De thi HSG vong huyen

Chứng minh tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P.. 5 PB 16 Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD..[r]

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN

NĂM HỌC: 2014-2015

Đề thi môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (5điểm)

a (2điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 x2+y2+3 xy +3 x+2 y +2=0

b (3điểm) Phân tích đa thức x3(x2 – 7)2 – 36x thành nhân tử Từ đó suy ra nghiệm của phương trình x3(x2 – 7)2 – 36x = 0

Câu 2: (5điểm)

a (3điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho n2  18n 10là một số chính phương

b (2điểm) Tính giá trị: A = 37 5 3  37 5 3

Câu 3: (5điểm)

a (3điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2 xy3y 2 x1

b (2điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương x , y , z thoả mãn

¿

x + y +z >11

8 x+9 y+10 z=100

¿ {

¿

Câu 4: (5điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy điểm P thuộc đường chéo BD Gọi M là điểm đối xứng với C qua P, gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB.

a Chứng minh và 3 điểm E, F, P thẳng hàng.

b Chứng minh tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm

P.

c Cho CP ^ BD và CP =

12

5 ;

PD

9

16.Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

HẾT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN

NĂM HỌC: 2014-2015

Hướng dẫn chấm môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

_

Câu 1: (5điểm)

a (2điểm)

(2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 = (-1) 1 = 1.(-1) (0.5điểm) Xét 2 trường hợp ta có: và (0.5điểm)

Giải ra ta được 2 cặp số: (-2 ; 2); (2 ; - 4) (0.5điểm) Vậy phương trình có nghiệm là: (x, y) = (-2; 2); (2; - 4) (0.5điểm)

b (3điểm)

x3(x2 – 7)2 – 36x = x[x2(x2 – 7)2 – 36] (0,25điểm)

= x[x(x2 – 7) – 6][x(x2 – 7) + 6] (0,25điểm)

= x(x3 – 7x – 6)(x3 – 7x + 6) (0,25điểm)

= x(x3 – x – 6x – 6)(x3 – x – 6x + 6) (0,25điểm)

= x[x(x2 – 1) – 6(x + 1)][x(x2 – 1) – 6(x – 1)] (0,25điểm)

= x(x + 1)[x(x – 1) – 6](x – 1)[x(x + 1) – 6] (0,25điểm)

= x(x + 1)(x2 – x – 6)(x – 1)(x2 + x – 6) (0,25điểm)

= x(x + 1)(x2 + 2x – 3x – 6)(x – 1)(x2 – 2x + 3x – 6) (0,25điểm)

= x(x + 1)[x(x + 2) – 3(x + 2)](x – 1)[x(x – 2) + 3(x – 2)] (0,25điểm)

= x(x + 1)(x + 2)(x – 3)(x – 1)(x – 2)(x + 3) (0,25điểm)

Từ đó ta được các nghiệm của phương trình x3(x2 – 7)2 – 36x = 0

là x =0 hoặc x = 1 hoặc x = 2 hoặc x =3 (0,5điểm) Câu 2: (5điểm)

a (3điểm)

Để n2  18n 10là một số chính phương

2 18 10 2 ( )

n 92 k2 91

n 9 k n  9 k 91

Ta có 4 trường hợp sau:

+/

+/

+/

+/

Vậy khi n = 19 hoặc n=55 thì n2  18n 10là một số chính phương (0,5điểm)

b (2điểm)

A = 37 5 2 37 5 2

= 3 6 1 2 2 3 2    - 3   6 1 2 2 3 2 (0,5điểm)

= 3  2 3 3. 2 1 3 2.12  2  1 3

- 3 2 3 3. 2 1 3 2.12  2  1 3 (0,5điểm)

Câu 3: (5điểm)

a (3điểm)

A = x y  1 2 xy2 y 2 x2y 2 y (1điểm)

=

2 4 4

=

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

1 2

 khi

1 1

2

9

1 0

4

y y

x







(0,5điểm)

b (2điểm)

100 = 8x + 9y + 10z > 8x + 8y + 8z = 8(x + y + z) → x + y +z <25

2 (0,5điểm)

x + y + z > 11, do ( x + y + z ) nguyên nên x + y + z =12 (0,5điểm)

Vậy ta có hệ

¿

x+ y+z =12

8 x+9 y+10 z=100

↔

¿x + y +z=12

y +2 z=4

¿ {

¿

Từ y + 2z = 4 suy ra z = 1 (do y, z > 0) (0,5điểm) Khi z = 1 thì y = 2 và x = 9

Thay x = 9; y = 2; z = 1 thấy thoả mãn yêu cầu bài toán (0,5điểm)

Câu 4: (5điểm)

Vẽ hình đúng

(0,25điểm)

a Kẻ qua A đường thẳng song song với CM cắt DB tai Q Hai tam

giác ADQ và CBP bằng nhau (g-c-g) suy ra AQ =CP

(0,25điểm)

Tứ giác AQPM có cặp cạnh đối AQ và CP song song và bằng nhau

nên là hình bình hành, suy ra

(0,25điểm)

mà FAM =AFE , ABD =BAC , (0,25điểm)

MA cắt EF tai O, xét ∆CAM có PO là đường trung bình nên (0,25điểm)

Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơclit ta có hai đường thẳng OP, EF trùng

nhau nên 3 điểm E, F, P thẳng hàng.

(0,25điểm)

b Hai tam giác vuông MAF và DBA có hai góc nhọn tương ứng

FAM và ABD bằng nhau nên đồng dạng,

(0,5điểm)

Suy ra

MF

DA

BA: không đổi

(0,5điểm)

c Từ giả thiết suy ra

PD

9 =

PB

Từ giả thiêt CP ^ BD suy ra CP là đường cao ứng với cạnh huyền

của tam giác vuông BCD, nên theo hệ thức lượng trong tam giác

vuông ta có:

CP2=PD.PB

(0,25điểm)

 (2,4)2 =9k.16k  k =0,2 (4) (0,25điểm)

Từ (3) và (4)  PD =1,8 và PB =3,2 (0,25điểm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BCD ta có: (0,25điểm)

BC2=BP.BD =(3,2).5 =16 == BC =4.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BAD ta có:

BD2 =AB2

AD2

 AB = BD2 AD2

= 5 2

 4 2 =3.

(0,25điểm)