Câu III: 3 điểm 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mpABCD Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD SC AMN.. Gọi K[r]
Trang 1KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2013-2014 LẦN THỨ I
ĐỀ THI MÔN: TOÁN; KHỐI:D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu I:(3 điểm) Cho hàm sốy x 3 1 m x( 1) có đồ thị là (Cm); ( m là tham số)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2 Xác định m để tiếp tuyến với (Cm) tại giao điểm của nó với trục tung, tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
Câu II:(3 điểm)
1 Giải phương trình:
x x
x
2 Giải phương trình: 5 x3 1 2x2 2
3 Giải hệ phương trình:
3
Câu III: (3 điểm)
1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a.Chứng minh rằng MN BD và SC AMN
b Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh
(AB): x 2y 1 0 và đường chéo (BD): x 4y140 ,đường chéo AC đi qua điểm M(2 ; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
Câu V : (1 điểm) Cho các số thực a , b , c ∈[1 ;2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a+b¿2
¿
¿
P=¿
……… … ……… Hết………
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2013-2014 LẦN THỨ I
ĐỀ THI MÔN: TOÁN; KHỐI: D
(Đáp án – thang điểm gồm 04 trang)
Câu ý Nội Dung Điểm
I
1 Khảo sát hàm số (1 điểm)
3 1 ( 1)
y x m x (Cm)
1 m = 3 : y x 3 3x 2 (C3)
+ TXĐ: D = R + Sự biến thiên:
- CBT: y' 3 x2 3, y' 0 x1
Xét dấu y’:
x 1 1
y’ + 0 0 +
=> Hàm số đồng biến trên : ( ;1) và (1; ), nghịch biến trên (1;1)
0, 5
- Giới hạn: xlim y , limx y
Bảng biến thiên :
x 1 1
y’ + 0 0 +
y
0
4
0,25
Trang 3+Đồ thị : Tâm đối xứng (0 ;-2)
Cho x = -2 => y = - 4 Cho x = 2 => y = 0
2
Ta có : y' 3 x2 m
Giao điểm của (Cm) với trục tung là: A(0;1 m) 0,25 Pttt của (Cm) tại A là : ymx 1 m
Để cắt hai trục tọa độ thì m 0 khi đó cắt hai trục tại các điểm:
A(0;1 m) và B
1
;0
m m
0,25
Diện tích OAB là :
2
8
OAB
S
m
Giải ra ta được : m 9 4 5 ; m 7 4 3 0,25
II
1
1 Đk: 2
k
x
x
sin 2 1
4
Pt 5 x 1. x2 x 1 2x2 x 1) 2( x 1 0,25
2 2
0,25
5 37 2
(thỏa mãn) KL:……
0,25
Trang 43 3 (1)
ĐK: x1; y1; x y0
Đặt S x y P xy;
Hpt trở thành:
2
2
3
S
0,25
6 ( ) 9
S
TM P
1.a
M
O
D A
S
0,25
CMR: MN BD
0,25
SB SD
MN BD
+) Vì
MA SB gt
0,25
1.b
Trang 52 Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ:
21
;
5
x
B
y
0,25
Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc giữa
AB và BD, kí hiệu n AB(1; 2); n BD(1; 7); n AC( ; )a b
(với a 2 + b 2 > 0) lần lượt là
VTPT của các đường thẳng AB, BD, AC Khi đó ta có:
os AB, BD os AC, AB
c n n c n n
3
2
7
a
0,25
A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
(3; 2)
A
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ:
7
;
2
x
x y
I
y
5 5
0,25
IV
P được viết lại dưới dạng tương đương là :
a+b¿2
¿
a+b¿2
¿
a+b¿2
¿
c2+4 c(a+b)+¿
¿
¿
P=¿
0,25
Do a , b , c ∈[1 ;2] nên a+b ≠ 0 , nên chia tử và mẫu của M cho a+b¿2
được:
(a+b c )2+ 4(a+b c )+ 1
t2+4 t+1 với a b
c t
Với a , b , c ∈[1 ;2]
⇔t ∈[14;1]
0,25
Trang 6Xét hàm số f (t)= 1
t2 +4 t+1 trên [41;1] Ta có
t2+4 t+1¿2
¿
f❑ (t)= −2(t +2)
¿
< 0, ∀
t ∈[14;1] ⇒ f❑
(t) nghịch biến trên [41;1] Do đó ∀
t ≤ 1 ⇒ f (t )≥ f (1)=1
6 Đẳng thức xảy ra khi t=1 ⇔(a ;b ;c)=(1 ;1;2)
0,25
Vậy Min P ¿1