0,5 đ Một nhóm gồm 6 học sinh có tên khác nhau, trong đó có hai học sinh tên là An và Bình.. Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh đó thành một hàng dọc.[r]
Trang 1ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1*.(2đ) Cho hàm số 2 ( )
2
x
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b) Đường thẳng : y7x10cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt Tính độ dài AB
Câu 2*.(1đ)
a) Giải phương trình: sin 2x 4 8 osc xsinx
b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1i z) 1 3i 0 Tìm phần ảo của số phức
1
w zi z
Câu 3* (0,5 đ) Giải bất phương trình 2log (3 x 1) log (23 x 1) 2
Câu 4 (1 đ) Giải hệ phương trình:
4( 1)
Câu 5* (1 đ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1
2
x y x
và các trục tọa
độ
Câu 6 (1 đ) Cho hi ̀nh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD; các đường thẳng SA, AC và CD đôi mô ̣t vuông góc với nhau; 𝑆𝐴 = 𝐴𝐶 = 𝐶𝐷 = a 2và
𝐴𝐷 = 2𝐵𝐶 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD
Câu 7 (1 đ) Trong mă ̣t phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường thẳng d song song với BC cắt ca ́c ca ̣nh AB, AC lần lươ ̣t ta ̣i M và N sao cho AM CN Biết rằng M(–4; 0), C(5; 2) và chân đường phân giác trong của góc A là D(0; –1) Hãy tìm to ̣a đô ̣ của A và B
Câu 8* (1 đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1 3
x y z
Tìm tọa độ giao điểm của 1 và 2 và viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng 2 là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 1 lên mặt phẳng (P)
Câu 9* (0,5 đ) Một nhóm gồm 6 học sinh có tên khác nhau, trong đó có hai học sinh tên là
An và Bình Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh đó thành một hàng dọc Tính xác suất sao cho hai học sinh An và Bình đứng cạnh nhau
……… Hết………
ĐỀ SỐ 6
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 6
C.1.a
C.1.b
* Tập xác định: 𝐷 = ℝ ∖ {−2}
*
2
4
2
x
* Tiệm cận ngang: y= –1 vì lim 1; lim 1
x y x y
* Tiệm cận đứng x= –2 vì
lim ; lim
* Bảng biến thiên:
Y –1
–
+
–1
Hàm số nghịch biến trên: (–;–2), (–2;+ ) Hàm số không có cực trị
* Điểm đặc biệt:
X
* Đồ thị:
* Gọi M0x y0; 0 là tiếp điểm
'( ) 4 3; ''( ) 2 4
f x x x f x x
* f ''( )x 0 2x0 4 0 x0 2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
x y
y=-1
x=-2
0 -2
1
2 -1
-3
-5 3
Trang 3* Suy ra, 0
2 2 3
y f , f x'( )0 f '(2) 1
* Phương trình tiếp tuyến: y f ' x0 xx0y0
2 8
* Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 8
3
y x
0,25
0,25
C.2.a Giải phương trình: sin 2x 4 8 osc xsinx
Biến đổi phương trình về dạng: (s inx-4)(2 cos 1) 0 s inx 4 (1 )
cos
2
vn x
x
Kl: phương trình có 2 họ nghiệm: 2 ,
3
x k
0,25
0,25
C.2.b
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1i z) Tìm phần ảo của số phức 1 3i 0
1
w zi z
Giả sử z x yi x y( , ) z x yi
Theo giả thiết, ta có
2
1
x
y
Suy ra z 2 i
w i i i i i i i Vậy Imw 1
0,25
0,25
2
3
3
2 log (x 1) log (2x 1) 2
log (x 1) log (2x 1) 1 log (x 1)(2x 1) 1
2
(x1)(2x 1) 3 2x 3x 2 0
1
2
2 x
Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm là S 1; 2
0,25
0,25
C.4
Trang 4Biến đổi pt ban đầu về dạng
2
1
y
y x
TH 1: Với y = 2 thay vào pt (2) : 2
8x 3x 6 0 vô nghiệm
TH 2: Với y = - 2 thay vào (2): 3x 6 0 x 2 suy ra nghiệm (x; y)
=(-2;-2)
TH 3: Với y x 1 thay vào (2): 4 2 1 2 1 2 5
x x x x vn
Kl: hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y ( 2; 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
C.5
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1
2
x y x
và các trục
tọa độ
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (-1; 0) Do đó
0
1
1 2
x
x
Ta có
0
1
1 2
x
x
0
1
3
2 dx
x
0 1
(x 3ln x 2 )|
0,25
0,25
0,25
0,25
C.6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD; các
đường thẳng SA, AC và CD đôi mô ̣t vuông góc với nhau; SA = AC = CD =
a 2và AD = 2BC Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa
hai đươ ̀ ng thẳng SB và CD
Trang 5Ta có: SA AC và SA CD
SA (ABCD)
ACD vuông cân tại C
AD = 2a BC = a
Go ̣i I là trung điểm AD AI = BC, AI // BC
và CI AD ABCI là hình vuông
AB AD
Do đó SABCD =
2
(AD BC).AB 3a
Vậy VSABCD =
ABCD
Ta có CD // BI CD // (SBI) d(SB, CD) = d(CD, (SBI)) = d(C, (SBI))
Go ̣i H = AC BI và AK SH ta ̣i K Ta có AK (SBI) d(A, (SBI)) = AK
Ta có 12 12 12 12 42 52
AK SA AH 2a 2a 2a AK =
a 10
d(A; (SBI)) = AK = a 10
5 Vì H là trung điểm AC nên d(C; (SBI)) = d(A;
(SBI)) = a 10
5 Vâ ̣y d(CD, SB) =
a 10
0,5
0,5
C âu
7 Trong mă ̣t phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường thẳng d song
song với BC cắt các ca ̣nh AB, AC lần lượt ta ̣i M và N sao cho AM CN Biết
rằng M(–4; 0), C(5; 2) và chân đường phân giác trong của góc A là D(0; –1)
Hãy tìm to ̣a đô ̣ của A và B
Go ̣i D' là điểm trên ca ̣nh BC sao cho CD' = MN
Ta có MNCD' là hình bình hành
MD' = CN = AM AMD' cân ta ̣i M
MD'A = MAD' = D'AC
AD' là phân giác của góc A D' trùng D CA
qua C và song song MD
CA có vectơ chỉ phương là MD = (4; –1)
AC: x 5 4t
y 2 t
A AC A(5 + 4a; 2 – a) MA = (9 + 4a; 2– a)
H
I
S
K
N M
D A
Trang 6Ta có MA = MD (9 + 4a)2 + (2 – a)2 = 17 17a2 + 68a + 85 – 17 = 0 a = –
2 Vâ ̣y A(–3; 4)
MA = (1; 4) AB: x 4 y
4x – y = –16 ; DC = (5; 3) BC: x y 1
3x –5y=5
Do đó B: 3x 5y 54x y 16
Vậy B(–5; –4)
0,5
0,5
C.8
C.9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
:
và 2
:
x y z
Tìm tọa độ giao điểm của 1 và
2
và viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng 2 là hình chiếu
vuông góc của đường thẳng 1 lên mặt phẳng (P)
Viết lại 1 và 2 dưới dạng tham số
Giải hệ phương trình tìm được giao điểm A(3; 0; 2)
Đường thẳng 1 có VTCP u 1 2; 3; 2
Đường thẳng 2 có VTCP u 2 6; 4; 5
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa 1, 2 thì (Q) có VTPT là nu u1, 2(7; 22; 26)
Vì 2 là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 1 lên mặt phẳng (P) (P) chứa
2
và ( )P ( )Q
Do đó (P) cũng đi qua A và có VTPT là n1 n u, 2 ( 214;191; 104)
(P) có phương trình là: 214x 191y 104z 850 0
Một nhóm gồm 6 học sinh có tên khác nhau, trong đó có hai học sinh tên là
An và Bình Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh đó thành một hàng dọc Tính xác
suất sao cho hai học sinh An và Bình đứng cạnh nhau
0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 7Mỗi cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành 1 hàng dọc là một hoán vị của 6 phần
tử n( ) 6! 720 (phần tử)
Gọi A là biến cố: "An và Bình đứng cạnh nhau"
n A( )5!.2! 240 (phần tử)
( ) 240 1
( )
( ) 720 3
n A
P A
n
(phần tử)
0,25
0,25