Birth and Death Processes

Quá trình sinh hủy.

Quá Trình Sinh Hủy

(Birth and Death Processes)

C.Lam - L.T.Huu

Tóm tắt nội dung Quá trình sinh hủy là một mô hình ngẫu nhiên có tính Markov nghiên cứu về sự tăng hay giảm số phần tử trong một hệ theo thời gian Bây giờ ta sẽ đi xây dựng lần lượt các mô hình sinh hủy có tỷ lệ thuần nhất, mô hình sinh hủy tổng quát và

cụ thể là mô hình sinh hủy tuyến tính Bằng việc thiết lập các phương trình vi phân Kolmogorov, ta sẽ tìm được các đặc trưng cơ bản (kỳ vọng, phương sai, ) và hơn thế nữa là luật phân phối của mô hình

Định nghĩa 1 (Quá trình sinh thuần nhất)

Nếu quá trình đếm {B(t), t ≥ 0} là xích Markov với xác suất chuyển dừng và thỏa các tính chất sau:

Với mọi t ≥ 0, h > 0,

i) B(0) = 0,(tại thời điểm ban đầu t = 0, quá trình không có phần tử nào)

ii) P [B(t + h) = j + 1|B(t) = j] = λjh + o(h),

iii) P [B(t + h) = j|B(t) = j] = 1 − λjh + o(h),

iv) P [B(t + h) ≥ j + 2|B(t) = j] = o(h),

v) P [B(t + h) < j|B(t) = j] = 0

Khi đó B(t) gọi là quá trình sinh thuần nhất với tham số λj, j = 0, 1, 2,

Xác suất chuyển từ trạng thái có i phần tử sang trạng thái có j phần tử sau một đơn vị thời gian h, và xem h đủ nhỏ để hệ sinh ra phần tử trong một đơn vị thời gian, thỏa phương trình Chapman - Kolmogorov:

Pij(h) = P [B(t + h) = j|B(t) = i] = P [B(h) = j|B(0) = i] , i, j = 0, 1, 2,

Từ Định nghĩa 1, ta có các dạng xác suất chuyển của quá trình sinh thuần nhất như sau: Với mọi t ≥ 0, h > 0,

Hình 1: Đồ thị của quá trình sinh thuần nhất

(nghĩa là, xác suất "thêm một phần tử" sau một đơn vị thời gian h với xác suất

λjh + o(h) )

• Pj,j(h) = P [B(t + h) = j|B(t) = j] = 1 − λjh + o(h), j ≥ 0,

(nghĩa là, xác suất "vẫn giữ nguyên số phần tử trong hệ" sau một đơn vị thời gian h với xác suất 1 − λjh + o(h) )

(nghĩa là, xác suất "thêm hơn hai phần tử" sau một đơn vị thời gian h với xác suất o(h) )

Định nghĩa 2 (Quá trình hủy thuần nhất)

Nếu quá trình đếm {D(t), t ≥ 0} là xích Markov với xác suất chuyển dừng thỏa các tính chất sau:

Với mọi t ≥ 0, h > 0,

i) D(0) = j, (tại thời điểm ban đầu t = 0, quá trình có j phần tử)

ii) P [D(t + h) = j − 1|D(t) = j] = µjh + o(h),

iii) P [D(t + h) = j|D(t) = j] = 1 − µjh + o(h),

iv) P [D(t + h) ≥ j − 2|D(t) = j] = o(h),

v) P [D(t + h) > j|D(t) = j] = 0, j = 0, 1,

Khi đó D(t) gọi là quá trình hủy thuần nhất với tham số µj, j = 1, 2, , n

Trong quá trình hủy thuần nhất thì hầu hết các sự kiện xảy ra trong bất kỳ thời gian nào, vì không có sự kiện nào xảy ra khi quá trình đạt trạng thái 0, tức là trạng thái 0 là trạng thái hấp thu

Hình 2: Đồ thị của quá trình hủy thuần nhất

Từ Định nghĩa 2, ta có các dạng xác suất chuyển của quá trình hủy thuần nhất như sau: Với mọi t ≥ 0, h > 0,

(nghĩa là, xác suất " mất một phần tử" sau một đơn vị thời gian h với xác suất

µjh + o(h) )

• Pj,j(h) = P [D(t + h) = j|D(t) = j] = 1 − µjh + o(h), j ≥ 1,

(nghĩa là, xác suất "vẫn giữ nguyên số phần tử trong hệ" sau một đơn vị thời gian h với xác suất 1 − µjh + o(h) )

(nghĩa là, xác suất "mất hơn hai phần tử" sau một đơn vị thời gian h với xác suất o(h) )

3 Quá trình sinh hủy tổng quát: (General Birth and Death Processes)

3.1 Định nghĩa:

Việc tổ hợp 2 quá trình sinh thuần nhất và hủy thuần nhất ta sẽ được quá trình sinh hủy Quá trình duy chuyển lên hoặc xuống tương ứng với sinh hoặc hủy số phần tử Trừ trường hợp quá trình sinh hủy có trạng thái không hấp thu

Hình 3: Quá trình sinh hủy tổng quát

Định nghĩa 3 (Quá trình sinh hủy tổng quát)

Nếu quá trình ngẫu nhiên {X(t), t ≥ 0} là xích Markov với xác suất chuyển dừng và thỏa các tính chất sau:

Với mọi t ≥ 0, h > 0,

i) X(0) = i, (với i là số phần tử tại thời điểm ban đầu)

ii) P [X(t + h) = j + 1|X(t) = j] = λjh + o(h), ∀j ≥ 0,

iii) P [X(t + h) = j − 1|X(t) = j] = µjh + o(h),∀j ≥ 1,

iv) P [X(t + h) = j + a|X(t) = j] = o(h), ∀a ≥ 2,

v) P [X(t + h) = j − a|X(t) = j] = o(h), ∀a ≥ 2,

vi) P [X(t + h) = j|X(t) = j] = 1 − (λj + µj+1)h + o(h),∀j ≥ 0,

Khi đó X(t) gọi là quá trình sinh hủy tổng quát với hai tham số λj, µj+1, j = 0, 1, 2,

Hình 4: Quá trình sinh hủy tổng quát.

Bây giờ ta đặt λj, µj, với mọi j ≥ 0, lần lượt là tỷ lệ sinh và tỷ lệ hủy của quá trình sinh hủy tổng quát Ta thấy chúng phụ thuộc vào j (số phần tử tại t) và thời gian t Cùng với tính thuần nhất theo thời gian, ta có các xác suất chuyển của quá trình sinh hủy tổng quát như sau:

(nghĩa là, xác suất "mất một phần tử " sau một đơn vị thời gian h với xác suất

µjh + o(h) )

(nghĩa là, xác suất "thêm một phần tử" sau một đơn vị thời gian h với xác suất

λjh + o(h) )

• Pj,j(h) = P [X(t + h) = j|X(t) = j] = 1 − (λj+ µj)h + o(h), j ≥ 1

(nghĩa là, xác suất "vẫn giữ nguyên số phần tử trong hệ" sau một đơn vị thời gian h với xác suất 1 − (λj− µj)h + o(h) )

(nghĩa là, xác suất "thêm hơn hai phần tử" sau một đơn vị thời gian h với xác suất o(h) )

(nghĩa là, xác suất "mất hơn hai phần tử" sau một đơn vị thời gian h với xác suất o(h) )

Tiếp đến ta sử dụng phương trình Chapman - Kolmogorov:

Xét trường hợp j ≥ 2 :

Pij(t + h) = + Pi,j−2(t).Pj−2,j(h) + Pi,j−1(t).Pj−1,j(h) + Pij(t).Pjj(h)

Khi đó với j ≥ 1 :

Pij(t + h) =Pi,j−1(t).Pj−1,j(h) + Pi,j(t).Pj,j(h) + Pi,j+1(t).Pj+1,j(h)

(3.2) Nên với j = 0 :

Pi0(t + h) =Pi,0(t).P0,0(h) + Pi,1(t).P1,0(h) + Pi,2(t).P2,0(h) +

=Pi,0(t) [1 − λ0h + o(h)] + Pi,1(t) [µ1h + o(h)] + o(h) (3.3) Cuối cùng ta đưa các phương trình (3.2), (3.3) về dạng vi phân:

Biến đổi (3.3),

Pi0(t + h) − Pi0(t)

Pi,0(t) [1 − λ0h + o(h)] + Pi,1(t) [µ1h + o(h)] + o(h) − Pi0(t)

h

⇐⇒Pi0(t + h) − Pi0(t)

−λ0hPi,0(t) + µ1h.Pi,1(t) + o(h)

h

⇐⇒ lim

h→0

Pi0(t + h) − Pi0(t)

h = limh→0

−λ0hPi,0(t) + µ1h.Pi,1(t) + o(h)

h

⇐⇒∂Pi0(t)

∂t = −λ0.Pi,0(t) + µ1.Pi,1(t)

(3.4) Biến đổi (3.2),

Pij(t + h) − Pij(t)

h

⇐⇒ lim

h→0

Pij(t + h) − Pij(t)

h = limh→0

h

⇐⇒∂Pij(t)

(3.5)

Như vậy ta đã xây dựng thành công mô hình quá trình sinh hủy tổng quát

Ta sẽ đi giải các phương trình (3.4), (3.5) khi biết λj, µj để tìm biểu thức cho kỳ vọng, phương sai hoặc luật phân phối của chúng Nhưng điều này không dễ dàng trong trường hợp tổng quát vì tỷ lệ sinh λj, tỷ lệ hủy µj phụ thuộc vào j (số phần tử tại t) và thời gian t Nên ta xét quá trình sinh hủy tổng quát trong trường hợp tỷ lệ sinh và tỷ lệ hủy có dạng tuyến tính

4 Quá trình sinh hủy tổng quát với tỷ lệ tuyến tính: (Linear rates)

Quá trình sinh hủy tổng quát với tỷ lệ tuyến tính nếu:

(

λj = jλ(t)

4.1 Trường hợp quá trình bắt đầu với 1 phần tử: (i = 1)

Gọi X1(t) là biến ngẫu nhiên mô tả kích cở của quá trình tại thời điểm t

Trong trường hợp này X1(0) = 1

Đặt:

P1j(t) = P [X1(t) = j|X1(0) = 1] , ∀j ∈ N Lúc đó,

P11(0) = 1, P1j(0) = 0, ∀j 6= 1 (4.2)

Từ (3.4),(3.5) và(4.1), ta được:

∂P1j(t)

∂t =

(

(j − 1).λ(t).P1,j−1(t) − j [λ(t) + µ(t)] P1j(t) + (j + 1).µ(t).P1,j+1(t)

Dùng hàm sinh (Generating function) để tìm kỳ vọng và phương sai quá trình sinh hủy tổng quát với tỷ lệ tuyến tính

Hàm sinh có dạng:

G(s, t) =

∞

X

j=0

P1j(t)sj, s ∈ [0, 1],

là hàm sinh của biến ngẫu nhiên X1(t)

Ta có các đạo hàm riêng sau:

∂G(s, t)

∂t =

∞

X

j=0

∂P1j(t)

∂t s

j

∂G(s, t)

∂s =

∞

X

j=1

jP1j(t)sj−1

Nhân 2 vế hệ phương trình (4.3) cho sj, rồi lấy tổng theo j từ 1 đến ∞, ta được:

" ∞

X

j=1

∂P1j(t)

∂t s

j

# + ∂P10(t)

∂t s

0

=

" ∞

X

j=1

[(j − 1).λ(t).P1,j−1(t) − j [λ(t) + µ(t)] P1j(t) + (j + 1).µ(t).P1,j+1(t)] sj

#

+ µ(t).P11(t).s0

=

"

λ(t)

∞

X

j=1

(j − 1).P1,j−1(t).sj

#

−

"

[λ(t) + µ(t)]

∞

X

j=1

j.P1j(t).sj

#

+

"

µ(t)

∞

X

j=1

(j + 1).P1,j+1(t).sj

# + µ(t).P11(t).s0

(4.4)

Ta viết lại (4.4) như sau:

∂G(s, t)

∂t =

∞

X

j=0

∂P1j(t)

∂t s

j

=∂P10(t)

∂t s

∞

X

j=1

∂P1j(t)

∂t s

j

=µ(t).P11(t).s0+

"

λ(t)

∞

X

j=1

(j − 1).P1,j−1(t).sj

#

−

"

[λ(t) + µ(t)]

∞

X

j=1

j.P1j(t).sj

#

+

"

µ(t)

∞

X

j=1

(j + 1).P1,j+1(t).sj

#

=µ(t).P11(t).s0+

"

λ(t)

∞

X

j=0

j.P1,j(t).sj−1.s2

#

−

"

[λ(t) + µ(t)]

∞

X

j=1

j.P1j(t).sj−1.s1

#

+

"

µ(t)

∞

X

j=2

j.P1,j(t).sj−1

#

=



λ(t).s2.∂G(s, t)

∂s



−

 [λ(t) + µ(t)] s1.∂G(s, t)

∂s

 +

 µ(t).∂G(s, t)

∂s



=λ(t).s2− [λ(t) + µ(t)] s1+ µ(t) ∂G(s, t)

∂s

(4.5)

Từ (4.5), ta được:

∂G(s, t)

∂t =λ(t).s2− [λ(t) + µ(t)] s1 + µ(t) ∂G(s, t)

∂s

=⇒

∂G(s, t)

∂t

∂G(s, t)

∂s

= λ(t).s2− [λ(t) + µ(t)] s1+ µ(t)

(4.6)

Để giải phương trình (4.5), ta cần biến đổi (4.6) về dạng phương trình vi phân Riccati sau:

ds

dt = −

∂G(s, t)

∂t

∂G(s, t)

∂s

= −λ(t).s2+ [λ(t) + µ(t)] s1− µ(t) (4.7)

Tiếp theo, ta giải phương trình (4.7), ta xét hai trường hợp s = 1 và s 6= 1:

• Xét s = 1, thì

ds

dt = −λ(t).1

2+ [λ(t) + µ(t)] 11− µ(t) = 0

• Xét s 6= 1:

Đặt y = 1

s − 1, hay s = 1 +

1

y, suy ra

ds

dt =

−y0

y2 , với y0 = dy

dt. Khi đó phương trình (4.7) trở thành:

−y0

y2 = −λ(t)



1 + 1 y

2

+ [λ(t) + µ(t)]



1 + 1 y

1

− µ(t)

⇐⇒ − y0 = −λ(t)



1 + 2

y +

1

y2



y2+ [λ(t) + µ(t)]



1 + 1 y



y2− µ(t).y2

⇐⇒ − y0 = −λ(t) y2+ 2y + 1
+ [λ(t) + µ(t)] y2+ y
− µ(t).y2

⇐⇒y0 = λ(t) y2+ 2y + 1
− [λ(t) + µ(t)] y2 + y
+ µ(t).y2

⇐⇒y0 = λ(t).y2 + λ(t).2y + λ(t) − λ(t).y2− µ(t).y2− λ(t).y − µ(t).y + µ(t).y2

⇐⇒y0 = [λ(t) − µ(t)] y + λ(t)

(4.8)

Phương trình (4.8) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, nên sẽ có dạng nghiệm như sau:

y = f1(t) + Cf2(t), trong đó C = const (4.9) Lúc đó,

s = 1 + 1

y = 1 +

1

f1(t) + Cf2(t) =

1 + f1(t) + Cf2(t)

f1(t) + Cf2(t) =

f3(t) + Cf4(t)

f1(t) + Cf2(t) (4.10)

Khi đó, s cũng là nghiệm của phương trình (4.7).

Từ (4.10):

s = f3(t) + Cf4(t)

f1(t) + Cf2(t)

⇐⇒f1(t).s + Cf2(t).s = f3(t) + Cf4(t)

⇐⇒C [f2(t).s − f4(t)] = −f1(t).s + f3(t)

⇐⇒C = sf1(t) − f3(t)

f4(t) − sf2(t)

(4.11)

Trong đó f1(t), f2(t), f3(t), f4(t) là các hàm của t; C là hằng số tích phân

Nên nghiệm tổng quát của phương trình (4.6) có dạng:

G(s, t) = Φ sf1(t) − f3(t)

f4(t) − sf2(t)



Ta sẽ tìm hàm Φ với điều kiện biên G(s, 0) = P11(0).s1+P

j6=1P1j(0).sj = s

Từ điều kiện biên, ta được:

G(s, 0) = Φ sf1(0) − f3(0)

f4(0) − sf2(0)



Đặt:

C0 = sf1(0) − f3(0)

f4(0) − sf2(0) (4.14)

Từ (4.14):

C0 = sf1(0) − f3(0)

f4(0) − sf2(0)

⇐⇒C0.f4(0) − C0sf2(0) = sf1(0) − f3(0)

⇐⇒s [f1(0) + C0f2(0)] = C0f4(0) + f3(0)

⇐⇒s = C0f4(0) + f3(0)

f1(0) + C0f2(0)

(4.15)

Theo (4.13), (4.14) và (4.15), ta được:

Φ(C0) = s, hay Φ sf1(0) − f3(0)

f4(0) − sf2(0)



= C0f4(0) + f3(0)

f1(0) + C0f2(0) (4.16)

Tương tự (4.16), ta có:

Φ(C) =Φ sf1(t) − f3(t)

f4(t) − sf2(t)



= C.f4(0) + f3(0)

f1(0) + C.f2(0)

=

 sf1(t) − f3(t)

f4(t) − sf2(t)



f4(0) + f3(0)

f1(0) + sf1(t) − f3(t)

f4(t) − sf2(t)



f2(0)

=

(sf1(t) − f3(t))f4(0) + f3(0)(f4(t) − sf2(t))

f4(t) − sf2(t)

f1(0)(f4(t) − sf2(t)) + (sf1(t) − f3(t))f2(0)

f4(t) − sf2(t)

=(sf1(t) − f3(t))f4(0) + f3(0)(f4(t) − sf2(t))

f1(0)(f4(t) − sf2(t)) + (sf1(t) − f3(t))f2(0)

=f3(0)f4(t) − f3(t)f4(0) + s [f4(0)f1(t) − f3(0)f2(t)]

f1(0)f4(t) − f3(t)f2(0) + s [f2(0)f1(t) − f1(0)f2(t)]

=g1(t) + sg2(t)

g3(t) + sg4(t)

(4.17)

Nên từ (4.12), ta được kết quả sau:

G(s, t) = Φ(C) = g1(t) + sg2(t)

g3(t) + sg4(t) (4.18) Trong đó,

g1(t) = f3(0)f4(t) − f3(t)f4(0)

g2(t) = f4(0)f1(t) − f3(0)f2(t)

g3(t) = f1(0)f4(t) − f3(t)f2(0)

g4(t) = f2(0)f1(t) − f1(0)f2(t) Tiếp theo, ta đặt:

P00(t) = αt,

P1j(t) = [1 − P00(t)](1 − βt)βtj−1, ∀j ≥ 1, (0 ≤ αt, βt< 1) (4.19)

là xác suất chuyển trạng thái tạo nên hàm sinh G(s, t), trong đó βt, αt là hàm bất kỳ theo t

(4.19) thỏa,

∞

X

j=0

P1j(t) =P00(t) + [1 − P00(t)](1 − βt)

∞

X

j=1

βtj−1

=P00(t) + [1 − P00(t)](1 − βt) 1

(1 − βt)

=1, do 0 ≤ βt< 1

Ta có hàm sinh:

G(s, t) =P00(t)s0+ [1 − P00(t)] (1 − βt).s

∞

X

j=1

βtj−1sj−1

=αt+ s(1 − αt)(1 − βt) 1

(1 − βt.s)

=αt− αt.βt.s + s − βt.s − αt.s + αt.βt.s

1 − βt.s

=αt+ (1 − αt− βt)s

1 − βt.s

(4.20)

Từ (4.20), ta tính đạo hàm riêng của G(s, t):

∂G(s, t)

∂t =

(s − 1)(−α0t+ βtα0ts − αtβt0s + βt0s)

(1 − βts)2 (4.21)

∂G(s, t)

∂s =

(1 − αt)(1 − βt) (1 − βts)2 (4.22) Thay (4.21), (4.22) vào (4.6), ta được:

(s − 1)(−α0t+ βtα0ts − αtβt0s + βt0s)

(1 − βts)2 =λ(t).s2− [λ(t) + µ(t)] s1+ µ(t)  (1 − αt)(1 − βt)

(1 − βts)2



⇐⇒(βtα0t− αtβt0 + βt0)s − α0t= λ(t)(1 − αt)(1 − βt)s − µ(t)(1 − αt)(1 − βt)

(4.23) Đồng nhất 2 vế phương trình (4.23), ta được:

βtα0t− αtβt0 + βt0 = λ(t)(1 − αt)(1 − βt) (4.24)

α0t= µ(t)(1 − αt)(1 − βt) (4.25)

Đặt: U = 1 − αt và V = 1 − βt

Ta có:

U0 = dU

dt = −α

0

dt = −β

0

Phương trình (4.25) trở thành:

Từ (4.26) và (4.27), ta suy ra:

α0t = −U0 = µ(t)U V (4.28) Lúc đó, ta thay α0t vào phương trình (4.24), ta được:

βtµ(t)U V + βt0(1 − αt) = λ(t)U V

=⇒βtµ(t)U V − V0U = λ(t)U V

=⇒ − V0 = λ(t)V + (V − 1)µ(t)V

=⇒V0 = [µ(t) − λ(t)]V − µ(t)V2

(4.29)

Phương trình (4.29) là phương trình vi phân Bernoulli, ta giải như sau:

Đặt W = 1

V , suy ra W

0

= −V0

V2

Chia 2 vế phương trình (4.29) cho −V2, ta được:

W0 + [µ(t) − λ(t)]W = µ(t) (4.30) Với điều kiện đầu t = 0:

α0 = β0 = 0 =⇒ U = V = W = 1

Để giải (4.30), ta giải dạng thuần nhất của (4.30), như sau:

W0 + [µ(t) − λ(t)]W = 0

⇐⇒W

0

W = −[µ(t) − λ(t)]

⇐⇒W = Ce−ρ(t), với ρ(t) =

Z t

0

[µ(τ ) − λ(τ )]dτ

Nên nghiệm của phương trình (4.30) có dạng: W = C(t).e−ρ(t), thay vào phương trình (4.30) lại, ta được:

[µ(t) − λ(t)].C(t).e−ρ(t)+ C0(t)e−ρ(t)+ [µ(t) − λ(t)(t)]C(t)e−ρ(t) = µ(t)

⇐⇒C(t) =

Z t

0

µ(τ )eρ(τ )dτ + C∗

Khi t = 0, chọn C∗ = 1 để W = 1, ta được nghiệm phương trình (4.30):

W = e−ρ(t)

Z t

0

µ(τ )eρ(τ )dτ + 1



(4.31)

Hơn nữa,

Z t

0

µ(τ )eρ(τ )dτ =

Z t

0

[µ(τ ) − λ(τ )]eρ(τ )dτ +

Z t

0

λ(τ )eρ(τ )dτ

=

Z t

0

Z t

0

λ(τ )eρ(τ )dτ

=eρ(t)− 1 +

Z t

0

λ(τ )eρ(τ )dτ

Do đó, ta có biểu diễn nghiệm của phương trình (4.30):

W = 1 + e−ρ(t)

Z t

0

λ(τ )eρ(τ )dτ (4.32) Lấy trung bình cộng của (4.31), (4.32), ta được một cách biểu diễn nghiệm khác:

W = 1 2



Z t

0

[λ(τ ) + µ(τ )]eρ(τ )dτ



(4.33)

Vậy phương trình (4.30) có 3 cách biểu diễn nghiệm là (4.31), (4.32), (4.33)

Mặc khác, chia 3 vế phương trình (4.30) cho W , ta được:

W0

W + µ(t) − λ(t) =

µ(t) W

Nhắc lại, W = 1

V và U

0

= −µ(t)U V , suy ra, U

0

U =

−µ(t)

W , ta được:

U0

U =

−µ(t)

W =

W0

W − ρ0(t)

⇐⇒ ln U = − ln W − ρ(t)

⇐⇒U = e

−ρ(t)

W + C

∗∗

Khi t = 0, ta chọn C∗∗= 0 để cho U = W = 1

Khi đó,

αt= 1 − U = 1 − e

−ρ(t)

βt= 1 − V = 1 − 1

Bây giờ ta tính P00(t) và P1j(t):

– Tính P00(t):

P00(t) = αt= 1 − e

−ρ(t)

W =1 −

0 µ(τ )eρ(τ )dτ + 1

=

Rt

0 µ(τ )eρ(τ )dτ

1 +Rt

0 µ(τ )eρ(τ )dτ

(4.36)

– Tính P1j(t):

P1j(t) = (1 − αt)(1 − βt)βtj−1 = U V



1 − 1 W

j−1

= e

−ρ(t)

W .

1

W.

(W − 1)j−1

Wj−1

=

j−1

h

1 + e−ρ(t)Rt

0 λ(τ )eρ(τ )dτij+1

(4.37)

Bây giờ ta tính kỳ vọng và phương sai của X1(t) với hàm sinh G(s, t):

G(s, t) = αt+ (1 − αt− βt)s

1 − βts

• Tính kỳ vọng X1(t):

E(X1(t)) =∂G(s, t)

∂s |s=1 = (1 − αt)(1 − βt)

(1 − βts)2 |s=1

=1 − αt

1 − βt

=U V

=e

−ρ(t)

W .W

(4.38)

• Tính phương sai X1(t):

V ar(X1(t)) =∂G(s, t)

∂s2 |s=1+ E(X1(t)) − [E(X1(t))]2

=2βt(1 − α)(1 − β) (1 − β.s)3 |s=1+1 − αt

1 − βt − 1 − αt

1 − βt

2

= 1 − αt (1 − βt)2(2βt+ 1 − βt− 1 + αt)

=1 − αt

1 − βt.

βt+ αt

1 − βt



1 −e

−ρ(t)

W + 1 −

1 W

 W

(4.39)

Ta thay lần lượt (4.31), (4.32), (4.33) sẽ được 3 biểu thức tính phương sai

4.2 Trường hợp quá trình bắt đầu với i phần tử: (i > 1)

Trong trường hợp này Xi(0) = i, với Xi(t) là biến ngẫu nhiên mô tả kích cở của quá trình tại thời điểm t

Gọi hàm sinh của biến ngẫu nhiên Xi(t) là:

H(s, t) =

∞

X

j=0

Pij(t)sj

Ta thấy, mỗi phần tử trong i phần tử ban đầu đều hoạt động một cách độc lập với nhau với cùng một hàm sinh G(s, t) nên theo tính chất của hàm sinh, ta có:

H(s, t) = [G(s, t)]i

= αt+ (1 − αt− βt)s

1 − βt.s

Bây giờ ta tính kỳ vọng của Xi(t):

E(X(t)) =∂H(s, t)

∂s |s=1

=i.Gi−1(1, t).∂G(s, t)

∂s |s=1

=i.E(X1(t))

(4.41)