(t) có thể được khôi phục lại trong L 2 (R) bằng tích phân kép

∞

−

∞

∞

−

π STFT g ω τ t d d t

2

1

(2.23)

STFT cũng có tính chất bảo toàn năng lượng:

∞

−

∞

∞

−

t

2

1

(2.24)

Cung cấp phân bố năng lượng cả t1in hiệu trong mặt phẳng thời gian tần số

2 0

2 ) ( )

(

) ( ) (

) , ( )

, (

=

=

=

t

ft j

x x

S

dt e t t t x

f t STFT f

t SPEC P

π

γ γ

Phân tích rời rạc :

STFT nT kF x t t nT e j kFt dt

t x

π

(

) ( ) ( ) ,

n k

kFt j

x nT kF g t nT e STFT

t

Cửa sổ hẹp, phân giải thời gian tốt Cửa sổ rộng phân giải tần số tốt

Nhược điểm:

Độ chính xác giới hạn phụ thuộc vào kích thước hàm cửa sổ Chọn kích thước cụ thể cho cửa sổ thời gian, bằng nhau cho mọi tần số Đối với một số tín hiệu cần sự mềm dẻo hơn thì STFT không đáp ứng được

2.5 BIẾN ĐỔI WAVELET:

2.5.1 Phân tích đa phân giải:

Phân tích tín hiệu ra các thành phần dựa trên dãy xấp xỉ Một tín hiệu sẽ được xấp

xỉ thô cộng với các chi tiết Trong đó không gian con thô và không gian con chi tiết là trực giao với nhau Nói cách khác, tín hiệu chi tiết là hiệu của phiên bản thô và phiên bản tinh của tín hiệu Bằng cách áp dụng một cách đệ quy các dãy xấp xỉ, chúng ta sẽ thấy

không gian các tín hiệu đầu vào L 2 (R) có thể được sinh ra bởi các không gian của dãy xấp

xỉ tại tất cả các độ phân giải Khi độ phân giải chi tiết tiến đến vô cùng thì sai số xấp xỉ

tiến đến 0

Độ phân giải được đưa ra bởi Mallat và Meyer, nó không chỉ là cơ sở cho Wavelet

mà còn là công cụ toán học rất mạnh để liên kết Wavelet và phân tích băng con tín hiệu

Định nghĩa : Một phân tích đa phân tích đa phân giải bao gồm một chuỗi của khối các không gian con đóng

V2 ⊂V1 ⊂V o ⊂V−1 ⊂V−2

Sao cho :

- Đầy đủ hợp : U−

∈

=

Z m

V 2( )

- Đầy đủ giao : I { }

Z m m

V

∈

= 0

V t

f( )∈ ⇔ (2 )∈

- Bất biến dịch : f(t)∈V o ⇒ f(t−n)∈V o,∀n∈Z

- Tồn tại ϕ∞∈V o sao cho {ϕ(t−n)n∈z} là một cơ sở trực chuẩn Vo

2.5.2 Chuỗi wavelet:

Một hàm f ∈ L 2 (R) có thể được biểu diễn:

Công thức phân tích ( ) ∑ ( ) ( )

∈

=

Z n m

n

m t n m F t

f

,

,

Công thức tổng hợp ( ) ( ) ( ) ∫∞ ( ) ( )

∞

−

=

n m

• Tính chất:

- Tuyến tính:

Giả sử rằng toán tử T được định nghĩa:

( ) { } ( )f t F m n ( ) ( )t f t

T = , = ψ m,n ,

Với a, b ∈ R thì:

[af t bg t ] aT[ ]f( )t bT[ ]g( )t

- Dịch :

Nếu một tín hiệu có một khai triển tỷ lệ hữu hạn

=

Z n M

m

n

m t n m F t

f

2

,

, ψ

Thì tín hiệu này sẽ có tính dịch yếu tương ứng được dịch đi 2M2k, đó là :

(t k) (F m n k)

f −2M2 ↔ , −2M2−m

với - ∞ ≤ m ≤ M 2

- Tỷ lệ:

Nếu tín hiệu f(t) có hệ số biến đổi Wavelet là F(m,n) thì:

f( )2−k t ↔2k2F(m−k,n),k∈Z

- Đẳng thức Pareval

Họ Wavelet trực chuẩn { }( )

, t

n m

ψ thỏa mãn

,

2 , t f

Z n

=

∑

∈

ψ f ∈ L 2 (R)

Bảo toàn năng lượng

- Lấy mẫu đôi và Tiling thời gian - tần số:

Quá trình lấy mẫu ở miền thời gian, tại tỷ lệ m, được thực hiện với chu kỳ 2 m, lúc

đó ψ m,n (t) = ψ m,0 (t –2 mn )

Ở dạng tỷ lệ, số mũ của 2 thường được đề cập Khi tần số là đảo của tỷ lệ thì ta thấy

nếu Wavelet tập trung quanh ω 0 thì Ψ m,n (ω) tập trung quanh m

2

0

ω

Điều này sinh ra một quá trình lấy mẫu đôi của miền thời gian - tần số

Lấy mẫu đôi của miền thời gian Tiling của miền thời gian tần số

tần số của khai triển chuỗi Wavelet

Hình 2.10: Lấy mẫu đôi và tiling thời gian

Shift n

Scale m

m = 2

m = 1

m = 0

m = -2

m = -2

t f

2.5.3 Các tính chất của hàm tỷ lệ:

2.5.3.1 Phương trình hai tỷ lệ:

Hàm tỷ lệ có thể được xây dựng từ chính nó

Phương trình hai tỷ lệ:

n

n t n g

Tương tự đối với Wavelet ψ( )t ∈W0 ⊂V1 thì:

n

n t n g

2.5.3.2 Tính chất moment:

Bộ lọc thông thấp g 0 (n) trong phần dãi lọc, nó có ít nhất một zero tại ω = π, và vì vậy g 1 (n) có ít nhất một zero tại ω = 0 Khi Φ(ω) = 1, thì nó kéo theo ψ(ω) có ít nhất một zero tại ω = 0, do đó:

( ) =Ψ( )0 =0

∫

∞

∞

−

dt t ψ

Một cách tổng quát: ∞∫ ( ) =0

∞

−

dt t

t n ψ n = 0, …, N –1

Điều đó có nghĩa N moment đầu tiên của Wavelet là zero

2.5.4 Biến đổi wavelet :

Một đặc điểm nỗi bậc của khai triển Wavelet là dựa trên nền tảng cấu trúc đa phân

giải để đưa ra một giải thuật rời rạc thời gian hiệu quả, bằng cách thực hiện một dãi lọc,

giải thuật này được đưa ra bởi Mallat và được gọi là giải thuật Mallat

2.5.4.1.Biến đổi wavelet liên tục:

§ Wavelet mẹ: , ( ) 1 ( )

a

b t a

t

b

−

a: thông số dịch chuyển b: thông số tỉ lệ

a, b ∈ R (a ≠ 0) và chuẩn ψ ,b( )t = ψ( )t

a

1 :yếu tố bình thường hóa đảm bảo cho các wavelet có cùng mức năng lượng

§ Khai triển:

Cho trước hàm wavelet mẹ ψ (t)có giá trị thực, một hàm bất kì

) ( ) (t L2 R

- Công thức phân tích: ( ) [ , ] , ( )

,

t n m F t

Z n m

ψ

∑

∈

- Công thức tổng hợp:F[m,n] m,n(t),f(t) ∫∞ m,n(t)f(t)dt

∞

−

=

(2.34) ]

, [m n

F được gọi là các hệ số khai triển chuỗi wavelet

2.5.4.2 Biến đổi rời rạc:

§ Chọn các giá trị cố định: 0

m

a

0a m

nb

b= ,

2 , 1 , 0 ,n= ± ±

m

dt nb t a t x a

dt t t x n m

Wx( , )= ∫ ( ) m,n( ) = 0m/2+∞∫ ( ) ( 0m − 0)

∞

−

−

− +∞

∞

−

ψ

Sử dụng phân tích đa phân giải x(t) được phân tách thành nhiều mức khác nhau:

x(t)= ∑

=

K

j 1 ∑∞

−∞

=

k

di(k)ψj,k(t)+ ∑∞

−∞

=

k

ψj,k(t): wavelet rời rạc dung phân tích

φK,k(t) là hàm tỉ lệ rời rạc dj(k): tín hiệu chi tiết (hệ số wavelet) tại mức 2j

aK(k) tín hiệu xấp xỉ ( hệ số tỉ lệ) tại mức 2K

§ Cơ sở wavelet rời rạc gồm hai hàm cơ bản:

-Trường hợp cơ sở trực chuẩn:

Cơ sở phân tích tín hiệu trùng với cơ sở tổng hợp tín hiệu

Cơ sở gồm hai hàm cơ bản: φ0[n] và φ1[n]

- Trường hợp trường hợp cặp cơ sở trực giao:

Cơ sở phân tích tín hiệu khác với cơ sở tổng hợp tín hiệu

Cơ sở phân tích gồm hai hàm cơ bản: φ0[n] và φ1[n]

Cơ sở tổng hợp gồm hai hàm cơ bản: φ0~[n] và φ1~[n]

§ Dãy bộ lọc hai kênh:

Hai hàm cơ sở của wavelet rời rạc chính là những hệ số của hai bộ lọc thông thấp và thông cao

h[n]= ( ), (2 )

2

1

n t

t φ −

g[n]= ( ), (2 ) ( 1) (1 )

2

1

n h n

t

2.5.5 Biến đổi chuỗi wavelet của tín hiệu :

Wavelet có ba hàm cơ sở Hiện nay người ta quan tâm nhiều đến nghiên cứu hai loại là wavelet trực chuẩn (như wavelet Haar, wavelet Daubechies…)và wavelet cặp trực giao ( wavelet B-spline)

Biến đổi chuỗi wavelet gồm hai qua trình: khai triển tín hiệu thành những chuỗi wavelet và tổng hợp chúng thành tí hiệu ban đầu Biến đổi chuỗi wavelet thực hiện bằng

cơ sở trực chuẩn hay cặp trực giao đều có sơ đồ chung chỉ khác ở hàm cơ sở tổng hợp tín hiệu

Thực hiện dựa trên biến đổi wavelet rời rạc do phân tích rời rạc đảm bảo mã hóa tiế kiệm không gian và là vừa đủ cho sự tái tạo chính xác

Tín hiệu vào x[n] được phân tích bởi dãy bộ lọc băng hai kênh thành hai dãy hệ số

co kí hiệu là cD và cA Dãy hệ số của nhánh lọc thông thấp cA, lại tiếp tục được phân tích

bởi cùng một dãy bộ lọc hai kênh, và sự phân tích lại tiếp tục trên nhánh thông thấp Mỗi lần khai triển sẽ tạo ra hai dãy hệ số wavelet :

- Bộ lọc thông cao tạo ra những hệ số chi tiết

- Bộ lọc thông thấp tạo ra các hệ số xấp xỉ

Sơ đồ rút gọn của phân tích các tầng:

Hình 2.1: : Sơ đồ phân tích DWT

Sơ đồ tái tạo các tầng:

Hình 2.12: Sơ đồ tổng hợp DWT

www.bme.vn