Cac dang de kiem tra chuong II Dai so 11 2

a Tìm hệ số chứa x2012 trong khai triển trên b Tính tổngcác hệ số của khai triển trên.. Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu.[r]

Câu 1: (4đ)

Cho tập A={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9  có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau thỏa mãn điều kiện:

a) Có 5 chữ số đôi một khác nhau

b) Là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau

c) Là số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau

Câu 2: (2đ)

Giải phương trình: 3 x 2 14

Câu 3: (4đ)

Lớp 11a có 26 học sinh gồm 13 nam,13 nữ chọn ngẫu nhiên một nhóm có 5 học sinh tham gia đội văn nghệ

a) Tính xác suất để đội văn nghệ có 5 bạn cùng giới?

b) Tính xác suất để đội văn nghệ có ít nhất 1 bạn trai?

Câu 1 (3,0 điểm):

a Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt từ các chữ số

1, 2, 3, 4, 7, 8, 9

b Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5 từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Câu 2(3.0 điểm):

a Khai triển nhị thức   

4

2x y

b Tìm hệ số chứa y2 trong khai triển



6 2

3

2

y y

Câu 3(3.0 điểm): Bạn Nam có một bộ sách tham khảo gồm 15 quyển khác nhau

trong đó có 6 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lý và 4 quyển sách Hóa Bạn Nam muốn lấy bốn quyển sách để tham khảo Tính xác suất để

a 4 quyển lấy được cùng một môn

b 4 quyển lấy được có cả ba môn

Câu 4(1,0 điểm): Cho n là số tự nhiên chẵn ( n 2) Chứng minh đẳng thức

0 2 4 n 2n 1

Câu (3điểm): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Hỏi:

a) Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau

b) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau

c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 430

Câu 2(2điểm): Cho trong khai triển



2011 2

3

2

x x

a) Tìm hệ số chứa x2012trong khai triển trên

b) Tính tổngcác hệ số của khai triển trên.

Câu 3(3điểm): Một hộp đựng 45 quả cầu được đánh số thứ tự từ 1 đến 45, trong đó

có 15 quả cầu màu đỏ, 10 quả cầu màu xanh, 8 quả cầu màu trắng và 12 quả cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu Tính xác suất để:

a 4 quả cầu được chọn cùng màu.

b 4 quả cầu được chọn có màu đôi một khác nhau.

c 4 quả cầu được chọn có ít nhất một quả cầu màu đỏ.

Câu 4(1điểm): Giải phương trình: 21 2 8 n11 0

n n n

Câu 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi:

a Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau

b Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5

c Có bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 540

Câu 2: Cho trong khai triển



2012

2 1 2

x x

a Tìm hệ số chứa x2012trong khai triển trên

b Tính tổngcác hệ số của khai triển trên

Câu 3: Một hộp đựng 50 viên bi được đánh số thứ tự từ 1 đến 50, trong đó có 10

viên bi đỏ, 25viên bi xanh, 6 viên bi trắng và 9 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi Tính xác suất để:

a 4 viên bi được chọn cùng màu.

b 4 viên bi được chọn có màu đôi một khác nhau.

c 4 viên bi được chọn có ít nhất một viên bi đỏ.

Câu 4: Giải phương trình: 3A n2 A22n 42 0 

Bài 1: (3,0 điểm) Từ 7 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên gồm 4 chữ số sao cho:

a) Các chữ số đôi một khác nhau

b) Các chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5

c) Các chữ số kề nhau thì khác nhau

Bài 2: (3,0 điểm) Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; túi bên trái có 4 bi đỏ, 5 bi xanh.

Lấy một bi từ mỗi túi một cách ngẫu nhiên

1 Tính n ( ).

2 Tính xác suất sao cho:

a Hai bi lấy ra cùng màu

b Hai bi lấy ra khác màu

Bài 3: (3,0 điểm) Tìm hệ số chứa x3 trong khai triển

6

2

3

2x

x



Bài 4: (1,0 điểm) Chứng minh rằng C20nC12nC22n  C22n n4n(với n)

Câu1(1.5đ): Một kệ sách có 5 cuốn sách toán khác nhau và 4 cuốn sách lí khác nhau.

Hỏi một học sinh có thể có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách toán hoặc lí để đọc?

Câ 2(1.5đ): Một cô gái có 9 áo sơ mi, 7 quần tây và 4 đôi giày Hỏi cô gái đó có thể

“diện” bằng bao nhiêu cách thông qua cách chọn áo quần để mặc và giày để mang?

Câu3( 1.5đ): Có 5 tem thư khác nhau và 5 bì thư khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách

dán tem vào bì thư?

Câu 4(1.5đ): Cho 7 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7 phân biệt Có thể có bao nhiêu

véctơ khác véctơ không tạo thành từ 7 điểm đó?

Câu5(2đ): Tìm số hạng chứa x9 trong khai triễn

15

2 1

x x



 

Câ 6(2đ): Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên hai quả

cầu Hãy tính xác suất sao cho hai quả cầu đó:

1 Đều là màu trắng

2 Cùng màu

Câu 1: Trong một hộp có chứa 4 quả cầu được đánh số từ 1 đến 4 Lấy ngẫu nhiên

đông thời ra 3 quả cầu

a Mô tả không gian mẫu của phép thử

b Gọi A và B là các biến cố lấy được

A: “ 3 quả cầu có tổng các chữ số bằng 7”

B: “ 3 quả cầu là 3 số tự nhiên liên tiếp”

Hãy mô tả các biến cố trên?

Câu 2: Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30 Phép thử lấy ngẫu nhiên ra 10 tấm

thẻ hãy tính

a Số khả năng xảy ra của phép thử?

b Gọi A là biến cố “ lấy được 10 tấm thẻ trong đó có 5 thẻ mang số lẻ, 5 thẻ mang số chăn trong đó có đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 10”

Hãy tính P(A) ?

Câu 3: a Tìm số hạng có chứa x8 trong khai triển nhị thức 3 x+2¿10

b Tìm số nguyên dương n biết tổng các hệ số của khai triển 5 x −3¿n

¿ bằng 1024?

Bài 1 (3điểm)

Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho

1 Có đúng 2 nam trong 5 người đó

2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

Bài 2 (3 điểm)

Chọn ngẫu nhiên ba bạn từ một tổ có 6 nam và 4nữ để làm trực nhật Tính xác suất sao cho trong đó:

a) cả 3 đều nam

b) có đúng hai bạn nam

c) có ít nhất 1 nam

Bài3 (2 điểm)

1/Tìm số hạng tổng quát trong khai triển: (2 x − 1

x2)6

2/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển trên

Bài 4: (1 điểm) Tìm n biết : A n2−C n1< 8

Bài 5: (1 điểm) Gieo một con súc sắc 4 lần Tính xác suất để ít nhất một lần xuất

hiện mặt 3 chấm

Câu 1: ( 1 đ)

Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau ?

Câu 2:(3đ) Cho một đa giác lồi có n đỉnh (n>3).

a).Có bao nhiêu véctơ khác không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác

b) Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác

c) Đa gíác đã cho có bao nhiêu đường chéo

Câu 3:(2đ) Tìm hệ số của x9 trong khai triển ( 3x-2)12

Câu 4:( 4đ).

Một lớp 11A gồm 40 học sinh Trong đó có 8 em học sinh giỏi, 12 em học sinh khá,

20 em học sinh trung bình Lấy ngẫu nhiên 4 em học sinh theo danh sách Tính xác suất:

a) Để 4 em học sinh đều là học sinh khá?

b) Để 4 học sinh có 1 em học giỏi , 2 em học sinh khá và 1 em học trung bình?

c) Để 4 học sinh có ít nhất 1 em là học sinh khá?

a

b

c

Gọi chữ số cần tìm làabcde a  0

Để chon a ta có 9 cách

Để chọn 4 số còn lại ta có: A94

Vậy có tất cả: 9 A94= 27216

Gọi chữ số cần tìm làabcde a  0

Để chọn e ta có 5 cách ( e = 1;3;5;7;9)

Để chọn a ta có: 8 cách

Để chọ 3 số còn lại từ 8 số ta có: A83

Vậy có tất cả: 8.5 A83= 13440 cách

Số các chữ số chắn là 9 A94- 8.5 A84=13776

0,5 0,25 0,25 0,5

0,25 0,25 0,5 0,25 1

2

2 2

14

14

1

2

5 10 4

x

x

x x

x











Vậy nghiệm của phương trình là: x= 5

0,5

0,5

0,5

0,5

a

b

Số cách chọn 5 bạn từ 26 bạn là c265 = 65780 cách vậy n 65780

Để chọn được 5 bạn cùng giới co thể chọn:

Gọi A là biến cố chọn được 5 bạn đều cùng giới ta có

TH1: 5 bạn chọn được đều là nam: có c135

TH2: 5 bạn chọ được đều là nữ có c135 cách chọn

Ta có n(A)= 2c135 = 2574

Xác xuất để chọn 5 bạn cùng giới là:

2574

65780

nA p

n



Gọi B là không gian mẫu để chọn 5 bạn đều là nữ

n(B)= c135 =1287

Xác xuất để chọn được ít nhất một bạn là nam là:

1287 ( ) 1 (B) 1 0,98043

65780

1 Gọi số cần tìm là abcd Khi đó:

Có 7 cách chọn số d, Có 6 cách chọn số c

Có 5 cách chọn số b , Có 4 cách chọn số a

Theo quy tắc nhân có 7.6.5.4= 840 số

0.5 0.5 0.5

Gọi số cần tìm là abcd Khi đó:

TH1: d = 0  d có 1 cách chọn Các số còn lại có: A63 cách chọn

 có 1.A63 = 120 (số)

TH 2:d0  d có 1 cách chọn, a có 5 cách chọn, các số còn lại có

2

5

A cách chọn.

 có 1.5

2 5

A = 100 (số)

Vậy có tất cả là: 120 + 100 = 220 (số)

0.5 0.5 0.5

2

                    



4

Ta có khai triển

6 2

3

2

y y



  , Số hạng TQ;



  

 

6

2 k 2

k

số hạng chứa y3 nên 12 – 5k = 2 suy ra k = 5 nên hệ số của y3 là:

 5 5

6

2 C 192

 

1.5

15 1365

Gọi A là biến cố: “bốn quyển lấy được cùng một môn” khi đó có

 64  54  44 

n A C C C

nên

( ) 21 1 ( )

( ) 1365 65

n A

P A

n



1,25

Gọi B là biến cố: “bốn quyển lấy được có cả ba môn” khi đó

 62 51 41 61 52 41 61 51 42    

n B C C C C C C C C C

nên ( ) 720 48

( )

( ) 1365 91

n B

P B

n



1.25

4 Với n chẵn ta có 0 1 2 3 ( n 1 ) n 2n

C n0 C n1 C n2 C n3 ( C )n n1 C n n 0

Cộng vế theo vế (1) với (2) ta có

2

n

           

(đpcm)

0.5

0.5

Thành

Câ

u

1

a

Gọi số cần tìm là abcd Khi đó:

a có 6 cách chọn

Gọi số cần tìm là abcde Khi đó:

các số còn lại có A63 cách chọn. các số còn lại có 4

7

A cách chọn. 0,25

vậy có tất cả là: 6 A63 = 720 (số) vậy có tất cả là: 7 4

7

A =5 880 (số) 0,5

b

Gọi số cần tìm là abcd Khi đó:

TH1: d = 0  d có 1 cách Các

số còn lại có: A63

 có A63 = 120 (số)

Gọi số cần tìm là abcd Khi đó:

TH1: d = 0  d có 1 cách Các

số còn lại có: A73

 có A73 = 210 (số)

0,25

TH 2: d  0  d có 3 cách , a có

5 cách, các số còn lại có: A52

cách

TH 2: d = 5  d có 1 cách, a có 6 cách, các số còn lại có: A62 cách. 0,25

 có 3.5

2 5

A = 300 (số)  có 1.6 2

6

vậy có tất cả là: 120 + 300 = 420

(số)

Vậy có tất cả là: 210 + 180 = 390

c Gọi số cần tìm là abc Khi đó:

TH 1: a < 4  a có 3 cách chọn

(a  0)

Các số còn lại có: A62

 có 3 A62 = 90 (số)

Gọi số cần tìm là abcd Khi đó:

TH 1: a < 5  a có 4 cách chọn (a  0)

Các số còn lại có: A73

 4 A72 = 168 (số)

0,25

TH 2: a = 4, b < 3  b có 3 cách

c có 5 cách

 có 3.5 = 15 (số)

TH 2: a = 5, b < 4  b có 4 cách

c có 6 cách

 4.6 = 24 (số)

0,25

Vậy có tất cả là: 90 + 15 = 105 Vậy có tất cả là 168 + 24 = 192 0,5

(số) (số).

Câ

u

2

a

Số hạng tổng quát là:

 

 

2011

x

Số hạng tổng quát là:

 

 

2012

2

k

x

0,5

Số hạng chứa x2012 khi 4022 – 5k

= 2012

 k = 402

Số hạng chứa x2011 khi 4024 – 3k

= 2011

 k = 671

0,25

Vậy hệ số chứa x2012 là

402 402

2011 2

C

Vậy hệ số chứa x2011 là



671 2012 671

2

C

0,25

b

Ta có:

  



2011 2011

2011 3

0

k

x

Khi đó tổng các hệ số của khai

triển là:

   





   



2011 2011 0

k

C

Ta có:





2012 2012

2012 0

k

k

x

Khi đó tổng các hệ số của khai triển là:



   

   

   



2012 2012

0

k k

k

C

0,5

0.5

Câ

u

3

a

Ta có: | | =

4 45

C

Gọi A là biến cố: “4 quả cầu lấy

ra cùng màu” Khi đó:

15 10 8 12

|  A| C C C C

= 2140

Ta có: | | =

4 50

C

Gọi A là biến cố: “4 viên bi lấy ra cùng màu” Khi đó:

|  A| C C C C  13001

0,5

   4

45

2140 0,0244

P A

C

50

13001 0,056

P A

C

b

Gọi B là biến cố: “4 quả cầu lấy

ra có bốn màu khác nhau” Khi

đó:

1 1 1 1

15 10 8 12

|  B| C C C C  14400

Gọi B là biến cố: “4 viên bi lấy ra

có bốn màu khác nhau” Khi đó:

1 1 1 1

10 25 6 9

|  B | C C C C  13500

0,5

   4

45

14400 0,097

P B

C

50

13500 0,0586

P B

C

c

Gọi C là biến cố: “4 quả cầu lấy

ra có ít nhất một quả cầu màu

đỏ” Khi đó, C là biến cố: “4 quả

cầu lấy ra không có quả cầu màu

đỏ”

Gọi C là biến cố: “4 viên bi lấy ra

có ít nhất một viên bi màu đỏ”

Khi đó, C là biến cố: “4 viên bi lấy ra không có viên bi màu đỏ”

0,25



4 30

|  C | C  |  C | C304 0,25

   304

4 45

0,184

C

P C

C

 

   304

4 50

0,119

C

P C

C



  1   1 0,184 0,816



  1   1 0,119 0,881

4

Điều kiện:

2

n n

 





2

n n

 





Pt

n

 

2 !

!

2 ! 2 2 !

n n

 n n  1 8 n 0

 n2 9n 0

 3n n  1 2 2 n n  1 42 0 

 n2 n 42 0  0,25



0 9

n n

 







Vậy nghiệm của phương trình là

n = 9



7 6

n n

 





 Vậy nghiệm của phương trình là

n = 6

0,25

Bài 1

a) Mỗi số cần tìm có dạng a a a a1 2 3 4 Khi đó có thể coi mỗi số

dạng này là một chỉnh hợp chập 4 của 7 (chữ số) Do đó số

0,5 0,5 0,5 0,5

b) Mỗi số cần tìm có dạng b b b b1 2 3 4 Khi đó:

4

b có 1 cách chọn; các số còn lại (sau khi đã chọn hàng đơn vị) là một chỉnh hợp chập 3 của 6 (chữ số) Do đó số các số cần tìm là 1A 63 120

c) Mỗi số cần tìm có dạng c c c c1 2 3 4 Khi đó:

1

c có 7 cách chọn; c c c2, ,3 4 đều có 6 cách chọn

Do đó số các số cần tìm là 7.631512

Bài 2 1 Không gian mẫu là kết quả của hai hành động lấy bi liên

tiếp theo qui tắc nhân n    5.9 45 1,0

0,5 0,5

0,5 0,5

2. a) Gọi A:” Hai bi lấy ra cùng màu”

Khi đó n A C C3 41 1C C1 12 522

Từ đó  

 

 

22 45

n A

P A

n



b) Gọi B:” Hai bi lấy ra khác màu”

Khi đó n B C C31 15C C1 12 423

Từ đó  

 

 

23 45

n B

P B

n



Bài 3

Số hạng tổng quát trong khai triển là

3

2 k k 2 3 k

x

 

 



Ta phải cần tìm k sao cho 6 3 k  3 k 1

Vậy số hạng cần tìm là C61 52 3 576

1,0 1,0 1,0

Bài 4

Ta có a b 2nC a20n 2nC a12n 2 1n b C a 22n 2n2 2b   C b22n n 2n

Cho a b 1ta được

 

2n 2n 2n 2n n 2 n 2 n 4n

2n 2n 2n 2n n 2 n 2 n 4n

0,5 0,5

1 Có 5 cuốn Toán khác nhau nên có 5 cách chọn một sáchToán

Có 4 cuốn Lí khác nhau nên có 4 cách chọn một sách Lí

Theo qui tắc cộng học sinh đó có 5 + 4 = 9 cách chọn sách

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

2 Chọn áo có 9 cách Chọn quần có 7 cách

Chọn giày có 4 cách

Theo qui tắc nhân có: 9 x 7 x 4 = 252 cách “diện”

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,75 đ

3

Cố định 5 bì thư Mỗi hoán vị 5 tem thư là một cách dán

4 Chọn 2 trong 7 điểm để ghi vào 2 điểm: đầu và cuối ta được một véctơ Vậy 1 véctơ là một chỉnh hợp chập 2 của 7

Vậy có A 72 7.6 42 véctơ

0,75 đ 0,75 đ

5

Số hạng tổng quát có dạng

1 k

k

k

x







 

 

Số hạng chứa x 9 khi chỉ khi: 30 – 3k = 9  k = 7

Vậy số hạng chứa x 9 là T8 C x157 9 6435x9

0,75 đ

0,75 đ 0,5 đ

6 1/ Gọi A là b/cố: “ Hai quả cầu trắng”

C là b/cố: “ Hai quả cầu cùng màu”

Số phần tử của không gian mẫu: n( ) C5210

Số phần tử của biến cố A là: n A C( ) 323

Xác suất để hai quả cầu màu trắng là:

( ) 3 ( )

( ) 10

n A

P A

n



0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ

2/Chọn hai quả cùng màu trắng có: C 32 3 cách chọn

Chọn hai quả cùng màu đen có: C 22 1 cách chọn

Do đó số phần tử để hai quả cầu cùng màu là: n(C) = 3 + 1 = 4

Vậy xác suất để lấy được 2 quả cầu cùng màu là:

( ) 4 2 ( )

( ) 10 5

n C

P C

n



0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

1 a Không gian mẫu

Ω={(1,2,3);(2,3,4);(1,3,4);(1 ;2 ;4) }

b A= {(1;2;4)}

B= {(1;2;3);(2;3;4)}

2đ 1đ

1đ

2 a số khả năng xảy ra của phép thử là

n(Ω)=C3010

b Số khả nẳng xảy ra của biến cố A là

n( A)=C155 C124 .C31

Xác suất của biến cố A là

P( A)= n( A)

n(Ω)=

C155 .C124 .C31

C3010

1đ 1đ

1đ

3 a số hạng tổng quát của khai triển là

−2¿k ⇒

3 x¿10 − k¿

C10k ¿

số hạng có chứa x8 tương ứng với 10-k =8 => k = 2

Vậy số hạng cần tìm là 4 C102 38x8

b Thay x=1 ta có tổng các hệ số của khai triển là: 2n = 1024 =

210

Vậy n =10

1đ 1đ 0.5đ 0.5đ

BÀI 1

1 Chọn 2 nam, 3 nữ có: C102 .C103 =5400 cách 1 điểm

2 Có 2 nam,

3 nữ: Có 5400 cách 0.5 điểm

Có 3 nam và 2 nữ: Có C103 .C101 =5400 cách 0.5 điểm

Có 4 nam và 1 nữ: Có C104 .C101 =2100 cách 0.5 điểm

BÀI 2

n(A) =C63 =20 ( chọn 3 nam trong số 6 nam) 0.25

P ( A )=20

n (B )=C62 C14 ( chọn 2 nam trong số 6 nam và 1 nữ trong số 4 nữ) 0.5

P (B)=60

120=

1

Dùng biến cố đối để tính C:”có ít nhất một bạn nam” lúc đó

suy ra xác suất P (C )= 4

120=

1

từ đó suy ra P(C)= 1− P(C )=1 − 1

30=

29

BÀI 3:

1/Số hạng tổng quát có dạng: C6k(2 x )6 − k(− 1

2/ Ta có:

−1¿k 26 −k x 6 −3 k

C6k

(2 x ) 6 − k(− 1

Số hạng không chứa x ứng với: 6 −3 k =0 ⇔ k=2 0.25 Vậy số hạng không chứa x là: C62 2 4

Bài 4

Bất phương trình tương đương với:

n!

(n− 2)! − n !

1! (n− 1)!<8⇔(n −1) n −n<8 ⇔ n2

Bất phương trình có nghiệm n=2, n=3 thỏa mãn điều kiện 0.25 Bài 4:

Gọi A: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm”

Suy ra A : “Không lần nào xuất hiện mặt 3 chấm” 0.25

Ta có: n ( A )=54=625⇒ P ( A)=625

Suy ra: P ( A )=1 − P ( A )=1 −625

1296=

671

Câu 1 Gọi số cấn tìm là abc theo qui tắc nhân ta có 5.4.3=60

( họặc lý luận A53=60)

1 đ