Câu4 3,0 điểm: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O;R có cạnh BC cố định còn điểm A thay đổi trên đường tròn O.. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ VÀO TRƯỜNG THPT
TP THANH HÓA Năm học : 2013 – 2014
TRƯỜNG THCS ĐÔNG LĨNH Môn thi : Toán
(Thời gian làm bài : 120 phút)
ĐỀ BÀI : ( ĐỀ A )
Câu1 (2 điểm): Cho biểu thức: A= 2√x − 9
x −5√x+6 −
√x +3
√x −2 −
2√x+1
3 −√x
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm x để biểu thức A > 0
Câu2 (2 điểm):
Cho phương trình: x2 -3x + m = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Giải phương trình với m = -10
b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn
2 1 23 11
3
1 x x x
Câu 3 (2 điểm): 1, Giải hệ phương trình sau :
2x + y = 1 3x + 4y = -1
2, Cho hàm số:
2
1 2
có đồ thị là parabol (P) Xác định hàm số y = ax + b , biết rằng đồ thị (d) của nó song song với đường thẳng (d')
có phương trình y = 2x – 1 và (d) tiếp xúc với (P)
Câu4 (3,0 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm (O;R) có cạnh BC cố định còn điểm A thay đổi trên đường tròn (O) Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp được đường tròn
b) Kéo dài AO cắt đường tròn tại F Chứng minh BF//CE và FAC=BCE
c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên đường tròn (O) thì độ dài đoạn AH không đổi
Câu 5 (1,0 điểm): Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 3 x+2 y +6
x+
8
y
Trang 2ĐÁP ÁN CHẤM THI ĐỀ A
Câu1
2 điểm
a) ĐK x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9
A= 2√x − 9−(√x +3)(√x −3)+(2√x +1)(√x − 2)
x −√x − 2
(√x −2)(√x − 3)=
(√x+1)(√x − 2)
(√x −2)(√x −3)=
√x+1
√x −3.
b, A >0 ⇔ √x +1
√x −3>0⇔√x −3>0 ⇔√x >3 ⇔ x>9
Kết hợp với ĐKXĐ ta có : A >0 ⇔ x >9
1đ
1,0 đ
Câu 2:
2 điểm
a)Với m=-10 ta có phương trình: x2-3x-10=0
Δ = (-3)2-4.1.(-10) = 49, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=5; x2= - 2
b)Ta có Δ =9-4m
Phương trình có hai nghiệm x1; x2 khi Δ 0⇔9 − 4 m ≥ 0⇔ m≤9
4 Khi đó theo hệ thức Viet ta có:
x1+ x2=3
x1. x2 = m
Do đó 2 1 23 11
3
1 x x x
x ⇔ x1x2(x12+x22)= -11 ⇔
x1 +x2 ¿2− 2 x1x2
¿ = ¿
x1x2¿
-11 ⇔ m (9-2m)= -11
⇔ 2m2-9m-11=0 ⇔ m1= -1 ; m2= 112
Ta thấy m= 112 không thỏa mãn đk, còn m=-1 thỏa mãn điều kiện
Vậy với m=-1 thì phương trình trên có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn 2 1 23 11
3
1 x x x
x
1 đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3
2 điểm
1,
2x + y = 1 8x + 4y = 4 5x = 5 x = 1 3x + 4y = -1 3x + 4y = -1 2x + y = 1 y = - 1
1đ
2, Vì đường thẳng d //d' nên a = 2
Hàm số cần xác định : y = 2x + b
Đường thẳng d tiếp xúc với parabol P nên phương trình hoành độ
giao điểm : −1
2x
2
=2 x+b có nghiệm kép hay phương trình :
x2+4 x +2 b=0 có nghiệm kép
⇒ Δ'=0 ⇒ 4 −2 b=0 ⇔2 b=4 ⇔b=2
Vậy hàm số cần xác định là : y = 2x + 2
0,5đ
0,5đ
Trang 33,0điểm
A
D E
F I
a)Ta có CE AB (gt) ⇒ HEA=900
BD AC(gt) ⇒ HDA=900
⇒ HEA+HDA =1800 ⇒ Tứ giác AEHD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 nên nội tiếp được đường tròn
b)Ta có ABF=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ FB
AB ⇒ BF//CE (cùng vuông góc với AB)
Do BF//CE ⇒ ∠ FBC= ∠ BCE (slt)
Mặt khác ∠ FBC= ∠ FAC (hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Từ đó suy ra ∠ FAC= ∠ BCE
c) Ta có tứ giác BHCF là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối
song song) Gọi I là giao điểm của BC và HF thì I là trung điểm
của BC và HF
Do I là trung điểm BC nên OI BC (quan hệ vuông góc giữa
đường kính và dây) ⇒ OI là khoảng cách từ tâm O đến dây BC
cố định nên OI không đổi
Mặt khác OI là đường trung bình của tam giác FAH nên AH=2OI
do đó khi A thay đổi trên đường tròn thì độ dài AH không đổi
Hình
1đ
0,5đ 0,5đ
1đ
Câu 5:
1,0đ Ta có : P = 3x + 2y +
+ = ( x + y) + ( x + ) + ( + )
x + y = x + y 6 = 9.
+ 2 = 6
+ 2 = 4
Suy ra P ≥ 9 + 6 + 4 = 19
0,5đ
Trang 4Dấu bằng xẩy ra khi
x + y = 6
x = 2
=
y = 4
=
Vậy min P = 19
⇔ x=2 y=4
¿ {
0,5đ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT
TP THANH HOÁ Năm học: 2013 – 2014
TRƯỜNG THCS ĐÔNG LĨNH Môn thi: Toán
(Thời gian làm bài: 120 phút)
ĐỀ BÀI : ( ĐỀ B )
Câu1 (2 điểm): Cho biểu thức: A= 2√a −9
a− 5√a+6 −
√a+3
√a− 2 −
2√a+1
3 −√a
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm a để biểu thức A < 0
Câu2 (2 điểm):
Cho phương trình: x2 -3x + k = 0 (x là ẩn, k là tham số)
c) Giải phương trình với k = - 4
d) Tìm giá trị của k để phương trình trên có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn
x13x2+x1x23 =7
Câu 3 (2 điểm): 1, Giải hệ phương trình sau :
2x + 3y = 2
1
x - y =
6
2, Cho hàm số: y=− 4 x2 có đồ thị là parabol (P)
Xác định hàm số y = mx + n , biết rằng đồ thị (d) của nó song song với đường thẳng (d')
có phương trình y = 4x + 5 và (d) tiếp xúc với (P)
Câu4 (3,0 điểm):
Cho tam giác nhọn IMN nội tiếp đường tròn tâm (O;R) có cạnh MN cố định còn điểm I thay đổi trên đường tròn (O) Các đường cao MK , NL của tam giác IMN cắt nhau tại H a)Chứng minh tứ giác ILHK nội tiếp được đường tròn
b)Kéo dài IO cắt đường tròn tại P Chứng minh MP // NL và PIN=MNL
c)Chứng minh rằng khi I thay đổi trên đường tròn (O) thì độ dài đoạn IH không đổi
Câu 5 (1,0 điểm): Cho a > 0, b > 0 và a + b ≥ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = 3 a+2 b+6
a+
8
b
Trang 5ĐÁP ÁN CHẤM THI ĐỀ B
Câu1
2 điểm
a) ĐK a ≥ 0 ; a ≠ 4 ; a ≠ 9
A= 2√a − 9−(√a+3)(√a − 3)+(2√a+1)(√a− 2)
a−√a −2
(√a −2)(√a −3)=
(√a+1)(√a− 2)
(√a −2)(√a −3)=
√a+1
√a −3.
b, A < 0 ⇔ √a+1
√a −3<0⇔√a −3<0 ⇔√a<3 ⇔ 0 ≤a<9 ;a ≠ 4
Kết hợp với ĐKXĐ ta có : A <0 ⇔0 ≤ a<9; a≠ 4
1đ
1,0 đ
Câu 2:
2 điểm
a)Với k = -4 ta có phương trình: x2-3x- 4 =0
Nhận thấy a – b + c = 1 + 3 – 4 = 0 nên phương trình có hai
nghiệm phân biệt: x1=-1; x2= 4
b)Ta có Δ =9-4k
Phương trình có hai nghiệm x1; x2 khi Δ 0⇔9 − 4 k≥ 0 ⇔ k ≤9
4 Khi đó theo hệ thức Viet ta có:
x1+ x2=3
x1. x2 = k
Do đó x13x2+x1x23 =7 ⇔ x1x2(x12+x22) = 7 ⇔
x1 +x2 ¿2− 2 x1x2
¿ = ¿
x1x2¿
7 ⇔ k (9-2k)= 7
⇔ 2k2-9k +7=0 ⇔ k1= 1 ; k2= 72
Ta thấy m= 72 không thỏa mãn đk, còn k = 1 thỏa mãn điều kiện
Vậy với k = 1 thì phương trình trên có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x13x2+x1x23 =7
1 đ
0,5đ
0,5đ
1đ
Trang 6Câu 3
2 điểm
1,
1 2x + 3y = 2 4x + 6y = 4 10x = 5 x =
2
1 6x - 6y = 1
2, Vì đường thẳng d //d' nên m = 4
Hàm số cần xác định : y = 4x + n
Đường thẳng d tiếp xúc với parabol P nên phương trình hoành độ
giao điểm : − 4 x2=4 x +n có nghiệm kép hay phương trình :
4 x2+4 x+n=0 có nghiệm kép
⇒ Δ'=0 ⇒ 4 − 4 n=0 ⇔ 4 n=4 ⇔ n=1
Vậy hàm số cần xác định là : y = 4x + 1
0,5đ
0,5đ
Câu4:
3,0điểm
a)Ta có NL IM (gt) ⇒ HLI=900
MK IN(gt) ⇒ HKI=900
⇒ HLI+HKI=1800 ⇒ Tứ giác ILHK có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 nên nội tiếp được đường tròn
b)Ta có IMP=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ PM
IM ⇒ MP//NL(cùng vuông góc với IM)
Do MP//NL ⇒ ∠ PMN= ∠ MNL (slt)
Mặt khác ∠ PMN= ∠ PIN (hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Từ đó suy ra ∠ MNL= ∠ PIN
c) Ta có tứ giác MHNP là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối
song song) Gọi G là giao điểm của MN và HP thìG là trung điểm
của MN và HP
Do G là trung điểm MN nên OG MN (quan hệ vuông góc giữa
đường kính và dây) ⇒ OG là khoảng cách từ tâm O đến dây
MN cố định nên OG không đổi
Mặt khác OG là đường trung bình của tam giác PIH nên IH=2OG
Hình
1đ
0,5đ 0,5đ
1đ
Trang 7do đó khi I thay đổi trên đường tròn thì độ dài IH không đổi
Câu 5:
1,0đ
Ta có : P = 3a + 2b + 6a+ 8
b=(32a+
3
2b)+(32a+
6
a)+(b2+
8
b)
Do 32a+3
2b=
3
2( a+b) ≥
3
2 6=9
3 a
2 +
6
a ≥2√3 a
2 .
6
a=6 ; b
2+
8
b ≥2√b
2.
8
b=4
Suy ra A ≥ 9 + 6 + 4 = 19
Dấu bằng xẩy ra khi :
¿
a+b=6
3 a
2 =
6
a b
2=
8
b
⇔
¿a=2 b=4
¿ { {
¿ Vậy min A = 19
⇔ a=2 b=4
¿ {
0,5đ
0,5đ