Phân rã QR chéo hóa ma trận

PHÂN RÃ QR & CHÉO HÓA MA TRẬN... Phân rã QRPhân rã QR thừa số hóa là phân rã ma trận thành ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R.. Phân tích nhân tử QR được sử dụng để giải các

PHÂN RÃ QR & CHÉO HÓA MA TRẬN

Phân rã QR

Phân rã QR (thừa số hóa) là phân rã ma trận thành ma trận trực giao (Q) và ma trận tam giác trên (R) Phân tích nhân tử

QR được sử dụng để giải các bài toán bình phương nhỏ nhất tuyến tính và tìm

các giá trị riêng.

=> Nhưng ở bài này mình chỉ nghiên cứu quy trình Gram - Schmidt

Có một số phương pháp để thực sự tính toán sự phân rã

QR, chẳng hạn như bằng quy trình Gram – Schmidt , phép

• Cho một cơ sở B của một không gian vector A= 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛

• Tìm một cơ sở trực giao {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛}

▪ 𝑢1 = 𝑎1

▪ 𝑢2 = 𝑎2 − ۦ𝑎2 , 𝑢1ۧ

𝑢1 2 𝑢1

▪ 𝑢3 = 𝑎3 − 𝑎3,𝑢1

𝑢1 2 𝑢1 − 𝑎3,𝑢2

𝑢2 2 𝑢2

▪ ⋮

▪ 𝑢𝑛 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛,𝑢1

𝑢1 2 𝑢1 − 𝑎𝑛,𝑢2

𝑢2 2 𝑢2 − 𝑎𝑛,𝑢𝑛−1

𝑢𝑛−1 2

Giải thuật Gram-Schmidt

• Từ cơ sở trực giao 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 tìm họ trực chuẩn{𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛}

▪ 𝑞1 = 𝑢1

𝑎1

▪ 𝑞2 = 𝑢2

𝑢2

▪ 𝑞3 = 𝑢3

𝑢3

▪ ⋮

▪ 𝑞𝑛 = 𝑢𝑛

𝑢𝑛

=> Chúng ta đã thu được một cơ sở trực giao từ một cơ sở thông thường cho không gian con vector V.

Giải thuật Gram-Schmidt

Phân rã QR

• Viết lại các ma trận này dưới dạng ma trận:

𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛

= 𝑞 1 𝑞2 ⋯ 𝑞3

𝑎1, 𝑞1 0 0 0 0

𝑎2, 𝑞1

𝑎2, 𝑞2 0 0 0

⋯

⋯

⋱

𝑎𝑛−1, 𝑞𝑛−1

0

𝑎𝑛, 𝑞1

𝑎𝑛, 𝑞2

⋮

𝑎𝑛, 𝑞𝑛−1

𝑎𝑛, 𝑞𝑛 Hoặc A = 𝑄𝑅

=> Chúng ta đã thu được sự phân rã QR của ma trận A bắt đầu từ quá trình Gram-Schmidt, trong đó Q là ma trận trực chuẩn và R là ma trận tâm giác trên.

Ví dụ 1:

Cho ma trận 𝐴 = 10

0

2 0 3

4 5 6 Xét 3 vector 𝑎1 = 1, 0, 0 , 𝑎2 = 2, 0, 3 , 𝑎3 = 4, 5, 6 Tìn cơ sở trực giao 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 :

• 𝑢1 = 𝑎1 = 1, 0, 0

• 𝑢2 = 𝑎2 − ۦ𝑎2 , 𝑢1ۧ

𝑢1 2 𝑢1 = 0, 0, 3

• 𝑢3 = 𝑎3 − 𝑎3,𝑢1

𝑢1 2 𝑢1 − 𝑎3,𝑢2

𝑢2 2 𝑢2 = (0, 5, 0)

Ví dụ 1:

Tìm cơ sở trực chuẩn {𝑞1, 𝑞2, 𝑞3}

• 𝑞1 = 𝑎1

𝑎1 = 1, 0, 0

• 𝑞2 = 𝑢2

𝑢2 = (0, 0, 1)

• 𝑞3 = 𝑢3

𝑢3 = (0, 1, 0)

𝑄 =

1 0 0

0 0 1

0 1 0

, R =

1 2 4

0 3 6

0 0 5

𝐴 = 𝑄𝑅

1 2 4

0 0 5

0 3 6

=

1 0 0

0 0 1

0 1 0

1 2 4

0 3 6

0 0 5

Ví dụ 2:

Cho ma trận 𝐴 = 00

1

1 1 0

2 2 1 Xét 3 vector 𝑎1 = 0, 0, 1 , 𝑎2 = 1, 1, 0 , 𝑎3 = 2, 2, 1 Tìn cơ sở trực giao 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 :

• 𝑢1 = 𝑎1 = 0, 0, 1

• 𝑢2 = 𝑎2 − ۦ𝑎2 , 𝑢1ۧ

𝑢1 2 𝑢1 = 1, 1, 0

• 𝑢3 = 𝑎3 − 𝑎3,𝑢1

𝑢1 2 𝑢1 − 𝑎3,𝑢2

𝑢2 2 𝑢2 = (0, 0, 2)

Ví dụ 2: Tìm cơ sở trực chuẩn {𝑞

1, 𝑞2, 𝑞3}

• 𝑞1 = 𝑎1

𝑎1 = 0, 0, 1

• 𝑞2 = 𝑢2

𝑢2 = ( 2

2 , 2

2 , 0)

• 𝑞3 = 𝑢3

𝑢3 = (0, 0, 1)

𝑄 =

=

2

2

1 0

0 2 2 2 2

𝐴 = 𝑄𝑅

0 0 1

1 1 0

2 2 1

=

2

2

1 0

0 2 2 2 2

Chéo hóa

ma trận

Cho ma trận 𝐴 ∈ ℝ 𝑛𝑥𝑛 được gọi là ma trận chéo hóa nếu tồn tại ma trận khả nghịch 𝑃 ∈ ℝ 𝑛𝑥𝑛 sao cho

𝑫 = 𝑷−𝟏𝑨𝑷 với D là một ma trận chéo Khi đó ta nói

ma trận P làm chéo hóa A và D là dạng chéo của A

Thuật toán chéo hóa ma trận

Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng 𝜑𝐴 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼

Bước 2: Tìm trị riêng 𝜆 𝑖 cùng với số bộ 𝑟𝑖 tương ứng (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘)

Bước 3: Với mỗi 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 tìm cơ sở không gian

riêng tương ứng với mỗi trị riêng

Bước 4: Đặt P là ma trận có được bằng cách dựng

các vector trong cơ sở thành cột, ta có P làm chéo hóa A và 𝑃−1𝐴𝑃 có dạng chéo

Ví dụ 1:

Cho ma trận 𝐴 = 32 2 16 0

0 0 5

𝐴 − 𝜆𝐼 =

Đa thức đặc trưng: 𝜑𝐴 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 = −(𝑥 − 7)(𝑥 − 5)(𝑥 − 2)

Trị riêng 𝜑 𝜆 = 0 ⇔ 𝜆 = 7 𝑏ộ𝑖 1 , 𝜆 = 5 𝑏ộ𝑖 1 , 𝜆 = 2(𝑏ộ𝑖 1)

Vậy A có 3 trị riêng 𝜆1 = 2, 𝜆2 = 5, 𝜆3 = 7

▪ 𝜆1 = 2: 𝐴 − 𝜆1𝐼 = 𝐴 − 2𝐼 =

1 2 1

2 4 0

0 0 3

→

0 0 −2

→ 𝛼

−2 1 0

Ví dụ 1:

• 𝜆2 = 5: 𝐴 − 𝜆2𝐼 = 𝐴 − 5𝐼 =

−2 2 1

→

−2 2 1

→ 𝛼

1 6

−1 3

1

• 𝜆3 = 7: 𝐴 − 𝜆3𝐼 = 𝐴 − 7𝐼 =

→

−4 2 1

2

→ 𝛼

1 2

1 0 Lập ma trận 𝑃 =

−2 1

6

1 2

1 − 1

3 1

Ví dụ 1:

D =

2 0 0

0 5 0

0 0 7

𝑃−1 =

− 2 5

1 5

2 15

2 5

4 5

1 5

𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 =

−2 1

6

1 2

1 − 1

3 1

2 0 0

0 5 0

0 0 7

−2

5

1 5

2 15

2 5

4 5

1 5

=

3 2 1

2 6 0

0 0 5

Ví dụ 2:

Cho ma trận 𝐴 = 10 23 00

2 −4 2

𝐴 − 𝜆𝐼 =

Đa thức đặc trưng: 𝜑𝐴 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 = −(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)

Trị riêng 𝜑 𝜆 = 0 ⇔ 𝜆 = 3 𝑏ộ𝑖 1 , 𝜆 = 2 𝑏ộ𝑖 1 , 𝜆 = 1(𝑏ộ𝑖 1)

Vậy A có 3 trị riêng 𝜆1 = 1, 𝜆2 = 2, 𝜆3 = 3

▪ 𝜆1 = 1: 𝐴 − 𝜆1𝐼 = 𝐴 − 1𝐼 =

2 −4 1

→

2 −4 1

→ 𝛼

−1

2

0 1

Ví dụ 2:

• 𝜆2 = 2: 𝐴 − 𝜆2𝐼 = 𝐴 − 2𝐼 =

→

−1 2 0

→ 𝛼

0 0 1

• 𝜆3 = 3: 𝐴 − 𝜆3𝐼 = 𝐴 − 3𝐼 =

→

→ 𝛼

−1 2

−1 2

1 Lập ma trận 𝑃 =

−1

2 0 −1

2

0 0 −1

2

Ví dụ 2:

D =

1 0 0

0 2 0

0 0 3

𝑃−1 =

𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 =

−1

2 0 −1

2

0 0 −1

2

1 0 0

0 2 0

0 0 3

=

2 −4 2

CREDITS: This presentation template was created

by Slidesgo, including icons by Flaticon, and

infographics & images by Freepik

THANK YOU!

Please keep this slide for attribution