De DA HSG Truong Tran Dai Nghia TPHCM 20142015

 BHC  BOC  Tứ giác BHOC nội tiếp tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh với hai góc bằng nhau Vậy B, I, H, O, C cùng thuộc một đường tròn... COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC TH[r]

Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) – Tr.TĐN (14-15)

Bài 1: (2 điểm) Cho x 23x 1 0 

4 2

x x 10x x 2015 x x 1 x 3x 1 A

x x 1

        



Bài 2: (2 điểm) Tìm m để phương trình: mx 2 2 m 1 x m 2 

0 1

x 2





có hai nghiệm phân biệt x ;x 1 2

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) x x 4x 1 2   x x 3

b)

2

1

4x 1





Bài 3: (4 điểm)

a) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:

b) Tìm giá trị lớn nhất của: A 433 x x 2 143 x x 2

17

Bài 5: (4 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC), có H, I, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp Giả sử bốn điểm B, C, I, O cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh rằng: IH IO

Bài 6: (4 điểm) Cho ABC có phân giác trong AD Ở miền trong BAD và CAD lần lượt vẽ hai tia AM, AN sao cho MAD NAD (M thuộc đoạn BD, N thuộc đoạn CD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AC; P, Q lần lượt là hình chiếu của N lên AB, AC

a) Chứng minh rằng: 4 điểm E, F, P, Q cùng thuộc một đường tròn

CM.CN

  HẾT  

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRẦN ĐẠI NGHĨA

LỚP 9 – LẦN 1 (T1/2015)

Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) – Tr.TĐN (14-15)

Bài 1: (2 điểm) Cho x 23x 1 0 

4 2

x x 10x x 2015 x x 1 x 3x 1 A

x x 1

        



Ta có: x 23x 1 0  x 2 3x 1 ; x 3 x.x 2 x 3x 1   3x 2 x 3 3x 1 x 8x 3    

x x.x x 8x 3 8x 3x 8 3x 1 3x 21x 8    

A

21x 8 3x 1 1



2014 24x 8 30x 10 16112 3x 1 10 3x 1

4

8 3x 1



Bài 2: (2 điểm) Tìm m để phương trình: mx 2 2 m 1 x m 2 

0 1

x 2





có hai nghiệm phân biệt x ;x 1 2

Điều kiện: x 1

2



Do vậy pt đã cho có hai nghiệm phân biệt x ;x 1 2 mx 22 m 1 x m 2 0      có hai nghiệm phân biệt x ;x 1 2 lớn hơn 1

2

2

1

2

m 0

a m 0

m 0 4m 1 0

2

 

 











 

 

m 12

2 m 1

m

      







1

1

4







Vậy với m > 12 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x ,x 1 2

HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRẦN ĐẠI NGHĨA

LỚP 9 – LẦN 1 (2014-2015)

Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) – Tr.TĐN (14-15)

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) x x 4x 1 2   x x 3

Điều kiện: x 1;0 x 1 

Ta có: x x 4x 1 2  x x 3  x x x 3  x 4x 1 2

      x 2  x x 3x 4x 1 2 x x 2    3x 4x 1 2 

x x x 1 2 x 1 x 1 x x x 1 x 2 x x 1 x

             

   

b)

2

1

4x 1





2

4x 1 2xy y 4y 0

y

4x 1

     



 

  

 

2

y 2x y 2

4x 1



 

  



2

y 2x y 2

4x 1



 

2

1 2x y 2 2 2x y 2 0

y 2x y 2

4x 1

       



 

  



2

2x y 2 1 0

y 2x y 2

4x 1

    



 

  



2x y 3 0

4x 1



 



y 2x 3 2x 3 4x 1

   



 

   

x 2

   



   

 





1

2







Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm   x;y 1;5 ; 1 ;2

2

 

Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) – Tr.TĐN (14-15)

Bài 4: (4 điểm) a) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:

Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương, ta có:

4abc

a b c b c a c a b

  2  2 2

a b b c c a

a b b c c a

6

2 2 2 3 3 3 6 9

       

Vậy BĐT đã được chứng minh Dấu " " xảy ra khi a b c 

17

Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương, ta có :



17

Dấu " " xảy ra khi

144

145

144



 





Vậy GTLN của A là 3456

17 khi

144 x 145

Trang 5 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) – Tr.TĐN (14-15)

Bài 5: (4 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC), có H, I, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp Giả sử bốn điểm B, C, I, O cùng thuộc một đường tròn Chứng minh rằng: IH IO

H

D

O

B

C A

Ta có: I là tâm đường tròn nội tiếp ABC (gt) nên BI, CI lần lượt là tia phân giác của

ABC;ACB



Ta có: BAC BOCgnt và góc ở tâm cùng chắn BC của (O)

2

Ta có :

 

 

BIC BOC tư ùgiác BIOC nội tiếp

BOC 2BAC cmt









Gọi D là giao điểm của BH và AC E là giao điểm của CH và AB

BH AB tại E

0

BHC BEH ABD 120 BOC 2BAC 120





 

BHC BOC

   Tứ giác BHOC nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh với hai góc bằng nhau)

Vậy B, I, H, O, C cùng thuộc một đường tròn Mà OB = OC (=R)  OBC cân tại O

OBC OCB OBC 180 BOC :2 30

Trang 6 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) – Tr.TĐN (14-15)

Xét BIHOC, ta có: IBH IBO IH IO IH IO

Bài 6: (4 điểm) Cho ABC có phân giác trong AD Ở miền trong BAD và CAD lần lượt vẽ hai tia AM, AN sao cho MAD NAD (M thuộc đoạn BD, N thuộc đoạn CD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AC; P, Q lần lượt là hình chiếu của N lên AB, AC

Q P

F

E

N

M D

A

a) Chứng minh rằng: 4 điểm E, F, P, Q cùng thuộc một đường tròn

MAD NAD gt

BAD CAD AD là tia phân giác của BAC

 







BAM CAN

 

Xét AEM và AQN , ta có:

0

AEM AQN 90

AEM QAN g g BAM CAN cmt



 



AQ AN

 

MAF BAM NAP CAN BAC

MAF NAP BAM CAN cmt



 



Xét AFM và APN , ta có:

 

MAF NAP cmt

AFM APN 90

 





 

  AFM∽APN g g   AF AM 2

AP AN

AQ AP AQ AE

Xét APF và AQE , ta có:

Trang 7 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) – Tr.TĐN (14-15)

PAF góc chung

APF AQE c g c

AP AF cmt

AQ AE





    









Vậy bốn điểm E, F, P, Q cùng thuộc một đường tròn

CM.CN





∽

∽

MAC NAC

S S

MF.NQ

CM.CN

AC 

  HẾT  